Cours 2008.2009
5
pages
Français
Documents
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres
5
pages
Français
Documents
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres
¥fififi¥fi¥˛¥¥¥¥¥¥fi¥¥¥fi¥fi¥¥¥¥¥¥¥fi¥¥¥¥¥fifi¥fi¥fi¥fifi¥¥¥fi¥¥¥˛¥¥¥¥¥¥¥¥¾fifi¥fi¥fififi¥¥¥¥fi¥¥¥¥¥fi¥¥¥fi¥¥¥fi¥fi¥¥¥fififi¾¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥a¥a¥fi¥fi¥fifififia¥a¥a¥a¥afiafi¥¥¥¥¥¥¥¥fifififi¥¥¥¥¥¥¥¥¥fi¥¥¥¥¥fifififi¥¥LIMITES DE SUITES ET Terminale S CHAPITRE I FONCTIONS. I-- LIMITES DE SUITES ère Dans ce paragraphe, nous allons rappeler la notion de limite de suites vue en 1 S. Nous généraliserons cette définition au cas de limites de fonctions. Le but n’est pas d’étudier les suites dans leur globalité, ce que nous ferons dans un prochain chapitre. 1- Limites de suites ( rappels ) ( illustration avec Grapheasy ) a) Limite finie Déf1 : soit ( U ) une suite numérique et l . On dit que (( UU )) aa ppoouurr lliimmiittee ll et on note lliimm UU == (( UU )) aa ppoouurr lliimmiittee ll lliimm UU= = n nnnn nnnnnnnn + +++ l ou encore que ( U ) converge, vers l et on note ( U ) CV, vers l lorsque tout intervalle ouvert n ncontenant l contient tous les termes U à partir d’un certain rang. n1 1Exs de base : Les suites de terme général ou … convergent, vers 0. n n² Prop1 : - DDDDiiiirrrreeee qqqquuuueeee (((( UUUU )))) CCCCVVVV,,,, vvvveeeerrrrssss llll ssssiiiiggggnnnniiiiffffiiiieeee aaaauuuussssssssiiii qqqquuuueeee (((( UUUU –––– ...
Voir
Publié par
Langue
Français
LIMITES DESUITES ETTerminale SCHAPITRE IFONCTIONS.I-LIMITES DE SUITESère Dansce paragraphe, nous allons rappeler la notion de limite de suites vue en 1S. Nous généraliserons cette définition au cas de limites de fonctions. Le but n’est pas d’étudier les suites dans leur globalité, ce que nous ferons dans un prochain chapitre. 1-Limites desuites( rappels )( illustration avec Grapheasy)a)LimitefinieDéf1 :soit ( Un ) une suite numérique etl. On dit que(Un) a pourlimitelet on notelimUn= n||+¥ lou encore que(Un) converge, verslet on note(Un) CV, versl lorsquetout intervalle ouvert contenantlcontient tous lestermesUnà partird’un certain rang.1 1 Exs de base : Les suites de terme généralou …convergent, vers 0. n n² Prop1 : -Dire que ( Un) CV, verslsignifieaussique(Un–l ) CV, vers0. -LLaalilimititeedd’’uunneessuuititeeeessttuunniiqquuee!3n² – 1 Ex : calculons la limite de la suite ( VnIN, V) définie par : pour tout n= : n n² Rmq : il existe des suites qui ne convergent pas … la théorie sur les suites sera traitée plus tard dans l’année … soyez patients … Après ce rappel, nous allons appliquer cette notion de limitecaractérisée par lesintervallesà la notion de limites de fonctions, d’où : II-LIMITESDEFONCTIONS ( CFACTIVITE )1-Limite infinie en l’infinine fonction définie sur un interoù a( resp.] –; a ] ). On dit que Def2 :soitvalle [a ; +f u¥[Î¥fapourlimite+¥quand x tend vers +¥( resp.–¥), et on note:limf(x) =+¥(resp.limf(x) =+¥), |x|+¥|x|–¥ lorsquetoutintervalledu type]A; +¥[ contient tousles f(x) pourxassezgrand( resp.x assezgrandenvaleur absolue et négatif).Idem pourlimf(x) =–¥oulimf(x) =–¥.f|x|+¥|x|–¥ 2p+1 Exs :limx =–¥. Plus généralement,limx=–¥.x||–¥|x|–¥ ( puissances impaires )2p limx² = +¥. Plus généralement,limx=+¥. j |x|–¥x||–¥ ( puissances paires)¾| Oi 2-Limite finie en l’infiniDéf3 :soitl etsoit f une fonction définie sur un intervalle [a ; +[ où a( resp.] –¥; a ] ). On dit quef a ¥ Î pour limitelquand x tendvers+¥( resp.–¥), et onnote:limf(x) =l(resp.limf(x)=l), lorsque |x|+¥x||–¥ tout intervalle ouvert contenant l du type]l–a;l+a[ contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand( resp.x assez grand en valeur absolue et négatif). Vocabulaire : dans ce cas, on dit quela droite d’équation y =lest asymptote horizontaleàlacourbefen +¥(resp.–¥).1
Illustration : f estdans le «tube »[l– ;l+ ] fa a pour x devenant de plus en plus grand.fest de plus en plus proche de la droite d’équation y =l.Rmq : une fonction n’a pas forcément de limite en +¥ou –¥n’a pas de limite! Par exemple, la fonction cosinus en l’infini … 3-Notion d’asymptote oblique¾||¾ Déf4 :j )repère du plan, on dit queDans (O;i ;la droite d’équation réduitey =ax+bestasymptote respectivementen–¥lorsque )lim oblique à la courbefen +¥((f(x)–(ax + b))= 0x||+¥ ( respectivementlim(f(x)–(ax+b))=0). x||–¥ Illustration : y f x y = ax +b La distance entrefet la droite asymptote oblique devient de plus en plus petite lorsque x tend vers l’infini. 4-Limite finie ou infinied’unefonction enaOn considère une fonction f définie suret un réel a qui est un élément deou une borne de( par exemple, 0 fff * borne de…). Concrètement, le plus souvent,a va représenter unevaleur interdite pourlafonction. a)Limite finieDéf5 :on dit quefa pour limite finielquand xtendversa,et onnote:limf(x)=l lorsquetout x||a intervalle ouvert contenant l du type ]l–a;l+a[ contient toutes les valeurs de f(x) pour x appartenantàf assez prochedea. 2
b)Limite infinie ( le cas simple )Déf6 : on dit quef a pour limite +¥( resp.–¥) quand x tend versa, etonnote:limf(x) = +¥|x|a ( resp.limf(x)=–¥),lorsquetout intervalle du type ]A; +¥[ (resp. ]–¥; A [ contient tous les x||a f(x)pourx appartenant àassez proche de a. f Vocabulaire :la droite d’équationest ditex = aasymptote verticaleàla courbef. Illustration, par exemple : x = a c)Limite àgaucheetlimiteà droiteDéf7 :lorsque x devient proche de a en restant inférieur à a, on parle delimiteàgaucheet on note : lim x|a limf(x) ouf(x) – x|ax < a lorsque x devient proche de a en restant supérieur à a, on parle delimite à droiteet on note : lim x a| limf(x) ouf(x) + x|a x > a Exemples à retenir : lim limlim lim 1 11 1 x|0 x|0 x|0 x|0 = +¥+ =¥ =+¥– =¥x¹0xx¹0x²x>0xx<0x lim limlim 1 11 x|0 x|0 x|0* Plus généralement,= +¥ =–¥+ =¥ pourp IN. 2p 2p+12p+1 x¹0xx<0xx>0x III-OPERATIONS SUR LES LIMITES ( CF TABLEAU RECAPITULATIF )1-Tableau des opérations sur leslimitesCf.tableauOn retiendra lesformes indéterminées( celles que l’on rencontrera dans les exercices puisque ce sont les plus difficiles ! ) : Somme : « +¥–¥» ou « –¥+¥» Produit : « 0 ×¥ces cas de F.I, on est obligé de trouver des techniques» dans Quotient : «¥/¥pour déterminer les limites.» et « 0/0 ». 2-Exemples types( cf. aussi exos )a)lecas defonctionspolynomialesMéthode :onfactorisearlemonômedelushautde réourleslimitesenl’infini Onpourra retenir la « recette de cuisine » appelée larègledes monômes de plus hautdegré:La limiteen+ ou–¥d’une fonctionpolynômeestégaleà lalimiteenen + ou–¥de son monôme deplushaut degré. Rmq:ATTENTION:Cetterecette nes’appliquequ’en+ ou–¥!!!!!!!3
b)Le cas de fonctions rationnellesMéthode :onfactoriseparlemonômedeplushautdegréaunumérateuretaudénominateurpuisonsimplifie,làencoreseulementpourleslimitesàl’infini.c)Le cas des fonctions irrationnellesMéthode :onutilisel’expressionconjuguéepourfairedisparaîtrelaracine.Ex : calculonslim(– xx² – 2x): x| +¥ d)Le cas du taux d’accroissement( c’est loin, certes… )Rappel : soit f une fonction définie sur un intervalle I et aI.Lorsque f est dérivable en a, on : limlimf(a+h)–f(a)f(x)–f(a) |h|0x||a ou= f ’(a)encore= f ’(a).h¹0hx¹ax–a sinx Exs-types :lim =? x|0x cosx – 1 lim= ? x|0x Plusquelques cas particuliers…à voir en exos… IV-LIMITESETCOMPARAISONS DE FONCTIONSOn retrouve les mêmes résultats que pour les suites… 1-Limites et ordreThéor1 :soient f et g deux fonctions définies sur I un voisinage deaqui peut être un réel ou±¥. Soientletl ’deux réels. Silimf(x) =letlimg(x) =l’et si pour toutxI, f(x)£g(x), alorsl£l’. x||ax||a Théor2:soient f et g deux fonctions définies sur un voisinage deaqui peut être un réel ou±¥. Si pour toutxI, f(x)£g(x) etlimf(x) = +¥, alorslimg(x) = +¥. |x|a|x|a Si pour tout xI, f(x)³g(x) etlimf(x) =–¥, alorslimg(x) =–¥. x||a|x|a 4
2-Théorèmedes gendarmesThéor3: soient f, g et h trois fonctions définies sur I un voisinage deaqui peut être un réel ou ±¥. Soitlun réel. Si pour tout xI, on af(x)£g(x)£h(x), silimf(x) =letlimh(x)=l, alors: |x|ax||a limg(x)=l.x||a Preuve : à retenir !elle sera donnée sur feuille séparée. 3x + sin x Ex d’application : soit f définie sur ] 1 ; +¥:lim f(x). Calculons{ par : f(x) = x – 1 x| +¥ V-LIMITESETCOMPOSéES1-ComposéesdefonctionsThéor4 :soient u = gf une composée des deux fonctions f et g. Soient a, b et l des réels ou ±¥. ° Silimf(x)= betlimg(X)=l,alorslimu(x) =l.|x|a|X|b|x|a Exs : (ATTENTION A LA REDACTION!!!) 1 Calculons lim4 +: x² x|+¥ 2-Composéed’une suiteetd’unefonctionThéor5: soit a et l deux réels ou±¥. Soit f une fonction définie sur un intervalle I, soit (Un) une suite numérique de réels de I et soit (Vn) définie par Vn= f(Un). Si (Un) CVversaetsilimf(X) =l,alors (Vn) CV, versl.|x|a np+ 1 Ex : calculons la limite de (VnIN, V) définie par : pour tout nn:= cos 2n + 3
5
