Cours 2009.2010
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¾fifi¾LES FONCTIONS AFFINES . .Seconde Chapitre IIII APPLICATION AUX DROITES. I- -L ES FONCTIIONS L IINEAIIRES ET AAFFFININEESS ( Rappellss ett compllémenttss ) 1- DDééffiinniittiioonn 1- DDééffiinniittiioonnDéf1 :S oient a et b deux réels donnéUsn.e Ufonnec tfionc taioffnin ae f +f i n eest une fonction définie sur par : +(,) - ., / 0 . Ex : les fonction1s e t 2 respectivement définies sur par 1 (4) - 34 / 5e t 2 (4) - 24 – s7ont des fonctions affines… =>?Ctre-exs : les fonctions définies p;a(r 4) - ( – 34 / 1 )( 4 / e t5 < ()4) - ne sont affines car, =@Aaprès simplification, les expressions ne sont pas lade forme « 4a / b ». • LLoorsrsqquuee b - 0, la fonction est dilitneé aire, comme par exemple, la fonct1i odén finie par 1(4) - –3.4 • LLoorsrsqquuee a - 0, la fonction est dictoen stante, comme par exempl;e,( 4) - 3 p,our tout rée4l . 2- RReepprréésseennttaattiioonn ggrraapphhiiqquuee 2- RReepprréésseennttaattiioonn ggrraapphhiiqquueeProp1 :D ans un repère (O;i ; j ) du plan, la représentation graphique de la fonc taioffine 1 : 4 JK4 / Le st lla drroiitte de coefffiiciientt diirrectteurr o ouu ppeenntete a a ett passsantt pass llep opinoitn tP (P0 ( ;0 b.)b . b e sets atap ppeelélé l’ordonnée à l’origine. . O - ., / 0 esstt ll’’équattiion rréduiitte d e . . « Preuve » : cf. feuille de cours. Cas particuliers: • Dans le cas d’unefo nfoctnicotnio nli nléinaiéraei r4e J K4, la ...
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LES FONCTIONS AFFINES.SecondeChapitreIIIAPPLICATIONAUXDROITES.I-LES FONCTIONSLINEAIRES ETAFFINES( Rappels et compléments )1-DéfinitionDéf1 :Soient a et b deux réels donnés.Une fonction affine+est une fonction définie surpar : +() / .Ex :les fonctionsetdéfinies surpar respectivement(4) 34 / 5 et(4) 24– 7 sont des fonctions affines… =? Ctre-exs :les fonctions définies par)/ 5)( 4(4) (– 34/ 1 et(4) sont affines car, ne =@Ā après simplification, les expressions ne sont pas de la forme « a4/ b ». ·Lorsqueb0, la fonction est ditelinéaire, comme par exemple,la fonctiondéfinie par– 34(4) . ·Lorsquea0, la fonction est diteconstante, comme par exemple,(4) 3,pour tout réel4. 2-Représentation graphique¾|¾| Prop1:Dans un repère (O;i ;j )du plan, la représentation graphique de la fonction affineJ : 4 K4 / estla droitedecoefficient directeurou penteaet passant pas le point P(0; b).best appelé l’ordonnéeàl’origine.Ô / estl’équation réduitede. « Preuve » : cf. feuille de cours. Cas particuliers: · Dansle cas d’unefonction linéaireK44 J, la droite d’équation K4passeparl’originedu repère. L’image est alorsproportionnelleà la variable. ·cas d’une Dans lefonction constante, la droite d’équation estparallèle à l’axe desabscisses. L’image est constamment égale à b. @Q= Ex : soitla fonction affine définie par(x) . Traçons la courbe représentative dedans un repère orthonormé : 3-Variations d’unefonctionaffineProp2: soient a et b deux réels donnés et la fonction affine/ . : 4J K4a>0 alorsest Sicroissantesur. Sia0 alorsestconstantesur . issantesur . Sia<0 alorsestdécro Preuve :
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4-Signede ( cf. activité )Théor1:soient a et b deux réels donnés et la fonction affine: K . On distingue deux cas : Le casa < 0la droite descend de «»vers«-»Le cas a >0la droite monte de «-»vers«»–¥b/a –¥ –¥b/a –¥+ – K –K On retiendra:–¥b/a –¥Signe de – a K Signe de a @Ā=Z Ex:dressons le tableau de signes de la fonction affinedéfinie par() : II-APPLICATIONAUXDROITES1-Equations de droite ( cf activité )|¾ |¾ Dans la suite du paragraphe, on considère un repère du plan (O;i ;j ). Théor-déf2 :Toute droiteduplanaune équationsoit de la forme:Ô [ \soit de la forme ] où_, `etâsont des réels. Dans le cas de _ `, cette équation est appeléel’équation réduitedeladroite. Pourrappel, le réel_est appeléle coefficient directeurde ladroite( ou pente … ) et le réel`est appelél’ordonnée à l’origine. Réciproquement, l’ensemble despointsM( ;Ô) du plan dontles coordonnées vérifientsoitÔ [ \soit ]est unedroite.Preuve : cf. feuille de cours. Rmq :plus généralement, une droite du plan ( quelle que soit sa position ) admet une équation de la formeK â, appelée équation cartésienne… 2-Coefficient directeur d’une droiteProp3 :Soit (d) une droite du plannonparallèle à l’axe desordonnéesd’équation réduiteÔ [ \.Ô @Ô É F Si A ( xA; yA) et B(xB; yB) sont deux points distincts de la droite (d), alors[ .D’autre part, @ É F k Hestunvecteur directeur de (d). [ Ex : Soient A ( 2 ; 4 ), B( 3 ; – 1 ). Justifions que la droite ( AB ) n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées puis déterminons l’équation réduite : Chapitre IIIPage2
Ex bis: soit gfonction affine définie surassociée à la représentation graphique suivante. Déterminons l’expression de g() :
( )@ () ô k Onpourraretenir:( () ) ( )où .k kk ô @ ô k 3-Caractérisation des droites parallèlesProp4 :soient (d) et (d’) deux droites du plan. Si (d) et (d’) ont respectivement pour équations réduites :Ô [ \etÔ [ \:(d) et (d’) sont parallèles si et seulement si:[ [’. Preuve: Corollaire :si (d) et (d’) ont respectivement pour équations réduites :Ô [ \et \Ô [(d) et (d’) sont sécantes si et seulement si [ [’.Mais comment faire pour déterminer les cordonnées du point d’intersection de droites sécantes? Ce qui nous mène au dernier paragraphe : III-SYSTEMES LINEAIRES DE DEUX EQUATIONSADEUX INCONNUES–LIEN GEOMETRIQUE1-Définition2On appellesystèmededeuxéquationsàdeux inconnuesun ensemble de deux équations du type : ax by coù x et y sont les inconnues, a, b et c des nombres arbitraires. x 2y -5 Exemple :est un système de deux équations à deux inconnuesx et y. 4x y 1 Résoudreuntelsystème, c’est trouver tous les couples (x ; y) qui sont solutionsdes deuxéquations à lafois, c’est à dire pour lesquelsles deux égalités sont vraies. Dans l’exemple précédent, le couple ( 2 ; 3 ) n’est pas solution : Eneffet, 2 2´3 8¹- 5. Par contre, le couple ( 1 ; -3 ) est solution : Eneffet, 1 2´( - 3 ) 1 - 6 -5et ( - 3) 4 - 3 1. 4
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2-Interprétationgraphiqueax by c Prop5:soit à résoudre le systèmeoù l’on suppose ( a, b ) et (a’ ; b’ )¹( 0, 0 ). On se a’x b’y c’ place dans un repère du plan.Alors,ax byc et a’x b’y c’sont deséquationscartésiennesde deux droites (d)et (d’). Ainsi,résoudrelesystèmerevientàdéterminerl’intersection de cesdroites. On obtient ainsi les différents cas de figure : (d) et (d’) sont strictement (d) et (d’) sont confondues(d) et (d’) sont sécantes parallèles
ab’ – a’b 0ab’ – a’b¹0 Le système n’admet aucun coupleLe système admet une infinité deLe système admet un couple solution couplessolutions solutionunique Ainsi, le système admet un unique couple ( x; y )solution ssi le produit en croix des coefficients est différent de 0: ab’–a’b¹0.Explications : Ex : le système suivant admet-il une seule solution ? Une infinité ou … ? : 3x– 2y 4 4 – 2x y 2 3 3-Méthodes de résolutiona)Par substitution:Elle consiste à exprimer, dans une équation, une inconnue enfonction de l’autre et«substituer»cetteexpressiondansladeuxièmeéquation.Ex : 3x-5y 11 Soit le systèmeRésolvons-le par substitution : . 2x 3y 1 b)Par combinaison: Elle consiste àmultiplier chacune desdeux équationspour faire apparaître les mêmescoefficients devant l’inconnue x puis l’inconnuey.Ilsuffitensuite de soustraire membre à membre pour éliminer, tourà tour, chacune dersdeuxinconnues. C’est:«faire des combinaisonssurlesdeux lignesdu système».Ex : résolvons le même système mais par combinaisons : cf. feuille de cours.
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