Cours 2009-2010bb
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fi¾¾fififi¾fi¾¾fi¾fi¾¾¾¾¾¾¾¾¾fi¾SECONDE LESV ECTEURS Chapitre I I I-- LLA NNOOTTIIOONN DE VVECCTTE UURR- 1- La translation DDDDééééffff1111 :: : LLLL: aaaa ttttrrrraaaannnnssssllllaaaattttiiiioooonnnn qqqquuuuiiii ttttrrrraaaannnnssssffffoooorrrrmmmmeeee uuuunnnn ppppooooiiiinnnntttt AAAA eeeennnn uuuueeeennnn ppppaaaaoooouuuuiiiinnnnttttrrrrtttt BBBB euuusnnnt u««« ddd ndééé éppp«plllaaalacccceeeemmmmeeeennnnttt t rrrreeeecccctttiitillliiiilgggignnnneee e»»» » qui envoie un point M quelconque du plan vers un p’o itnetl MqueA BAMB’M ’Mso isto iut nu np apralrléaloléglroagmram. eme Ex : sur la figure ci-contre, construisons M’ im aMge pdear la translation transformant A en B : Rmq : une translation est complètement caractérisée lpeas rdeux points A et B ou encore par la flèche symbolisant le déplacement « de A vers B ». 2- La notion de vecte ur Déf2 :L a translation qui transforme un point A en uen paouintrt B est appe llaléa e t rtraannsslalatitoionn ddee vveeccteteuurr AAB o ù AAB e st un nouvel objet mathématique caractérisantd élep ladcéepmlaent de la translation. 666667Rmqs : le vecteur 4 5 est représenté par une flèche. le point A s’appell’eo rigine du vecteu ret le point l’eBx trémité du vecteu.r Caractérisation d’un vecteu r: Un vveeccteteuurr eesst t eenntitèièrreemeennt t ccaarraacctétérrisiséé p :p a: arr Sa direction ( ...
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SECONDELES VECTEURSChapitreIII-LA NOTIONDEVECTEUR1-La translationDéf1:La translation qui transforme un point A en un autre point Bestun «déplacement rectiligne»qui envoie un point M quelconque du plan vers un point M’ tel queABM’M soit unparallélogramme. Ex :sur la figure ci-contre, construisons M’ image de M par la translation transformant A en B : Rmq : une translation est complètement caractérisée par les deux points A et B ou encore par la flèche symbolisant le déplacement « de A vers B ». 2-La notion devecteurDéf2:La translation qui transforme un point A en un autre point B est appeléela translationdevecteur ¾ ¾||¾¾|| ABoùABestun nouvel objet mathématique caractérisant ledéplacementde la translation. 6 Rmqs :le vecteur5est représenté par une flèche. le point A s’appellel’origineduvecteuret le point Bl’extrémitéduvecteur. Caractérisation d’un vecteur : Un vecteurestentièrement caractérisé par:Sa direction ( la droite (AB) dans notre exemple ).Son sens ( de A versBet non le contraire).Sa longueur ( la longueur AB).Mais que dire de vecteurs ayant les mêmes caractéristiques ? D’où : 3-Egalitévectorielle6 66 Déf3:si M’ est l’image de M par la translation de vecteur5, alors les vecteurs5 et==>caractérisent le même déplacement :ilsontmêmedirection,mêmelongueuretmêmesens.Ondit qu’ils 6 6 sontégauxetonnote:@ Ā> .Théor1 :Les quatre propriétés suivantes sont équivalentes : 6 6 -@ĀÇ . -ABDCest un ……………………….. - [AD]et [BC] ont …………………… - Latranslation qui transforme A en B transforme aussi ………………………… 1
6 66 Cas particuliers : on appelle vecteur nul et on note0le vecteur,55, etc. 6 6 5Ā0signifie : …………………………………………………………………………………………………………………………… 6 6 @ Āsignifie : ………………………………………………………………………………………………………………………… Ex : ABC est un triangle quelconque. On considère un point M extérieur au triangle.6 66 6 Construisons N tel que5=J Ā, puis construisons P tel que5= Ā, Montrons enfinque 6 6 J Ā: II-ADDITION DE VECTEURS1-Composée dedeuxtranslations( cfactivité)Théor2-définition4 : Quand on applique successivement l’une après l’autre deux translations, on dit que l’on fait la composéedecesdeuxtranslations. ¾|¾|¾|¾| La composée dedeuxtranslationsde vecteursuetvest une translation. ¾|¾|¾|¾|¾¾| ¾¾| On noteu+vu plusvecteur v »le vecteur caractérisant cetteet on lit « somme du vecteur composée. ¾¾| ¾¾| Ex :construisons A2l’image de A par la composée des translations de vecteursu et v :
¾¾| ¾¾| 6 Conséquence :u + v Ā qui est un représentant du vecteur somme. 2-Sommede deux vecteurs: relationdeChaslesetrègle duparallélogramme( cf activité)¾¾| ¾¾| Prop1:, il existe deux méthodes :u + vpour tracer un représentant d’un vecteur somme ¾¾| ¾¾| èmeera)u et v telssoit on choisit des représentants dequel’origine du2soit l’extrémitédu 1: c’estla relationdeChasles. ¾¾| ¾¾| ¾¾| ¾¾|¾ ¾|| u + v ĀAB + BCĀAC . ¾¾| ¾¾| b)Soit on choisit des représentants deu et vayant la même origine: c’estla règle du parallélogramme. ¾¾| ¾¾| ¾¾| ¾¾| ¾¾| u + v ĀAB +AC ĀADD où est tel que ABDC soit un parallélogramme. 2
Exercice : ABCD et BFEC sont deux parallélogrammes. Simplifions :
¾¾| ¾¾| a)…AB + AD Ā ¾¾| ¾¾| b)EC + DA Ā… ¾¾| ¾¾| ¾¾| c)AB + FE + CD Ā… 3-Vecteur opposé¾¾| ¾¾| ¾¾| Soient A et B deux points du plan. Avec ce qui précède, on a :AB + BA Ā AA d’aprèsChasles. Donc, ¾¾| ¾¾| ¾¾| AB + BA ĀD’où :0 . ¾ ¾||¾ ¾||¾|¾|¾|¾| Déf5 :On dit queBAest le vecteur opposé du vecteurABet on noteBA=-AB. ¾¾| ¾¾| AB et BA ontmême direction, même longueurmais : ………………… ¾¾| ¾¾|¾¾| ¾¾| ¾¾| ¾¾| Ex : construisons les points M et N définis par : BM =AB – DA et CN = DA + DB : III-MULTIPLICATION D’UN VECTEUR PAR UN RÉEL.COLINEARITÉ ( cf activité )1-Multiplicationd’unvecteurparunréel¾¾| a)Déf6 : Soientu unvecteur non nul et k un réel non nul. ¾ ¾||¾ ¾|| Le produit duvecteurupar le réel k estle vecteurnotékudéfini par: ¾¾| ¾¾| ·k uest de même direction queu et: siik>0sisikk<<00 ¾¾| ¾¾|¾¾| ¾¾| ·k ua le même sens queu·k uet u sontde sens contraire ¾¾| ¾¾|¾¾| ¾¾| ·||k u||= k|| u||·||k u||= – k|| u||¾¾| ¾¾|¾¾| ¾¾|¾¾| ¾¾| Rmq : Siu = 0 ouk = 0 , alors k0 = 0 et0 u = 0… 1 ¾¾| ¾¾| Exs : A partir de la figure ci-dessous, construire le point D tel queCD =AB . Déterminons ensuite le réel k 3 ¾¾| ¾¾| tel quev =k AB : v
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b)Propriétés de cette multiplication ¾¾| ¾¾| Prop2:vecteurs et soient a et b deux réels. Alors :Soient u et v deux ¾|¾|¾|¾|¾|¾|¾ ¾|| a(u+v)Ā au+av¾ ¾||¾ ¾||¾|¾| (a+b)uĀau+ bu¾|¾|¾|¾| a(bv) Ā (ab)v¾¾||¾|¾|¾|¾|¾|¾| auĀ0a = 0 ousi et seulement siu=02-Colinéaritéde deuxvecteurs¾¾| ¾¾| a)Déf7 :deux vecteurs non nulsditsu et v sontcolinéaires lorsqu’ilsont la mêmedirection.b)Caractérisation de la colinéarité ¾¾| ¾¾| Théor3:u et v nonDeux vecteursnuls sontcolinéairessi et seulement s’il existe un réel k non ¾ ¾||¾|¾| nul tel que :u=kv. Idée de preuve : cf. feuille de cours. ¾¾| ¾¾|¾¾| Rmq : Pour tout vecteuru , 0. u= 0 ,par conséquent, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur… c)Applications : Prop3 : ¾ ¾||¾ ¾|| (AB ) et ( CD ) sontLes droitesparallèlesssi les vecteursABetCDsont colinéaires. ¾ ¾||¾|¾| Les points A, B et C sontalignésssi lesvecteursABetACsont colinéaires. Preuve : Rmq : ces deux résultats sont très utilisés dans les exercices ! d)Applications aux milieux Prop4 :Soient A, B et C trois points non alignés du plan. ¾|¾|¾|¾|¾¾|| Iestlemilieudusegment[AB]ssi pour tout point M du plan, on a :MA+MB= 2MI. |1| ¾ ¾|¾ ¾| Si I est le milieu de [AB] et J le milieu [AC], alorsIJ=BC.( c’est le théorème de la droite des 2 milieux version vectorielle …
Preuve :
Cf. feuille de cours.
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