Cours 2009.2010b
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¾¥¾¥fi¥fi¥¥¥¾¥¥¥‰¥¾¥¥¥¥¥¥¥¥¥LA FONCTION LOGARITHME TERMINALE S Chapitre V IINEPERIEN. FONCTIONS ASSOCIEES ères I- -P RRESENTATION ET 11 P RROPRRIETES DDE LA FONCTION LOGARRITHME NEPERRIEN (( cff. . aaccttivivitité é )) 1 - DDDDééééffffiiiinnnniiiittttiiiioooonnnnssss 1 - a) Déf 1 :l a fonction exponentielle réalisant une eb ij escutri]o n0 d; + [, pour tout m l>’é q0u atio n 9:;( < ) = > posossèèddee uunnee ssololuuttioinon uunniqiuuee. O dnda annsos t e cette sol définie comme .étant le logarithme népér>ie. n de .?@ > s see l l: i t:i «t l oogariithme népériien> d oeou plus siimplem e?@nt B 9 >»» . . Exs : DE 10 est …………………………………………………………………………… XLe nombre X vérifiant = e 3 est : ……………………………………………………... En particul?ie@r I, = J et ?@ 9 = I. A retenir ! Rmq : ATTENTION ! On ne peut pas calculer le dleog a0r !it!!h m ln 0 . b) Lien entre exponentielle et logarith me népérienProp1 : ppppoooouuuurrrr ttttoooouuuu: tttt> ,,0,9 , : ; ( ?@ : ) = : Pour tou : t r éel quelconq ?u@ e( ,9 :; : ) =. :Ce que l’on retiendra plus simplement : . LPour tou:t > ,0 , L = ?@ : ssi i 9 = : . c) Déf2 :l a fonction logarithme népérien,? @n,o teéest la fonction définie s ; u r+ ] [[ 0q uii à toout réel : ssssttttrrrriiiicccctttteeeemmmmeeeennnntttt pppp aa aooooasssssssssssiiiisttttooooccciiiicffffiiiieeee? @ :... ...
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LAFONCTIONLOGARITHME TERMINALE SChapitre VIINEPERIEN.FONCTIONSASSOCIEESères I-PRESENTATIONET1PROPRIETES DE LA FONCTION LOGARITHME NEPERIEN ( cf. activité )1-Définitionsonction exponentielle réalisant une bijection des 0; +[, pour tout m > 0 a):Déf 1la fur]¥l’équation( < )= possède une solution unique dans.On note cettesolution< = ?@définie comme étant le logarithmenépériende.?@ selit:«logarithme népérien deou plus simplement?@ B ».Exs :É 10est …………………………………………………………………………… X Le nombre X vérifiant e= 3 est : ……………………………………………………... En particulier,?@ = J et?@ = retenir !. A Rmq : ATTENTION ! On ne peut pas calculer le logarithme de 0 !!!ln 0. b)Lien entre exponentielle et logarithme népérien Prop1 :pour tout > 0, ( ?@ )= Pour toutréel quelconque,= ?@ ( ).Ce que l’on retiendra plus simplement : Pour tout > 0, = ?@ssi. =c)Déf2 :la fonction logarithme népérien, notée?@, est la fonctiondéfinie sur] 0; +¥[ quià tout réelstrictementpositifassocie?@ .¾¾| ] 0 , +¥[ É:exp ( ln x ) = xtel queln x x ½¾¾| Rmq:attention à la saisie sur calculatrice : certains modèles attendent des parenthèses( classpad 300 par ex, ) : ln (x )ou lnx .Vérifiez la votre ! Une fois la fonction ln introduite, résumons les premières propriétés obtenues par considérations graphiques : 2-Les premières propriétésa)Continuité, dérivabilité et dérivée de la fonction ln Prop2 :la fonctionÉ estcontinuesur]0; +¥[, dérivable sur]0; +¥[et pour toutQ> 0, on a : =(?@ ). Preuve : On en déduit la propriété suivante :b)Tableau de variation et signe de la fonction ln Prop 3 :la fonction?@est strictement croissante sur ] 0; +¥[et : x 01 +¥ (É Q)=+ É Q0 Chapitre VIIPage 1
D’où les équivalences suivantes : ?@ J Q 10 W?@ 0 X 1Et bien sûr,?@ = J X = .De plus, on a aussi : Prop3 bis :pour tous a et b strictement positifs : [ X 0 \ [ É?@ Z J %= ?@] X Z = ]?@ ZAppl : résolvons dansl’inéquation suivante :É 2Q² –5Q 6% É –5Q 14 %
Voici un résumé pratique pour retenir toutes ces informations analytiques de la fonctionÉ:
Représentation graphique dans un repère orthonormé du plan : exp
( y = x)
ln
II-ETUDE DE LA FONCTION ln1-Propriétésalgébriquesde lafonction?@ cf. activité %Prop4: soient\et[deux réelsstrictement positifs, alors : Z ?@ ]?@ Z È] %= ?@Étransforme un produit en somme, c’est le contraire de la fonction exponentielle qui transforme une somme en produit … % ?@ =– ?@]] Z ! Z –?@ ]?@ = ?@Étransforme un quotient en différence, là aussi c’est le contraire de la fonction expo % ] Et surtout : pour tout nIN, on a : @ ?@ Z% = @?@ Zet= ?@Z?@ √Z % Chapitre VIIPage 2
Preuve : Exs d’appl :·Résolvons l’équation suivante :É Q% É 1% 7 Q% = É 3 Q: 4 n ·Déterminons le plus petit entier n tel que1 –³0,97 : 5 Cette propriété de transformer un produit en somme est même une caractéristique de la fonction ln et l’on a : Théor1 ADMIS%les fonctionsdérivables sur] 0; +¥[ qui vérifientpour tous réelsetstrictement positifs:( È )= () + ()sont les fonctions È ?@oùest une constante réelle.… On va utiliser ces propriétés algébriques pour démontrer les limites de la fonctionÉque l’on a conjecturées dans la toute première activité : 2-Limites usuellesde la fonction logarithme népérienProp5 :limites de la fonctionÉaux bornes de son ensemble de définition : ?Ô ?@ = +∞et?Ô∞= –?@ +∞ J limites associées au taux d’accroissement ( rusées … ) ?@ ( )?@ ?Ô =et?Ô = J Preuve : cf. feuille de cours. Rmq : pourprochede0,û + )?@ ( : c’est l’approximation affine de la fonctionÉau voisinage de 1. Comparons maintenant la fonctionÉaux puissances deQ: 3-Croissances comparées?@ @ * Prop6:pour toutÉ IN, on a :?ô> =J w?ô> = J ?@@ +∞ J Autrement dit, en +¥, c’est la puissance deQqui l’emporte surÉ. En –¥, c’est aussi la puissance qui l’emporte sur É! On remarque que, une fois de plus, c’est le contraire de ce qu’il se passe pour la fonction expo. Chapitre VIIPage 3
Preuve : ln xX ·Pour déterminer= ln xon alim ,posons X= x. Lorsque x tend versalors e#¥x tend aussi vers, ln#¥X tend vers, donc#¥. On peut écrire x x|+¥ X ln xX lnx Xe X = etpar composée de limites on obtient donc :lim =lim .Or on sait quelim =#¥ donclim =0 et x Xx XX X x|+¥X|+¥X|+¥X|+¥ e ee ln xlnx 1 lnx par conséquent, par composée de limites,lim=0.et …, il suffit alors de faire un produit avecPour la limite de n n-1 x xx x |x|+¥ 1 11 ·on a alorsx =ln x, posonsX =Pour déterminerlim xtend vers +. Lorsque x tend vers 0 par valeurs positives ,¥, doncX tend vers#¥peut. On x|0 xX x 1 11 lnX lnX lnX écrire xln x =ln =- lnX = -. Or on sait quelim =0 donc,par composée de limites,lim -= 0et par conséquentlimX XX XX X|x|0 X|+¥X|+¥ x ln x=0 .cqfd z{ Ex d’appl : soityla fonction définie sur ] 0 ; +¥[ paryQ% =. Etudions les limites deyaux bornes de son | ensemble de définition : Il ne reste plus qu’à aborder le cas de fonctions composées avec la fonction logarithme népérien et de voir, en particulier, celle abordée en chimie, d’où : III-FONCTIONS ASSOCIEES1-Fonction?@ } ~Prop7 :soitune fonction définie sur un intervalle I. Siest dérivable et strictement positive surI,la alors ~ fonction composée?@ } ~est dérivablesurIet?@ } ~%=.~ Preuve : Rmq : siest dérivable et strictement négative sur I, alorsÉ %est dérivable sur I etÉ %%== . On retrouve la même chose … 2-Fonctions logarithmes de base aDéf3 :soit\un réelstrictementpositifetdifférentde 1appelle. Onfonction logarithmede basea lafonction notée?définie sur ] 0; +¥[ par:Z ?@ ? ()=.Z ?@ Z De plus, dans le cas particulier deZ= 10, la fonction logarithme de base 10 est appeléefonctionlogarithmedécimaleet est simplement notéelogplutôt que10. Rmq : la fonctionutilisée en chimie, notamment dans la partie du programme concernant les mesures de pH …est Conséquences de la définition : Les fonctionsaont les mêmes propriétés algébriques que la fonctionÉ. Les fonctionsasont décroissantes dans le cas où0 \ 1. a( 1 ) = 0et la( a ) = 1et enparticulier,log(10)=1. n Pourtout nÎZ, log( 10) =n.
Chapitre VII
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p Ex d’application: soitQun réel strictement positif admettant pour écriture scientifique a10 oùa est un nombre décimal compris entre 1 et 10 et p un entier relatif. Déterminons une expression de Qpuis la partie entière de Q: p p+1 Ainsi, si x est un réel tel que 10£Q10 alorsp£ Qp + 1 : utile pour une idée d’ordre de grandeur. 3-Puissancesd’exposantsréelsOn part du constat suivant: on a vu il y a quelques temps que la fonction exponentielle possédait les mêmes propriétés algébriquesque les puissances entières de collège. On a alors décidé de noterwQ( Q )la forme sous x d’exposant : e . On a été en présence d’un exposant non plus entier mais réel … D’autre part, soitQun réel strictement positif etÉun entier relatif. Alors, = Qssi= É É QÉ ssi= wQwQ( É )( É É Q ) ssi { =won a l’égalité suivante :. Alors,Q=w.dernière notation est d’autant plus intéressante Cette qu’elle peut se généraliser àÉquelconque. Il ne reste donc plus qu’à définir la puissance réelle d’un nombre réel strictement positif … D’où : Déf4 :soitZun réel strictement positifetun réelquelconque. On définit le nombre«Zpuissance», noté Z, par : ?@ Z Z = .17,2 Ex : 3= ………………….……………….. Règles de calcul : les mêmes que celles de collège ! Ainsi, pour tous réels a et a’ strictement positifs et pour tous réels b et b’, on a : b a b b+ b ’b b’ bb ’ ln ( a) = b ln aa =a aa = b ’ a b b ’baba b bb’ bb ()b (a)a a’ = aa’ == a a’a’ T On peut ensuite définir des fonctionsyà quiQassocier vont\ .s’agit des fonctions appelées fonctions Il exponentielles de base a. D’où : 4-aFonctions exponentielles de baseDéf5 :soit a un réel strictement positif différent de 1.Lafonctionexponentielle de base a est la fonctionMZ définie surpar: ?@Z M () = Z.Ainsi, pour tout réel,M () = 9.Z Z Propriétés découlant de cette définition : T est dérivable surety ’(Q) y= É\\ .Si0 < \ < 1, alorsy.est strictement décroissante sur y.est strictement croissante sur Si\ 1, alors Allures des courbes : Chapitre VIIPage 5
1 =1,4
=0,5
=0,25
=4
=2
=1,4
= 1
1z{ Enfin, intéressons-nous au cas particulier de l’exposant b =on a alors ::\ =wEn utilisant les règles . n ² précédentes, ona alors\ Get en faisant l’analogie avec= a(a)= a, on définit : 5-Racinen-ième d’un réel positifDéf6 :soit\un réel strictement positif etÉun entier naturel non nul.On définit la racine n-ième du @ réel a,notée √Z, par: @ @ √Z=Z. n Conséquence :√\= a. est l’unique réel positif X vérifiant X 10 5 Ex : Résolvons l’équation 3Q– 7Q+ 2 = 0 :
Chapitre VII
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