Cours-2008-02-19
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6Applications du theoreme de Cech-LerayTable des matieresx1. Contenu de ces notesx2. Preliminaires sur les bicomplexes2.1. Categorie des complexes associee a une categorie ab elienne ............................................................. 22.1.1. De nition .............................................................................................................................. 22.1.3. Amplitude d’un complexe ...................................................................................................... 32.1.4. Complexes concentres en un seul degre .................................................................................. 32.1.5. noyaux et conoyaux ............................................................................................. 32.1.6. Categories de sous-complexes bornes ..................................................................................... 42.1.7. Foncteur de translation ......................................................................................................... 42.1.8. Foncteurs de cohomologie 42.1.9. Quasi-isomorphismes ............................................................................................................. 42.1.10. Amplitude cohomologique .................................................................................................... 42.1.11. C^ one d’un morphisme de complexes 42.1.14. Troncatures b^ etes ............................................ ...
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ˇ Applicationsduth´eor`emedeCech-Leray
Tabledesmatie`res
§ de ces notes1. Contenu §2.Primane´iluslrrisempcobiessxele 2.1.Cate´goriedescomplexesassoci´ee`aunecat´egorieabe´lienne.............................................................2 2.1.1. D´finition..............................................................................................................................2 e 2.1.3. Amplitude d’un complexe......................................................................................................3 2.1.4.Complexesconcentr´esenunseuldegre´..................................................................................3 2.1.5. Complexes noyaux et conoyaux.............................................................................................3 2.1.6.Cate´goriesdesous-complexesborne´s.....................................................................................4 2.1.7. Foncteur de translation.........................................................................................................4 2.1.8. Foncteurs de cohomologie......................................................................................................4 2.1.9. Quasi-isomorphismes.............................................................................................................4 2.1.10. Amplitude cohomologique....................................................................................................4 2.1.11.Cˆoned’unmorphismedecomplexes.....................................................................................4 2.1.14.Troncaturesbˆetes................................................................................................................5 2.2.Cat´egoriedesbicomplexesassocie´e`aunecat´egorieab´elienne..........................................................6 2.2.1. Foncteurs induits..................................................................................................................7 2.2.2. Foncteurs de translation........................................................................................................7 2.2.3. Foncteur de cohomologie verticale.........................................................................................7 2.2.4. Foncteur de cohomologie horizontal.......................................................................................7 2.2.5.hv◦hh6=hh◦hv..................................................................................................................8 2.2.6.Cat´egoriedessuitesexactescourtes.......................................................................................8 2.2.8.Complexesimpleassoci´e`aunbicomplexeborneinfe´rieurement..............................................9 ´ 2.2.10.Crit`ered’acyclicit´educomplexesimpleassocie....................................................................9 ´ 2.2.11.Uncrit`eredequasi-isomorphiedecomplexessimplesassoci´es.............................................10 2.2.14. Notation Σ?•◦....................................................................................................................11 §3. Cohomologie des faisceaux 3.1.Pr´eliminaires................................................................................................................................11 3.1.1. Faisceaux flasques...............................................................................................................11 3.1.3.R´esolutionflasquedeGodement..........................................................................................12 3.2. Cohomologie des faisceaux............................................................................................................12 3.2.1.De´finition............................................................................................................................12 3.2.2. Augmentation du complexe de Godement............................................................................12 3.2.4. Faisceaux acycliques............................................................................................................12 3.2.8.Propri´et´esg´ene´ralesdelacohomologiedefaisceaux..............................................................13 ˇ 3.3. Cohomologie de Cech des faisceaux...............................................................................................14 ˇ 3.3.1. Complexe de Cech...............................................................................................................14 ˇ 3.3.3. Augmentation du complexe de Cech....................................................................................14 ˇ 3.3.4. Cohomologie de Cech..........................................................................................................14 ˇ 3.3.6. Faisceautisation du complexe de Cech..................................................................................14 ˇ 3.3.8.The´ore`medeCech-Leraypourlacohomologiedesfaisceaux.................................................14 §4. Hypercohomologie des complexes de faisceaux 4.1. Hypercohomologie des complexes de faisceaux...............................................................................16 4.1.2. Morphisme canonique de foncteurs Ξ(X; ) :h∗(Γ(U; ))→IH∗(U; ).................................16 4.1.3.Propri´ete´sge´ne´ralesdel’hypercohomologie..........................................................................16 ˇ 4.2. Cohomologie de Cech de complexes de faisceaux...........................................................................18 ˇ 4.2.1. Morphisme canonique de foncteurs Ξ(U; ) :h∗(Γ(X; ))→H∗(U; )..................................18 ˇ 4.3. Morphisme canonique de foncteurs Ξ(U;X :; )H(U; )→IH(X; ).............................................18 4.3.2. Troncatures et suites exactes longues...................................................................................19 ˇ 4.4.The´or`emedeCech-Leraypourl’hypercohomologiedescomplexesdefaisceaux...............................20
§2.1
Alberto Arabia & Zoghman Mebkhout
§2
§5. Applications 5.1.The´ore`mededeRhamsurlesvari´ete´sdiffe´rentielles......................................................................21 5.2.CalculseffectifsdelacohomologiededeRhamdesvari´et´esdiffe´rentielles......................................22 5.2.1.Exemple:CohomologiededeRhamdelasph`ereS2............................................................23 5.3.CalculseffectifsdelacohomologiededeRhamdesvari´et´esalg´ebriques.........................................23 5.3.1.Exemple:CohomologiededeRhamdelasphe`redeRiemann..............................................24 5.4.The´or`emedecomparaisondeGrothendieckpourlesvarie´te´salg´ebriquessurCsilugere`onnisn......25 5.4.1.Structured’espaceanalytiqued’unevarie´te´alge´briquecomplexe..........................................25 5.4.2.Acyclicite´desmodulescoh´erents.........................................................................................25 5.4.4.Hypercohomologiedel’imagedirectedescomplexescoh´erents..............................................25 5.4.6. Cohomologies de de Rham...................................................................................................26 §encef´er.R´e6seuqihpargoilbibs § terminologique7. Index §1. Contenu de ces notes Onrappellelesterminologies,de´finitionsetr´esultatsdebased’alge`brehomologiqueutilesdansl’e´tude de la cohomologie des faisceaux, de l’hypercohomologie des complexes de faisceaux, de la cohomologie ˇ deCechdescomplexesdefaisceaux,ainsiquedansl’´etudedesliensquilesunissent,enparticulier,nous ˇ de´montronsleth´eor`emedeCech-Leraysuivant: The´or`eme(4.4.1).SoientG•∈C+FaisX(Z)etU={Ua}a∈Aun recouvrement ouvert deX. ˇ a)(Cech-Leray)SiUetG•-acyclique, le morphisme canonique ˇ Ξ(U;X;G•) :H?(U;G•)−→IH?(X;G•) est unisomorphisme. b)Soitϕ•:G1•→ G2•morphisme de complexes faisceau tel queun IH?(V;ϕ) :IH?(V;G1•)→IH?(V;G2•) est un isomorphisme pour toutV=Ua0...ak; ou bien, siUetGi•-acyclique et que h?Γ(V;ϕ) :h?Γ(V;G1•)→h?Γ(V;G2•) est un isomorphisme pour tout telV. Alors IH?(X;ϕ) :IH?(X;G1•)→IH?(X;G2•) est unisomorphisme. Dans la section§5nous donnons des applications au calcul effectif de la cohomologie de de Rham et authe´ore`mesdecomparaisondescohomologiesdedeRham,toutparticulie`rementauthe´ore`medecom-paraisondeGrothendieckentrecohomologiesdedeRhamalg´ebriqueetholomorphepourlesvariete´s ´ alg´ebriquescomplexesnonsinguli`eres. Ces notes se veulent un«tneme´lpmoc»-ilbiargosetebi´usirt`jdacesberen´ef´auxr´esdntmecudouxa phiques,letexten’estpascompletetnepr´etendaucuneexhaustivit´e. §xelempcosriseimanseibuslr´eli2.Pr 2.1Cate´goriedescomplexesassoci´ee`aunet´egorieabe´li ca enne ´eeunecate´gorieab´elienneAb(1), o 2.1.1.D´efinition. note nEtant donn´C∗(Abestlonedrigo´etacal) objets sont les«complexes deAb»,i.e.les familles{dk:Ck→Ck+1|k∈Z}avecCk∈Ob(Ab) et 1Po´eurtsbatcaretivsedrilesnousionsinutorsnneetarsinoenieoregt´cadeesrmfenli,seludomedscpasadonaudr s’´etonnerdesexpressionsdugenre«pour toutx∈ker(α)».
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