Cours 2009.2010
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-¥¥V¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥-¥¥¥¥¥¥-¥¥¥¥¥¥¥¥¥-¥¥GENERALITES SUR LES SECONDE CHAPITREI FONCTIONS I- L ESS INTERVALLE S S DDDDééééffff1111 Soient a et b 2 nombres réels tels que a < b. L'intervalle FERME [ a ; b ] est l'ensemble des réel s. tel que : 0 1 2 1 3 a b + L'intervalle OUVERT ] a ; e sb t [l'ensemble des réels . tel que :: 0 < . < 4 a b + L'intervalle noté[ b ; + [ est l'ensemble des réels . tels que 3: 1 2 b + L'intervalle noté ] - ; a ]e]st l'ensemble des réels . tels que :2 1 0 a + ersRmqs : dans les deux 1 cas, a et b sont appellllléeeeesssss bbbboooorrrrnnnneeeessss ddddeeee llll’’’’iiiinnnntttteeeerrrrvvvvaaaalllllllleeee .... – ("moins l'infini") et + ("plus l'infini") ne sont pas des nombres, ce sdoenst symboles. Du côté de – ou + le crochet etsot utjoujrosu orsu voeurvt,e rptar convention. L'ensemble des réels sse notte ausssii – ]] – ; ++ [ . [ . ...
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GENERALITESSURLESSECONDECHAPITREIFONCTIONSI-LESINTERVALLESDéf1Soient a et b 2 nombres réels tels que a < b. L'intervalleFERME [ a;b ] est l'ensemble des réelstel que : ab#¥L'intervalleOUVERT ]a ; b [est l'ensemble des réelstel que: < < ab#¥L'intervalle noté[ b ; +¥[est l'ensemble des réelstels que : b#¥L'intervalle noté]-¥; a ]est l'ensemble des réelstels que : a#¥ers Rmqs :cas, a et b sont appelésdans les deux 1les bornes de l’intervalle.–¥("moins l'infini") et +¥("plus l'infini") ne sont pas des nombres, ce sont des symboles. Du côté de –¥ou +¥ le crochet esttoujours ouvert, par convention. L'ensemble desréelsse noteaussi ]–;+[.¥¥ L’intervalle[aest; b [ditfermé en aetouvertenb.Ilcontient a mais pas b.Ex : Résolvons dansl'inéquation3 – 2 5 + 3. Représentons ensuite graphiquement l'ensemble des solutions de cette inéquation etécrivons cet ensemble à l'aide d'intervalles : Rmq :on pourra être amené à considérer des réunions d’intervalles et, éventuellement, des intersections d’intervalles. Nous ne ferons ici aucune théorie mais nous verrons au cas particulier … * Ex :l’ensemble des réels privé de zéro, noté, peut s’écrire: ] –; 0 [0 ; +[ où ] estle symbole ¥ ¥ « union »… II-NOTIONDEFONCTIONETCOURBEREPRESENTATIVE(cf activité)1-Notion de fonctionDef2 :ensemble de nombres réels.Soit unUne fonctiondéfiniesur estun processus, une « machine » quià n’importe quel réelcorrespondre un nombre y, notédans fait(). On note cette fonction : : Û () Ce qui se lit :«définie surà valeurs dansqui àassocie()». Rmq :()se lit:«fde».Def3 :est appelé la variablecar sa valeur varie. Def4 :emblededéfinition de.le note sou On. En pratique,fest estappelé l’ensventf l’ensembledes réels x tels que()puisse se calculer( pas de division par 0, pas de racine de négatifs …). Il s’agitsouvent d’unintervalleoud’uneréuniond’intervalles.1
Def5 :<>est appelél’image depar<elle est unique>. estun antécédentde<>par< il peut en exister aucun, un ou plusieurs >. Quelquesexemples pour mieux comprendre : Exemple1 : Soitmesure du côté d'un carré la ABCD. Soitla fonction qui àassocie le périmètre du carré de côté.L’ensemble de définitionest ……………………… f ……………………………………………………………….……… Pour tout nombrepositif, on a<>= ……....… . On note :: …….T ….… U ……. Ainsi, on a :<1 > = ……………………………. On dit aussi : «de 1 égale 4 »ou « l'image de 1 parest 4 ». On dit aussi que 1 est un antécédent de 4 par.<2> =… … … … …<100> = …… … … … … . .<0,5> = …… … … … … ..Le ou les antécédents de16 sont : …………………………………………………………………… Et que dire des antécédents de - 4 ? ………………………………………………………………………. Exemple2 : Soit] la fonction définie sur IR par= 4²] < >– 15.– 4Vérifions que]< >= <2– 1>²– 16: 1 et 3Calculons les images de 0 ;. < valeurs exactes ! > 2 Déterminons le ou les antécédents de – 17 : Résolvons l’équation]<> = 0: Complétons, à l’aide de la calculatrice, le tableau de valeurs suivant : 0,3 0,4 0,5 0,6 10
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MEMO UTILISATION DE MA CALCULETTE : 2-Représentation graphique d'une fonction ou courbe représentative
a)Déf6étant une fonction définie sur, dans un repère (O; I; J) du plan,fla courbe représentative notéefdela fonctionest l'ensemble des points de coordonnées( ;() ),appartenant àf. Rmq :On place donc les valeurs deen abscisses et celles deç Z ()en ordonnées. On dit que cette courbe a pouréquation Z ()( dans le repère(O; I; J)).Ex : la représentation graphique de la fonction du deuxième exemple précédent est :
Cette courbe a donc pour équationç Z4² É 4 É 15.b)Utilisation de la calculatrice pour tracer cettecourbeMEMO UTILISATION DE MA CALCULETTE : Ex : Traçons la courbe représentative de la fonctiondéfinie surpar– ² 2 5() Z:( unité : 1cm ) - Cf feuille de cours – 3
III-DIFFERENTESLECTURESGRAPHIQUES1-Lecture graphique d’images et d’antécédentsOn considère une fonctionest ci-dessous. On veut déterminerdont la courbe représentative graphiquement, c’est-à-dire par lecture de ce graphique, des images et des antécédents.
Quelle est l’image de 3 ? ………………………………………………………………. Rédaction : Déterminons par lecture graphique :(É1) Z …… . .; (0)Z …… … … ..Quelles sont lesantécédents de 1 ?......................................................................................
Rédaction:
Quelles sont les antécédents de 0 ?........................................................................................ Rmq : ces lectures graphiques ne permettent souvent d’avoir que des valeurs approchées. Et que dire des antécédents de 5 ?
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2-Résolut° graphique d’équations et d’inéquations–Tableau de signes
ATTENTION A LA REDACTION!!!a)A partir de l’exemple précédent, résolvons les inéquations etéquations:() <1puisf() Z ÉH:
Pour() % 1: rédaction:
Pour() ZÉH:b)Tableau de signes de()en fonction de :Explications:()IV-VARIATIONSD’UNEFONCTION. EXTREMA ( cf activité)1-Fonction croissante,décroissantesurunintervallea)Déf7: Soitune fonction définie surun intervalle I·est dite croissante sur Ilorsque pour tous réels a et b de l’intervalle I,si a£b alors(a)£(b).·est dite décroissante sur Ilorsque pour tous réels a et b de I,si a£b alors(a)³(b). ·est dite constante sur Ilorsque pour tous a et b de I,(a) Z(b).Concrètement,est croissantesurIlorsqu’ellenechangepas lesens des inégalités.est décroissantesurI lorsqu’ellechange lesensdesinégalités.Rmq : on définit de même :une fonctioneststrictement croissante sur Ilorsque pour tous réels a et b de l’intervalle I,si a %balors(a) %(b)( inégalitésstrictes). une fonctioneststrictement décroissante surIlorsque pour tous réels a et b de I,si a % b alors(a) >(b).Rmq bis : attention, on dit qu’une fonction est croissante ou décroissante sur un intervalle et pas sur une réunion d’intervalles, ça n’a pas de sens !!! ·Etudier les variations d’une fonction,c’est dire sur quels intervalles elle est croissante et sur quels intervalles elle est décroissante.On résume ces informations dans unTableau de Variations( cf exemples suivants). 0 ; ∞ * b)Exd’une fonction définie par une expression( le plus difficile … ) : soitk : . Û 5
Alors] 0 ; +est décroissante sur¥[. En effet, soient a et b 2 réels strictement positifs tels que 0 < a£b. 1 1 Alors on démontre( cf. feuille de cours ) que³ c'est-à-dire(a)³(b).changé le sens de a a b l’inégalité donc] 0 ; +est décroissante sur¥[. D’où le Tableau de Variations : x 0+¥Rmq : la double barre signifie que 0 est valeur interdite, le retenir … c)associEx d’une fonctionée àune représentation graphique: soit g une fonction définie sur l’intervalle [ –sa représentation graphique ci-0,5 ; 4 ] associée à contre : Alors, g est décroissante sur [- 0,5 ; 1 ] : en effet, si a et b sont deux réels de cet intervalle tels que a£ b, alors les points M et N d’abscisses a et b ont pour ordonnées g(a) et g(b) et M étant plus haut que N, g(a)³g(b). De même, on a : D’où le Tableau de Variations : x g 2-Extremum: maximum et minimumd’unefonctionDéf7 : soientune fonction définie sur un ensemble.et a et b deux éléments de sur On dit queadmet un minimumsuren alorsque(a ) est la plus petite image de: Pour tout xÎ,( x )³( a ).( a ) est dit leminimum desur. « Graphiquement, le minimum, si il existe, est l’ordonné du point le plus bas de la courbe. » admet un maximum suren blorsque( b ) est la plus grande imagur On dit quee des: Pour tout xÎ,( x )£( b ).(b ) est dit lemaximum desur. « Graphiquement, le maximum, si il existe, est l’ordonnée du point le plus haut de la courbe. » Unextremumde la fonction est un maximum ou un minimum. Rmq:il peut ne pas exister d’extremum : si l’on considère la fonctionpar :définie sur (x) = 2x + 3. Alors, ni de minimum sur.n’admet pas de maximum sur Ex:A partir de la fonction du graphique précédent : Quelest le maximum desur [ – 0,5 ; 4 ] ?admet-elle un minimum sur [ – 0,5 ; 4 ] ? Quelest le maximum desur [ 1 ;4] ?
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