cours 4
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4 – Compléments de trigonométrie – Repérage polaire Définition 4.4.1 : Cosinus et sinus d’un nombre réel, d’un angle orienté de vecteurs Soit O ; i , j un repère orthonormal direct, c’est à dire tel que : i , j = ...... [2π] ( ) ( ) • Si x est un nombre réel, et M le point du cercle trigonométrique associé à x par « enroulement de la droite réelle », alors on a : M cos x = ........................................................... j sin x = ........................................................... O • Soit u ; v un angle orienté de vecteurs. ( )i Si u ; v = x 2π , alors : [ ]( ) cos u ; v = cos x ( ) sin u ; v = sin x ( ) Propriété 4.4.2 : Les lignes trigonométriques de référence [à connaître par cœur] On a le tableau suivant : π π π π 3πx 0 π 2π 6 4 3 2 2cos x sin x Préparation de la propriété 4.4.3 : Soit C le cercle trigonométrique et x un réel quelconque. On appelle M le point associé au réel x sur le cercle trigonométrique. Placer sur le cercle trigonométrique les trois points suivants. M j • N associé au réel −x O • P associé au réel π+ x i • Q associé au réel π− x Compléter les pointillés de la propriété 4.4.3. Propriété 4.4.3 : Lignes trigonométriques d’angles associés Si x est un nombre réel, alors on a les résultats suivants. • cos −x = ................. ...
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4 – Compléments de trigonométrie – Repérage polaire Définition4.4.1 : Cosinus et sinus d’un nombre réel, d’un angle orienté de vecteurs SoitO ;i,jun repère orthonormal direct, c’est à dire tel que :i,j=...... [2π] ( )( ) Sixest un nombre réel, et M le point du cercle trigonométriqueassocié àxpar « enroulement de la droiteréelle », alors on a : M cosx= ........................................................... jsinx= ........................................................... O Soitu;vun angle orienté de vecteurs. ( ) i = π, alors : Siu;v)x[2] ( cosu;v=cosx( ) sinu;v=sinx( ) Propriété4.4.2 : Les lignes trigonométriques de référence [à connaître par cœur] Ona le tableau suivant : π π π π3π x0π 2π6 4 3 22 cosx
sinx Préparationde la propriété 4.4.3 : Soit C le cercle trigonométrique etxun réel quelconque.On appelle M le point associé au réelxsur le cercle trigonométrique. Placersur le cercle trigonométrique les trois points suivants. M j N associé au réel−x O P associé au réelπ +xi Q associé au réelπ −x Compléterles pointillés de la propriété 4.4.3. Propriété4.4.3 : Lignes trigonométriques d’angles associés Sixest un nombre réel, alors on a les résultats suivants. cos(−x)= ................... cos(π +x)= ................... cos(π −x)= ................... sin(−x)= ................... sin(π +x) sin= ...................(π −x)= ...................
Chapitre 4 – Partie 4Page 2 sur 5 Exemple: Lignes trigonométriques associées aux lignes de référence Enutilisant les résultats des propriétés 4.4.2 et 4.4.3, on peut écrire : π cos− =..................... = .......... 3 2π cos=............................... = ...................... = .......... 3 4π cos =.................................................................................................................... 3 π cos−= .................................................................................................................... 6 5π cos =.................................................................................................................... 6 7π cos =.................................................................................................................... 6 π cos−= .................................................................................................................... 4 3π cos =.................................................................................................................... 4 5π cos =.................................................................................................................... 4 Compléterle tableau de sythèse 2π3π5π7π5π4π π π π x−−−3 4 6 6 4 36 4 3 cosxsinxActivité 1 : Une autre façon de repérer les points dans le plan On a représenté cicontre les cercles de centre O Het de rayon 1, 2 et 3, ainsi que les demi droites représentant les valeurs de référence. a.Placer dans ce repère les points suivants, π A tel que OA = 1 eti; OA=2π( )[ ] 4 O π B tel que OB = 2 eti; OB= −2π( )[ ] I6 2π i= πJ; OC C tel que OC = 1 et)[2] ( 3 K
Chapitre 4 – Partie 4Page 3 sur 5 eti; OD= −π2π D tel que OD = 3( )[ ] 11π et E tel que OE = 2(i; OE)=[2π]6 5π F tel que OF = 3 eti; OF= −[2π]( ) 4 b.Définir de la même façon les points H, I, J et K déjà présents sur le dessin. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ Propriété4.4.4 : Repérage polaire SoitO ;i,jun repèreorthonormé directdu plan, et M un point du plan distinct de O. ( ) Mpossède un unique couple de coordonnées père M cartésiennes(x;y)dans le re(O ;i,j). M(x;y)dans O;i,jéquivaut à ( ) r OM=..................................... jθ Ilest aussi possible de repérer M de la façon Osuivante : iOM=r(doncr>0) Ilexiste un couple de réels (r;θ) tel que : i; OM= θ2π ( )[ ] Ondit que M a pour ..............................................................(r;θ)dans le repère ............. Onnote ............................ Remarques: Un même point M possède ............................... de couple de coordonnées polaires. revanche, si Enr> 0 etθest un réel, il existe .............................................. point M de coordonnéespolaires[r;θ]. Activité 2 : Formules de passages coordonnées polaires→coordonnées cartésiennes ;Soit Oi,jun repère orthonormal direct, et A le point du plan de coordonnées polaires ( ) π 3; dansle repèreO ;i. Placer A dans le repère de la page suivante. ( ) 3
Chapitre 4 – Partie 4Page 4 sur 5 Placer le point d’intersection A′du cercle trigonométrique et dela demidroite[OA). Quelles sont les coordonnées cartésiennesdeA′? _________________________ j ExprimerOAen fonction de OA′. O i__________________________________________________ En déduire les coordonnées cartésiennesdu point A. _________________________ _________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Propriété4.4.5 : Passage des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes SoitM un point distinct du point O. SiM a pour coordonnées cartésiennes(x;y)O ;dans le repère orthonorméi,jet pour ( ) e O;i, coordonnéespolaires[r;θ]dans le repèr( )alors : x=........................................... y=........................................... 2π Exemple: Soit A le point de coordonnées polaires5 ;−. 3 Calculerles coordonnées cartésiennes de A. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ Activité 3 : Formules de passages coordonnées cartésiennes→coordonnées polaires ;Soit Oi,jun repère orthonormal direct, et A le point du plan de coordonnées ( ) cartésiennes2 3; 2. ( )
Chapitre 4 – Partie 4Page 5 sur 5 a. Démontrerque A appartient au cercle de centre O et de rayon 4. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ b.appelle A On′le point d’intersection du cercle trigonométrique et de la demidroite [OA). ExprimerOA′en fonction deOA, puis en déduire les coordonnées cartésiennes du pointA′. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ c. Déterminerun nombre réelθAtel que′ait pour coordonnées cartésiennes (cosθ; sinθ). ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ d.sont les coordonnées polaires du point A ? Quelles ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ Propriété4.4.6 : Passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires SoitM un point distinct du point O. SiM a pour coordonnées polaires[r;θ]dans le repèreO ;iet pour coordonnées ( ) x;ydans le repèreO cartésiennes( )(;i,j), alors : r=.......................................... cosθ =.......... et sinθ =.......... Exemple:Soit A le point de coordonnées cartésiennes−3 dansun repère1 ; ( ) O;i,j. Calculer les coordonnées polaires de A dans le repèreO ;i. ( )( ) ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________
