Cours 2008.2009b
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¾‡‡Ì‡Ìfi˛‡˛‡˛‰˛Ì¥¾Ì‡TERMINALE S LES SUITES NUMERIQUES Chapitre IX èreI- P RREESSEENNTATATITOIONN : :G :R GORSO SR ARPAPPELESL SD ED E1 1 S S 1- Définitions et notation s Déf1 :on appelles usiuteit en unmuméréiqriuqeu,e toute application de IN dans dIR’o ù (l’adjectinf unmuémriéqruiqe ue… ).ssuuiittee nnuumméérriiqquuee nnuumméérriiqquueeUne suite se note( (: U U ) ) ou ( ( (U U U) ) ou plus simpleme(n ( tU U () ) U, cette dernière notation étant la n nn INI n nn 0nnotation la plus utilis.ée On noteU l ’ilm’imagaeg ed ed el ’eln’etnietire rn antautruerl e(ln nplutôt que U ( n ) …). n U est appelél e terme général de la suite () ,) U ou encolre tler mter mde draen gra ng l eloe nu t eterrmee dnd’i’dniidciec en .n nnU estl el et etremrme ei niintiatila ld ed el al as usiuteit e() .() U U0 n Rmqs : - Concrètement, une suiteu nes tl isutne e deli stneo mdeb srenso…m bprar exemple : ( 1 , ,2 …² , n3 ² , … ). - Ne pas confondreU U qquui i ddééssigignnee uunn nnoombbrree eet t ( ( ) ) U qquui i ddééssigignnee uunnee ssu uitidetoenc une liste de n nnombres… - U désigne le terme d’indice n+1 et non + U1 …F aFitaeiste sa ttaetntetniotnio nà àl a lap opsoitsiiotnio ns usru rl a lald igulni ge n ed u n+1 n «+1 + 1+1 » ». Exs : - Soint )( lVa suite des carrés des entiers naturels.po uArlo rtso ut entier n,n =V ………………… V = …………………………. . Ce sont les termes d’indice ……… …………2n+1 - Soit ...
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TERMINALESLESSUITESNUMERIQUESChapitreIXère I-PRESENTATION:GROSRAPPELSDE 1S1-Définitions et notationsDéf1 :on appellesuite numérique, toute application de IN dans IR ( d’où l’adjectifnumérique… ).Une suite se note :( Un)nÎINou( Un)n³ 0 ou plus simplement( Un)cette dernière notation étant la , notation la plus utilisée. On noteUnl’image de l’entier naturel n( plutôt que U ( n ) …). Unest appeléle terme général de la suite ( Un), ou encorele terme de rangnoule termed’indice n. U0estletermeinitialdela suite (Un). Rmqs : - Concrètement, une suite estune liste denombres… par exemple : ( 1 , 2 ² , 3 ² , … , n ² , … ).- Ne pas confondreUnqui désigneno un mbre et ( Un) qui désigneune suiteune liste de donc nombres… -Un+1le terme d’indice n+1 et non U désigne n1 … + Faites attention à la position surlalignedu «+1». Exs : - Soit ( Vn) la suite des carrés des entiers naturels. Alors pour tout entier n, Vn= ………………… V2n+1= …………………………. . Ce sont les termes d’indice ………………… - Soit ( Wn) la suite définie par Wn= 3 n + 10. Le terme d’indice 2 est W2= ……… , le terme d’indice 10 est …………………. , le terme d’indice 2n est W2n= ……………… Rmq bis : Une suite peut n’être définie qu’à partir d’un certain rang n0; on la note parfois ( Un )³n0et son terme n 1 initial est Un. Par exemple, la suite des inverses, de terme général Unn’est définie que pour n= , ³1. n 0 2-Différents modes de génération d’une suite ( cf activité)a)Par une formule expliciteOn peut définir une suite par uneformule explicite, qui permet de calculer directement à partirde n le termegénérald’indicenn Exs : La suite ( Un) définie par : Un= 5 . U3= ………… Ou encore, ( Vn) définie par Vn= 2n² – 7. V10= ……………. Cas particulier : Soit f une fonction définie sur [ 0 ; +¥ [ ( au moins ) .définir une suite (UOn peut n)en posant, pour toutentiernaturel n,Un= f ( n ). Ex : Soit f la fonction définie sur IR par f : x 3 x ² + 2 x + 5 et ( Un ) la suite définie par : ½¾¾| Un= f ( n ). Ainsi pour tout entier naturel n, on a : Un= 3 n ² + 2 n + 5. Pour calculer le terme d’indice n, il suffit de chercher l’image de n par f. On en déduit que : U0= 5 , U1= ………, U2, U=……... … n+1= ……………………………………..…………………... b)Par une relation de récurrenceDéf2 : on peut définir une suite parune formule de récurrence basée sur la donnée de deux informations: Le termeinitialU0( ou autre si la suite débute à un indice supérieur … ) Unerelation ditede récurrence quipermetde calculerUn+1en fonction de Un( un terme en fonction du terme précédent voire, de plusieurs termes précédents … ). Cas particulier : Soit f une fonction définie sur un intervalle I telle quef ( I )ÌI. On définit une suite (Un) avec : La donnée de U0. La relation de récurrence : pour tout entier n,Un+1= f ( Un). Ex : Soit ( Un) la suite définie par la formule de récurrence : U0= 0 et Un+1= 2 UnAinsi, pour tout+ 3. entier, Un+1f ( U = nx ) = 2x + 3. On peut alors calculeroù f( ) de proche en procheles tous termes de la suite. Calculons U5:
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Rmqs : - la donnée de U0et d’une relation de récurrence du type Un+1= f ( Unne permet pas toujours de ) 2 définir une suite … Ctre ex : U0= 1 et Un+1= f ( Un ) avec f( x ) = 2 – x - Si on change la valeur de U0alors on change de suite ! 3-Représentation graphique des suitesa)Lorsque Un= f(n)Dans ce cas, il suffit de tracerfdans un repère du plan. La suite ( Un) correspond àla suite des ordonnéesdes points de la courbe d’abscisse entière. On lit directement Unsur l’axe des ordonnées. b)Lorsque Un+1= f(Un) ( dans le cas d’une suite définie par récurrence )Dans ce cas, on peut obtenir une représentation de la suite à partir de la droite d’équation y = x et de la courbe f. Unse lit sur l’axe des abscisses … + + + Ex : Soit f définie sur par f(x) = 3x+2. Après avoir remarqué que f( )Ìon définit la suite ( U , n) par U0= 0 la relation de récurrence : . Illustrons graphiquement cette suite :on tracefet la droite Un+1= f( Un) d’équation y = x.y = x fExplications: U0 U1U2 U3 U4II-PRINCIPE DURAISONNEMENTPARRECURRENCE(cf.activité )On considère une proposition notée Pnd’un entier n (souvent énoncée par récurrence). On souhaite dépendant démontrer que cette proposition est vraie pour n’importe quel rang n. On peut alors utiliser un raisonnement par récurrence basé sur trois étapes fondamentales : INITIALISATION:on s’assure que la proposition estvraie auranginitiale 0 ou n0suivant les cas. P0est vraieHEREDITE:on suppose qu’il existe un rangp pour lequel la propositionestvraieaurangp. ondémontrealorsque la propositionestvraieau rangp+1: Ppest vraie⇒Pp+1est vraieCONCLUSION:on peut alors conclure que la proposition Pnest vraie pour toutn³0 ou n³n0suivantlecas. "n³0 ou n³n0,Pnest vraieRmq : concrètement, quand doit-on faire une démonstration par récurrence ? Lorsque c’est précisé dans les exercices (oh ?) ou lorsque l’on demande de prouver pour tout n une propriété souvent définie par une formule de récurrence.
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III-VARIATIONS D’UNE SUITE-SUITES MAJOREES ETMINOREES: RAPPELS ETCOMPLEMENTS1-DéfinitionsDéf3 :·Une suite ( Un )est dite croissantessi, pour tout entier naturel n,Un£Un+1. u0£u1£ u2£ …£ un£ un+1£ … ·Une suite ( Un )est dite décroissantessi, pour tout entier naturel n,Un³Un+1. u0³u1³u2³ …³un³ un+1³… ·( UUne suite n )est dite monotonelorsque elle estcroissante ou décroissante. Rmqs : - Si pour tout entier n, Un+1= Un, la suiteest diteconstanteoustationnaire. -On peut donner les mêmes définitionsà partir d’un rang n0.n - Certaines suites ne sont ni croissantes, ni décroissantes ( Un…).= ( – 1 ) 2-Méthodes pour étudier les variations d’une suiteère a)1méthode: on calculeUn+1–Un:La suite sera croissante ssi Un+1– Un³0 pour tout entier n. La suite sera décroissante ssi Un+1– Un£0 pour tout entier n. Explications : ( Un ) est croissante ssi, pour tout entier naturel n, Un£ Un+1, ce qui est équivalent à dire que la différence Un+1– Unest positive soit : Un+1– Un³0 pour tout entier n. Même raisonnement pour une suite décroissante. Ex : ( Un) est définie par une formule de récurrence du type : Un+1= 2 Un² + Un+ 3. Etudions les variations de cette suite : Un+1 ème b)2méthode: on calcule : UnAttention :seulement si les termes sont strictement positifs, on peut utiliser : Un+1La suite sera croissante ssi³1 pour tout entier n. UnUn+1La suite sera décroissante ssi£1 pour tout entier n. Un Explications : ( Un ) est croissante ssi, pour tout entier naturel n, Un£ Un+1, on divise par Unstrictement positif donc on ne Un+1change pas le sens de l’inégalité ... On obtient ainsi :³pour tout entier n. Même raisonnement pour une suite 1 Undécroissante. n Ex : ( Vn) est définie par Vntout entier n= pour ³1. Etudions les variations de cette suite : n 2 c)Lecasdessuitesdéfinies parUn= f ( n)( TRES RARE …carTRES BËTE …)Dans ce cas là, la suite et la fonction ont les mêmes variations.Pour avoirles variationsdelasuite,onétudieles variations de la fonction f:xf( x ) ( d’où le calcul de la dérivée …)¾|¾| ½
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d)Etude par récurrence( souvent préciséedanslesexercices mais pas toujours … )Utile danslecas desuitesdéfinies parrécurrencedu type Un + 1= f(Un):U0= 4 Ex : soit ( Un) la suite définie par : . Démontrons par récurrence que ( Un) est décroissante : Un+1= Un 3-Suites bornéesDéf4 : ·Une suite ( Un ) est ditemajoréessi il existe un réel M tel que : pour tout entier n,Un£M. M est appeléun majorant de la suite. ·Une suite ( Un ) est diteminorée: pour tout entier n, ssi il existe un réel m tel que Un³m. m est appeléun minorant de la suite. ·Une suite ( Un) est ditebornéelorsqu’elle est à la fois minorée et majorée. Rmq : une suite croissante est forcément minorée par son terme initial et de même, une suite décroissante est majorée par son terme initial… IV–LIMITESDE SUITESCf. rappels dans le chapitre I sur les suites convergentes, divergentes. Pour rappel : -unesuite convergente vers un réel l est une suite qui admet une limite l quand n tend vers +¥: lim Un= l. n| +¥ -une suite divergente vers ±¥ est une suite qui admet pour limite ±¥n tend vers + quand ¥: lim Un= ±¥. n| +¥ -une suite divergente tout courtune suite qui n’a pas de limite quand n tend vers + est ¥. Ex : n (( – 1))… Rmq: on ne calcule les limites de suites qu’en +¥, et non en -¥ou 0 … n est un entier naturel qui va de 0 à … très très grand … Convergence et monotonie (ATTENTION:nouveauté de terminale )Théorème1:soit ( Un) une suite numérique. Si ( Un) estcroissante et majorée, alors elleconverge. Si ( Un) estdécroissante et minorée, alors elleconverge. Intérêt : démontrer que des suites sont convergentes. U0= 2 2 er Ex : SUITE DE HERON D’ALEXANDRIE : soit ( Vn) définie par 1 . Dans un 1 temps étudions Un+Un+ 1= 2U n 2 1 x + * sur IR+. Puis, démontrons par récurrence, d’une part que ( U la fonction f définie par f(x) = n ) est 2x minorée par 2, d’autre part qu’elle est décroissante. Conséquence ? Enfin démontrons, encore par récurrence, 1 que : (Un– 2 )£U ( 0– 2 ). Conséquence ? n 2 – cf. feuille de cours -
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V–LESSUITESADJACENTES(ATTENTIONNOUVEAUTÉ DETERMINALE)1-PrésentationDéf5: soient ( Un ) et ( Vn ) deux suites numériques. ( Un ) et ( Vn ) sontdites adjacenteslorsqu’ellesvérifienttroispoints:-(Un) est croissante-(Vn) est décroissante-(Vn–Un) CV, vers 0.Rmq : peu importe l’ordre entre Unet Vn… Rmqbis : pour utiliser l’adjectif « adjacentes », il faut 2 suites …. Hein ! Rmqter : à partir de la définition, on a forcément :pourtout entier n,Un£Vn. En effet, sinon : 2-Propriété des suites adjacentesThéorème2:soient ( Un) et ( Vn) deux suites adjacentes. Alors, d’une partchacune desdeux suites(Un)et(Vn) est convergente. D’autre part,elles convergent vers la même limitelet l’on a : Pour tout n,Un£Un + 1£l£Vn + 1£Vn.Preuve : - cf. feuille de cours -. Ex :(Un) et (Vn) sont deux suites définies par U0= 0, V0= 2 et pour tout entier naturel n : 3Un3V+ 1 n+ 1 Un + 1V= et n + 1= 4 4 Montrons que (Un) et (Vn) sont adjacentes puis déterminons la limite commune : VI-LES SUITES ARITHMETIQUES1-Définition parrécurrenceDéf6 :on dit qu’une suite ( Un)est une suite arithmétique, lorsqu’il existe un réel r tel que pour tout entier naturel n , on aitUn+1= Un+ r. Le réel r est appeléraison dela suitearithmétique(Un). Concrètement on asse d’un terme au terme suivant en ajoutant un nombre r toujours le même : u0 u1 u2 u3 u4 u5 + r + r + r + r + r + r Rmq : la raison peut aussi bien être positive que négative… Ex : La suite des entiers naturels est une suite arithmétique de raison 1. D’autres exemples dans ce qui suit :
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2-Méthodepourdémontrer qu’une suite est arithmétique
METHODE: On calcule la différence Un+1–Un: SiUn+1–Unest égale à un nombre réel r, alors la suite est arithmétique de raison r. SiUn+1–Unest égale àtouteautre expression, comprenant n, alors la suite n’est par arithmétique. Ex : Soit ( Un) la suite définie parUn= 4n+ 7. Montrons que c’est une suite arithmétique : Pour tout nÎIN, on aUn+1–Un= 4 ( n + 1 ) + 4 – ( 4 n + 4 ) = 4. Ainsi pour tout n, on a Un+1= Unet par conséquent, ( U+ 4 n) est une suite arithmétique de raison 4. Prop1 :Plus généralement, tout suite ( Un) définie parUn= a n + b ( où aÎIR et bÎIR )est une suite arithmétiquede raison a et de premier terme b.Et réciproquement : 3-Formules explicites d’une suite arithmétique
Prop2 :Soit ( Un) une suite arithmétique de premier terme U0et de raison r. Alors, pour tout entier naturel n , on a :Un=U0+ n r.Plus généralement : Prop3 :Soit ( Un) une suite arithmétique de raison r. Alors, pour tout entier p et m, on a : Up=Um+ ( p–m) r.Preuve : Rmq : intérêts de cette formule : calculer un terme de rang quelconque dès qu’on connaît un terme et la raison ou encore, calculer la raison quand on connaît deux termes … Exs : - Soit ( Un) la suite arithmétique définie par U0= 7 et r = 12 , alors U6=…………………………………………… - Soit ( Un) une suite arithmétique telle que U2= 4 et U4= 10. Calculons la raison :4-Variations d’une suite arithmétique( évident … )
Prop4:Soit ( Un) une suite arithmétique de raison r. Si r > 0, la suite eststrictement croissante. Si r < 0, la suite eststrictement décroissante. Si r = 0, elle est bien entenduconstante… 5-Somme des termes consécutifs d’une suite arithmétique
Prop5 :Soit ( Un ) une suitearithmétique. On noteSune somme de termesconsécutifsde cette suite. Alors : er (1terme + dernier terme) S = «nb de termes ×»2Preuve : ( à retenir ! ) u7+ u15 Exs : - S = U7+ U8+ … + U15 = 9´ . 2
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er - Soit ( Vn) la suite arithmétique de 1 terme V0= 4 et de raison r = 3. Calculons la somme S des 100 premiers termes : -ARETENIR:Snsomme des n premiers entiers naturels: Sn=1 + 2 + … + n = VII-LES SUITES GEOMETRIQUES1-Définition par récurrenceDéf7 :On dit qu’une suite ( Un)est unesuitegéométriquessi il existe un réel q tel que pour tout entier naturel n , on aitUn+1= q × Un. Le réel q est appeléraison delasuite (Un). Concrètement, on passe d’un terme au terme suivant en multipliant par un nombre q, toujours le même. u0 u1 u2 u3 u4 u5 · ······´q´q´q´q´q Rmq : Cette raison sera supposée non nulle ( sinon la suite est constante égale à 0 à partir du rang 1…). D’autre part, cette raison peut aussi bien être positive que négative. 2-Méthode pour prouver qu’une suite géométriqueUn+1METHODE:On calcule le quotientlorsqu’on est sûr queUnn’est jamais nul! Un Sinon,onccaallcculleeUn+1et on prouve qu’il estégal à un nombre réel q fois Un. n Ex : Soit ( Un) la suite définie par : Un= 3 × 4 . Montrons que c’est une suite géométrique. Un+1Ici, Unest strictement positif donc on peut calculer le quotient. Pour tout nÎIN, on a = UnAinsi pour tout nÎIN , on a Un+1= Unet ( U× 4 n) est une suite géométrique de raison 4. n Prop6 :plus généralement, toute suite ( Un) définie parUn= a × q ( où aÎIR et qÎIR )est une suitegéométrique de raisonqetdepremierterme a.Et réciproquement : 3-Formules explicites d’une suite géométriqueProp7:Soit ( Un) une suite géométrique de premier terme U0et de raison q . n Alors, pour tout entier naturel n , on a :Un=U0×q.Plus généralement : Prop8: Soit ( Un) une suite géométrique de raison q. Alors, pour tout entier p et n, on a : n–p Un=Up×q.Ex : Soit ( Un) la suite géométrique définie par U1= 2 et q = 3 , alors U4=
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