cours 4M2, p.47 à 53 [v6.0]
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èmeMathématiques 4 , niveau avancé page 47Une densité de probabilité f remplit les conditions suivantes:1) Pour tout réel x, f(x) ≥ 0∞2) f (x)dx = 1∫b3) P(a < X ≤ b) = f(x) dx∫ahEt la remarque qu’il est impossible d’être à l’heure h se traduit par: P(X = h) = P(h ≤ X ≤ h) = f (x) dx = 0 . ∫h(Il n’y a donc qu’une alternative: être en retard ou en avance. Choisissez votre camp…)Exemple: La durée de vie d’un certain type de diode de radio est une variable aléatoire de densité donnée0 x ≤ 100 par: f(x) = .100 x > 1002 xèmeQuelle est dans ce cas la probabilité que 2 des 5 diodes de ce type doivent être remplacées avant la 150 heure de service. (On admettra que la durée de vie de chaque diode est indépendante de celle des autres.)150 150 150 1−2 1Pour une diode, on obtient: P(X <150) = f( x)dx = 100 x dx = 100 − x = . En raison de [ ]∫ ∫ 1000 100 32 31 2 805 l’indépendance de durée de vie des diodes, la réponse est donnée par: = ≅ 32,92% .C2 3 3 243Fonction de répartition d’une variable aléatoire continueRappel: La fonction de répartition F d’une variable X est définie sur — par: F(x) = P( X ≤ x) .Cela s’exprime pour une variable aléatoire continue par la relation suivante entre la fonction de répartition F et la densité f:La fonction de répartition F d’une variable aléatoire continue X est donnée sur — par:aF(a) = P(X ≤ a) = P X ∈ − ∞ ;a = f(x) dx( ] ]) ∫Autrement dit, la densité d’une variable aléatoire continue est ...
Voir
Une densité de probabilité
f
remplit les conditions suivantes:
1) Pour tout réel
x
,
f x
( )
≥
0
2)
f x
( )
dx
−∞
∞
∫
=
1
3)
P a
<
X
≤
b
(
)
=
f x
( )
dx
a
b
∫
Et la remarque qu’il est impossible d’être à l’heure
h
se traduit par:
P X
=
h
(
)
=
P h
≤
X
≤
h
(
)
=
f x
( )
dx
h
h
∫
=
0 .
(Il n’y a donc qu’une alternative: être en retard ou en avance. Choisissez votre camp…)
Exemple
: La durée de vie d’un certain type de diode de radio est une variable aléatoire de densité donnée
par:
f x
( )
=
0
x
≤
100
100
x
2
x
>
100
.
Quelle est dans ce cas la probabilité que 2 des 5 diodes de ce type doivent être remplacées avant la 150
ème
heure de service. (On admettra que la durée de vie de chaque diode est indépendante de celle des autres.)
Pour une diode, on obtient:
P X
<
150
(
)
=
f x
( )
dx
0
150
∫
=
100
x
−
2
dx
100
150
∫
=
100
−
x
−
1
[
]
100
150
=
1
3
. En raison de
l’indépendance de durée de vie des diodes, la réponse est donnée par:
2
5
C
1
3
2
2
3
3
=
80
243
≅
32,92%
.
Fonction de répartition d’une variable aléatoire continue
Rappel
: La
fonction de répartition
F
d’une variable
X
est définie sur
—
par:
F x
( )
=
P X
≤
x
(
)
.
Cela s’exprime pour une variable aléatoire continue par la relation suivante entre la fonction de répartition
F
et la densité
f
:
La
fonction de répartition
F
d’une variable aléatoire continue
X
est donnée sur
—
par:
F a
( )
=
P X
≤
a
(
)
=
P X
∈ − ∞
;
a
]
]
(
)
=
f x
( )
dx
−∞
a
∫
Autrement dit, la densité d’une variable aléatoire continue est la dérivée de sa fonction de répartition:
′
F x
( )
=
f x
( )
Selon la situation, les méthodes de calcul des probabilités continues utilisent:
• l’intégration (dans le cas où la densité de la variable aléatoire est connue); cette intégration se fait soit
par recherche d’une primitive, soit par des méthodes numériques ou l’usage de tables.
• la fonction de répartition de la variable aléatoire (la fonction de répartition étant une primitive, le calcul
de l'intégrale n'est alors plus nécessaire).
Mathématiques 4
ème
, niveau avancé
page 47
Des tables résument la fonction de répartition pour les variables aléatoires continues principales dont la
densité n'est pas primitivable explicitement.
Certaines variables aléatoires continues jouent un rôle important dans le sens où elles sont la réponse à des
problèmes courants. Les variables aléatoires continues classiques sont les variables aléatoires
uniforme
,
normale
et
exponentielle
.
5. Loi normale
Définition
La variable aléatoire
normale
joue un rôle prépondérant dans un grand nombre de contextes. Cette
importance s'explique par le
théorème central limite
, l’un des deux résultats principaux de la théorie des
probabilités, le plus fameux restant sans doute l’autre résultat, dit
loi des grands nombres
, puisqu’il a
passé dans le langage courant sous la forme d’une mystérieuse incantation: «
C’est la loi des grands
nombres…
». (Ces deux lois dépassent le cadre de ce cours.)
Disons, pour résumer simplement, que le premier résultat explique un fait expérimental remarquable, à savoir
que bien des phénomènes naturels — comme la taille d’un individu choisi au hasard, ou la vitesse d’une
molécule de gaz — admettent une distribution en forme de cloche qui est justement la
distribution normale
,
alors que le second nous assure qu’en répétant une expérience aléatoire suffisamment de fois, on est bien
inspiré de s’attendre à ce que les résultats statistiques se rapprochent indéfiniment de l’espérance
théoriquement annoncée…
Définissons donc la variable aléatoire
normale
:
Une variable aléatoire
X
est dite
normale
, ou
distribuée normalement
, avec paramètres
μ
et
σ
2
lorsque la densité de
X
est donnée sur
—
par:
f x
( )
=
1
2
πσ
e
−
x
−
μ
(
)
2
2
σ
2
Le choix des lettres
μ
et
σ
2
pour les paramètres de cette densité n’est pas un hasard; la première est
l’espérance de la variable aléatoire et la seconde, sa variance.
Le graphique de cette densité est une courbe en forme de cloche avec un axe de symétrie vertical en
μ
:
μ
+
σ
μ
−
σ
μ
−
2
σ
μ
+
2
σ
μ
Mathématiques 4
ème
, niveau avancé
page 48
Cette distribution fut introduite par le mathématicien français De Moivre
1
en 1733; il l’utilisa pour
approcher les probabilités associées à toute variable aléatoire binomiale, à condition que le paramètre
n
du
nombre d’essais soit “assez grand”.
Pour nous en rendre compte, prenons par exemple la 24
ème
ligne du triangle de Pascal — lié très étroitement
à la loi binomiale (on se souvient que les nombres qui le constituent sont appelés
coefficients binomiaux
) —
et représentons-la graphiquement, avec une échelle verticale très “écrasée”:
Variable normale centrée réduite
Voici la propriété importante qui permet de ramener toute variable aléatoire normale
X
de paramètres
μ
et
σ
2
à une unique variable aléatoire normale, de paramètres 0 et 1.
Une variable normale ayant les deux paramètres 0 et 1 est dite
standard
ou
centrée réduite
:
(1) Si
X
est une variable normale de paramètres
μ
=
E X
( )
(
)
et
σ
2
=
V X
( )
(
)
,
alors
Y
=
aX
+
b
est une variable normale de paramètres
a
μ
+
b
et
a
2
σ
2
.
(2) Pour toute variable normale
X
de paramètres
μ
et
σ
2
, la variable aléatoire
Y
=
X
−
μ
σ
est normale centrée réduite.
Démonstration
:
(1)
Cela
découle
directement de deux
propriétés
démontrées
en
exercice:
E aX
+
b
(
)
=
aE X
( )
+
b
et
V aX
+
b
(
)
=
a
2
V X
( )
.
(2) Cherchons donc, une v.a.
Y
=
aX
+
b
vérifiant le système:
a
μ
+
b
=
0
a
2
σ
2
=
1
. Ce dernier est satisfait pour
a
=
1
σ
et
b
= −
μ
σ
,
et il
résulte de la propriété précédente que la variable aléatoire
Y
=
1
σ
X
+ −
μ
σ
=
X
−
μ
σ
est distribuée normalement avec les paramètres 0 et 1.
1
MOIVRE, Abraham DE (Vitry-le-François 1667 - Londres 1754). Émigrant à Londres après la révocation de l'édit de
Nantes, de Moivre étudia le calcul des probabilités; en 1718, il publia
The Doctrine of Chances.
On lui doit une formule
célèbre sur l'exponentielle complexe, qui sera reprise par Euler dans son
Introduction à l'analyse des infinis
(1748).
Mathématiques 4
ème
, niveau avancé
page 49
Une variable aléatoire
X
est dite
normale centrée réduite
lorsque la densité de
X
est donnée sur
—
par:
f x
( )
=
1
2
π
e
−
x
2
2
La courbe ci-dessus est appelée
courbe de Gauss
2
, ou aussi
courbe en cloche
.
L’usage s’est répandu d’utiliser — au lieu de
F
— la lettre grecque majuscule correspondante “phi”,
Φ
, pour
la fonction de répartition d’une variable aléatoire
X
normale centrée réduite. Autrement dit,
Φ
x
( )
=
P X
≤
x
(
)
=
1
2
π
e
−
t
2
2
dt
−∞
x
∫
On acceptera sans démonstration le fait qu’il s’agit bien d’une densité de probabilité, c’est-à-dire que l’on a
1
2
π
e
−
t
2
2
dt
−∞
∞
∫
=
1, ou ce qui est équivalent,
e
−
t
2
2
dt
−∞
∞
∫
=
2
π
,
la démonstration — qui utilise une technique d’intégration double — dépassant le cadre de ce cours.
En raison de ces difficultés d’intégration, les valeurs
Φ
x
( )
pour des arguments positifs seront donc lues dans
des tables du type de celle figurant dans la brochure de probabilités (ou dans le formulaire), ou alors calculées
à l’aide d’un logiciel de mathématiques.
Par exemple
, une table numérique donne:
Φ
1,23
(
)
≅
0,8907 (sur
MATHEMATICA
, on peut trouver plus
précis bien sûr: 0.89065144757430806...).
Les tables ne sont que partielles car, en raison des propriétés de symétrie de la courbe de Gauss, de
nombreuses valeurs se déduisent d’une partie des valeurs seulement:
P X
≤ −
a
(
)
=
1
− Φ
a
( )
;
P a
1
<
X
≤
a
2
(
)
= Φ
a
2
( )
− Φ
a
1
( )
;
P
−
a
<
X
≤
a
(
)
=
2
Φ
a
( )
−
1
2
GAUSS, Carl Friedrich (Brunswick 1777 - Gottingen 1855). Célèbre très jeune par ses travaux en théorie des nombres et
son calcul de l'orbite de la planète Cérès, récemment découverte, Gauss a obtenu des résultats dans tous les domaines des
mathématiques et a gagné le titre de «prince des mathématiciens». La richesse et la variété de ses idées ne furent pas
toujours immédiatement répercutées dans des publications, car Gauss n'eut guère de collaborateurs; il consignait dans ses
carnets personnels les matières incomplètement élucidées. Bien des mathématiciens du XIX
e
siècle redécouvrirent ainsi ce
que Gauss avait déjà élaboré.
Mathématiques 4
ème
, niveau avancé
page 50
Pour les valeurs de
Φ
x
( )
lorsque l’argument
x
est négatif, ou pour le calcul des valeurs de la fonction de
répartition
F
d’une variable aléatoire normale non “centrée réduite”, on utilisera les deux résultats suivants:
1)
Φ −
x
(
)
=
1
− Φ
x
( )
,
− ∞ <
x
< ∞
2)
F a
( )
= Φ
a
−
μ
σ
,
a
∈
—
Démonstrations
: 1) Rappelons que la densité d’une variable normale centrée réduite ,
f x
( )
=
1
2
π
e
−
x
2
2
, est
une fonction paire, ce qui signifie que
f x
( )
=
f
−
x
(
)
(la conséquence graphique de ce fait étant la symétrie
d’axe vertical de la courbe
f
). En effet,
f
−
x
(
)
=
1
2
π
e
− −
x
(
)
2
2
=
1
2
π
e
−
x
2
2
=
f x
( )
. On sait d’autre part
que:
f t
( )
dt
−∞
∞
∫
=
1. Séparons cette intégrale en deux parties: 1
=
f t
( )
dt
−∞
∞
∫
=
f t
( )
dt
−∞
−
x
∫
+
f t
( )
dt
−
x
∞
∫
; il en résulte
que: 1
−
f t
( )
dt
−
x
∞
∫
=
f t
( )
dt
−∞
−
x
∫
, soit que 1
−
f t
( )
dt
−
x
∞
∫
= Φ −
x
(
)
. Reste à transformer l’intégrale
f t
( )
dt
−
x
∞
∫
. Une
des propriétés de l’intégrale est:
f t
( )
dt
−
x
∞
∫
= −
f t
( )
dt
∞
−
x
∫
. Et le tour est joué en faisant le changement de
variable
t
= −
y
(accompagné du cortège:
dt
= −
dy
; pour
t
= −
x
,
y
=
x
; pour
t
= ∞
,
y
= −∞
) , car l’on
obtient:
−
f t
( )
dt
∞
−
x
∫
= −
f
−
y
(
)
−
dy
(
)
−∞
x
∫
=
f
−
y
(
)
dy
−∞
x
∫
=
f y
( )
dy
−∞
x
∫
= Φ
x
( )
. Ainsi, 1
− Φ
x
( )
= Φ −
x
(
)
.
(Une “démonstration géométrique de cette formule est beaucoup plus simple et “parlante”… Cf. exercices.)
2) Soit donc
Y
, une variable aléatoire normale quelconque, et
F
, sa fonction de répartition. Rappelons que
F a
( )
=
P Y
≤
a
(
)
. Il en résulte que:
F a
( )
=
P Y
≤
a
(
)
=
P Y
−
μ
≤
a
−
μ
(
)
=
P
Y
−
μ
σ
≤
a
−
μ
σ
, mais on sait
que la variable aléatoire
Y
−
μ
σ
=
X
est centrée réduite et l’expression
F a
( )
=
P
Y
−
μ
σ
≤
a
−
μ
σ
revient ainsi
à:
F a
( )
=
P
Y
−
μ
σ
≤
a
−
μ
σ
=
P X
0;1
≤
a
−
μ
σ
= Φ
a
−
μ
σ
.
Exemple
: Admettons qu’une variété de pommes de terre ait une masse qui suive une loi normale de
moyenne
μ
= 200 g et d’écart-type
σ
= 70 g. On prend une pomme de terre au hasard et on appelle
X
sa
masse en grammes.
On demande:
P
(
X
≤ 150),
P
(
X
≥ 300) et
P
(180 ≤
X
≤ 220).
Pour appliquer la loi normale centrée réduite, il faut donc faire le changement de variable:
Y
=
X
−
200
70
.
Il en résulte:
P X
≤
150
(
)
=
P Y
≤
150
−
200
70
=
P Y
≤ −
50
70
=
P Y
≤ −
5
7
; et la table
donne:
P Y
≤ −
5
7
= Φ −
5
7
=
1
− Φ
5
7
≈
1
−Φ
0,714
(
)
≈
1
−
0.761
≈
24% . Un logiciel de mathématiques donne
directement:
Φ −
5
7
≈
23,75%.
De même, on arrive à:
P X
≥
300
(
)
=
P Y
0;1
≥
10
7
=
1
− Φ
10
7
≈
7,66%, ou environ 1 – 0,9236
soit
7,64% avec la lecture de la table.
Mathématiques 4
ème
, niveau avancé
page 51
Et enfin à:
P
180
≤
X
≤
220
(
)
=
P
−
2
7
≤
Y
0;1
≤
2
7
=
P Y
0;1
≤
2
7
−
P Y
0;1
< −
2
7
=…
…= Φ
2
7
−Φ −
2
7
= Φ
2
7
−
1
− Φ
2
7
=
2
Φ
2
7
−
1
≈
22,49%. Ou, 2·0.61409 – 1 ≈ 22,8% avec la
table numérique.
Remarque
: on peut être plus précis avec la table numérique en approchant linéairement une valeur
intermédiaire; par exemple,
Φ
2
7
≅ Φ
0,2857
(
)
et 0,2857 se situe environ aux 57/100 de la distance
entre 0,28 et 0,29 — soit:
Φ
2
7
≅ Φ
0,28
(
)
+
57
100
Φ
0,29
(
)
− Φ
0,28
(
)
(
)
≅
0,6124. Cette valeur donne une
approximation plus proche de
Φ
2
7
≅
0,612451
…
et la valeur finale 22,49%.
Espérance et variance d’une variable aléatoire continue
Par analogie avec le cas discret — où
E X
( )
=
x
i
⋅
i
=1
n
∑
p
i
— , on définit dans le cas continu:
Une variable aléatoire
X
ayant la densité
f
a comme espérance:
E X
( )
=
xf x
( )
dx
−∞
∞
∫
Quant à la variance, rien ne change. Elle est toujours définie par référence à l’espérance:
On appelle
variance
de la variable aléatoire
X
— notée
V X
( )
ou aussi
σ
2
— le nombre:
V
(
X
)
=
E X
−
μ
(
)
2
[
]
On appelle
écart-type
de la variable aléatoire
X
, la racine carrée de la variance:
σ
=
V
(
X
)
Dans la pratique, la formule suivante est souvent plus commode d’emploi:
V X
( )
=
E X
2
[
]
−
E X
[ ]
(
)
2
,
ou
:
V X
( )
=
E X
2
[
]
−
μ
2
Exemple
: Soit
X
, une variable aléatoire normale dont densité est donnée sur
—
par:
f x
( )
=
1
2
πσ
e
−
x
−
μ
(
)
2
2
σ
2
. On montrera (exercice) que dans ce cas,
E X
( )
=
μ
, soit que:
x
2
πσ
e
−
x
−
μ
(
)
2
2
σ
2
dx
−∞
∞
∫
=
μ
. La démonstration utilise le fait (non démontré dans le cours) que
f
est bien
une densité de probabilité, à savoir que:
1
2
πσ
e
−
x
−
μ
(
)
2
2
σ
2
dx
−∞
∞
∫
=
1.
Mathématiques 4
ème
, niveau avancé
page 52
De la même manière, pour une variable aléatoire normale de paramètres
μ
et
σ
2
, on arrive au résultat
suivant pour la variance:
V X
( )
=
σ
2
. Il suffit (!) de calculer directement l’intégrale donnée par la
définition de la variance:
V X
( )
=
E X
−
μ
(
)
2
[
]
=
1
2
πσ
x
−
μ
(
)
2
e
−
x
−
μ
(
)
2
2
σ
2
dx
−∞
∞
∫
. (Cf. exercices.)
Approximation normale pour la loi binomiale
Le résultat suivant a été démontré par De Moivre en 1733, dans le cas particulier d’une loi binomiale de
paramètre
p
= 0,5 — par exemple dans l’expérience d’une série de
n
jets d’une pièce de monnaie bien
équilibrée, où la variable aléatoire
X
compte le nombre d’apparition de FACE sur
n
lancers — puis dans le
cas général, pour toute valeur de
p
, par Laplace en 1812. D’où son appellation de
Théorème limite de De Moivre-Laplace
:
Soit
S
n
le nombre de succès lors de la réalisation de
n
épreuves indépendantes, la probabilité de
succès étant pour chaque épreuve de
p
(“loi binomiale de paramètres
n
et
p
”).
Alors on a:
P a
≤
S
n
−
μ
σ
≤
b
→ Φ
b
( )
− Φ
a
( )
, lorsque
n
→ ∞
On rappelle que dans le cas d’une loi binomiale
B n
;
p
(
)
, les valeurs de moyenne et d’écart-type sont
respectivement de:
μ
=
np
et
σ
=
np
1
−
p
(
)
.
La traduction pratique de ce théorème, pour
np
≥
5 et
n
1
−
p
(
)
≥
5 , est la suivante:
P a
≤
B n
;
p
(
)
≤
b
(
)
≅ Φ
b
+
1
2
−
np
np
1
−
p
(
)
− Φ
b
−
1
2
−
np
np
1
−
p
(
)
Exemple
: On jette 50 pièces équilibrées sur la table et l’on se demande la probabilité qu’il y ait
exactement 20 côtés PILE apparents.
Soit
X
la variable aléatoire comptant le nombre de PILE. Calculons la valeur demandée, soit
P X
=
20
(
)
,
à l’aide de l’approximation par la loi normale et comparons le résultat obtenu de manière directe par la
loi binomiale.
1) Approximation normale. On doit ruser un peu, puisqu’une loi continue ne peut pas calculer de valeur
ponctuelle, et remplacer une probabilité en 20 par une probabilité sur un intervalle de longueur unité
autour de 20 (l’intervalle “autour de l’heure” dans l’analogie avec la notion de retard et d’avance):
P X
=
20
(
)
=
P
19,5
<
X
<
20,5
(
)
=
P
19,5
−
25
12,5
<
X
−
25
12,5
<
20,5
−
25
12,5
=
P
−
1,56
<
X
−
25
12,5
< −
1,27
≅ Φ −
1,27
(
)
−Φ −
1,56
(
)
=
1
− Φ
1,27
(
)
−
1
− Φ
1,56
(
)
(
)
= Φ
1,56
(
)
−Φ
1,27
(
)
≅
0,94062
−
0,89796
≅
4,27%.
2) Loi binomiale.
P X
=
20
(
)
=
20
50
C
1
2
20
1
2
30
≅
4,19%.
On pourrait aussi calculer, de la même manière:
P
20
≤
X
≤
30
(
)
≈ 88,12%:
P
19,5
≤
X
≤
30,5
(
)
=
P
−
1,56
−
25
12,5
≤
X
−
25
12,5
≤
1,56
−
25
12,5
=
P
−
1,56
≤
X
−
25
12,5
≤
1,56
=
2
Φ
1,56
(
)
−
1
Dans ce cas, la loi binomiale demande plus d’efforts:
k
50
C
0,5
(
)
50
k
=
20
30
∑
≅
88,11%.
Mathématiques 4
ème
, niveau avancé
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