Cours 2008.2009
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qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqFORME EXPONENTIELLE DES NOMBRES COMPLEXES. TERMINALE S APPLICATION AUX Chapitre V I TRANSFORMATIONS GEOMETRIQUES . I- II NTRODUCTIION - 1 - Nouvelle notation On a vu dans le chapitre IV la relation suivante : ( cos + i sin )) × ( cos ’ + i sin ’ ) = cos( + ’) + i sin( + ’’)).. On considère alors la fonction f définie sur à valeurs dans définie par :ffff(( (( )))) ==== ccccoooossss ++++ iiii ssssiiiinnnn . D’après ce qui précède, on af( + ’) = f( ) × f( ’’)). C’est l’équation algébrique caractéristique de lafonction exponentielle ! Si l’on admet que la notion de cfotinon dérivable se prolonge aux fonctions à valeur sdans , on obtient de plus : f ’( ) = – sin + i cos soit : f ’() = i f( ). Par conséquent, f vérifie l’équa diff y:’ = i y et y(0) = .1 Par analogie, on note alors : >?ffff(((( )))) ==== ccccoooossss ++++ iiii ssssiiiinnnn = === = .... D’où : 2- La forme exponentielle des nombres complexes >?Déf1 : pour tout nombre complexe nz on nul de module r et d’argument , on note z: = r(cos + i sin) = r = . Cette forme est appeléel a forme exponentielle de z . Exs : donnons la forme exponentielle des nombres comepxles suivants : z= 1 : z= i : C> > C D EN PARTICULIER ::– ...
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FORMEEXPONENTIELLEDES NOMBRESCOMPLEXES.TERMINALESAPPLICATIONAUX ChapitreVITRANSFORMATIONS GEOMETRIQUES.I-INTRODUCTION1-Nouvelle notationOn a vu dans le chapitre IV la relation suivante : ( cosq+ isinq) × ( cosq’ + i sinq’ ) = cos(q+q’) + i sin(q+q’).aleurs ddéfinie par : On considère alors la fonction f définie surà vansf(q) =cosq+ i sinq. D’après ce qui précède, on af(q+q’)=f(q) × f(q’). C’est l’équation algébrique caractéristique de la fonction exponentielle !Si l’on admet que la notion de fonction dérivable se prolonge aux fonctions à valeurs dans, on obtient de plus : f ’(q) = – sinq+ i cosq soit: f ’(q) = i f(q). Par conséquent, f vérifie l’équa diff :y’ =i yety(0)=1. Par analogie, on note alors : > f(q) = cosq+ i sinq=.D’où :2-La formeexponentielledes nombres complexes> Déf1: pour tout nombre complexe znonnulde module r et d’argumentq, on note :z = r(cosq+ i sinq) = r. Cette forme est appeléela formeexponentielledez. Exs : donnons la forme exponentielle des nombres complexes suivants : z= 1 : z= i : Ç > > Ç EN PARTICULIER:–1==et i z = 1 – i : z = –3 + i : ère II-REGLES DE CALCULS AVEC LA NOTATION EXPONENTIELLEET 1APPLPICATION1-Produit et quotient de nombres complexes écrits sous forme exponentielleProp1 :pour tout r, r’,qetq’ réels on a : > >> >> >() ·×=etplusgénéralement:×=r r’.J JJ K> K> ·=et plus généralement:=.> > > > >(K )>(K ) ·=et plus généralement :=.> > Ô > Ô>Ô · = .On retiendra : pour multiplier, on multiplie les modules et on ajoute les arguments et pour diviser, on divise les modules et on soustrait les arguments… Preuve :yaka avec les résultats duchap IV … 4 3 Exs : calculons la forme algébrique de z1×z2où z1= (1+i)et z2: pour ce faire sans y passer 10 ans,3 – i)= ( utilisons la forme exponentielle !
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2-Forme exponentielle et conjuguéProp2 :pour tout nombre complexe z non nul de module r et d’argumentq, on a :J % K> Û z=== r×.> Preuve: 3-Formule de Moivre et formules d’Euler ( HorsProgramme mais parfois utiles …)Prop3 :pour tout nombreqréel et n entier, on a :n (cosq+ isinq)= cos nq+ isin nq: c’est la formule de Moivre.> W>> W> K cosq=etsinq=: ce sont les formules d’Euler. > Preuve : Ex d’application : retrouver les formules donnant cos2qet sin2q, trouver celles donnant cos3qet sin3q… cf. feuille de cours. ère 4-1applicationgéométrique: représentationparamétriqueducercle+ * ewet rAlors, .M d’affixe z est sur lecercledecentreWet deProp4 :dans le plan complexe, soitWd’affix > rayon rssiz=w+oùq]–p;p]. Preuve : Et enfin pour en finir avec les complexes ( quoi déjà ? ) : III-APPLICATION DES NOMBRES COMPLEXES AUXTRANSFORMATIONS DU PLAN( cf. activité )1-LecasdelatranslationProp5 :qui à un point M d’affixe z associesoit b un nombre complexe. Soit f la transformation du plan complexe ¾|¾| ¾|¾| le point M’ d’affixez + b.f:. Alorsf est latranslation devecteurud’affixeb. M(z)M’(z + b) ¾|¾| ½ Preuve : Chapitre VIPage 2
2-Le cas de l’homothétieProp6 :Soientwun nombre complexe, affixe du pointWet k un nombre réel non nul. Soit f la transformation du plan complexe qui à un point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ tel que :z’–w= k( z–w). Alors,f est l’homothétie de centreWet de rapport k. Preuve : 3-Le cas de larotationProp7 :Soientwnombre complexe, affixe du point unW etqnombre réel. Soit f la transformation du plan un q icomplexe qui à un point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ tel que :z’–w= e( z–w). Alors,f est la rotation de centreWetd’angle orientéq. Preuve : Ex : soit fl’application du plan qui à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ tel que :z’ = 3z + 3 – i. quelle est la nature de cette transformation ? METHODE:
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