Cours 2006.2007
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¾£¾¤¾¤£¤£fifi¾¾£¾£fi£££££¾£¾£fi£fi£fi£¾£¾INTEGRATION ET PRIMITIVES TERMINALE S Chapitre XI DE FONCTIONS IIII---- IIIINNNNTTTTEEEEGGGGRRRRAAAALLLLEEEE DDDD’’’’UUUUNNNNEEEE FFFFOOOONNNNCCCCTTTTIIIIOOOONNNN CCCCOOOONNNNTTTTIIIINNNNUUUUEEEE EEEETTTT PPPPOOOOSSSSIIIITTTTIIIIVVVVEEEE (((( ccccffff.... aaaaccccttttiiiivvvviiiittttéééé aaaavvvveeeecccc GGGGrrrraaaapppphhhheeee EEEEaaaassssyyyy )))) 1- Unité d’aire ( U.A ) Déf1 : soit (O; i ; j ) un repère orthogonal du plan, f une fonction continue et positive sur [ a ; b ] où a et b sont deux réels tels que : a < b. On note la courbe représentative de f. On appelle ddddoooommmmaaaaiiiinnnneeee aaaassssssssoooocccciiiiéééé àààà ffff ssssuuuurrrr [[[[aaaa ;;;; bbbb]]]] le domaine A ddddéééélllliiiimmmmiiiittttéééé ppppaaaarrrr llllaaaa ccccoooouuuurrrrbbbbeeee ,,,, llll’’’’aaaaxxxxeeee ddddeeeessss aaaabbbbsssscccciiiisssssssseeeessss,,,, eeeetttt lllleeeessss ddddrrrrooooiiiitttteeeessss dddd’’’’ééééqqqquuuuaaaattttiiiioooonnnnssss xxxx ==== aaaa eeeetttt xxxx ==== bbbb.... Ce domaine est l’ensemble des points M(x ; y) du plan tels que : a x b et 0 y f(x). De plus, l’unité d’aire ( en abrégé u.a. ) est l’aire du rectangle construit à partir des trois points O, I et J où i = OI et j = OJ . Rmq : si OI = 4 cm et ...
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INTEGRATION ET PRIMITIVES TERMINALESChapitre XIDE FONCTIONSI-INTEGRALED’UNEFONCTION CONTINUE ETPOSITIVE ( cf. activité avec GrapheEasy )1-Unité d’aire ( U.A )|¾ ¾| Déf1 :i ; soit (O; j ) un repère orthogonal du plan, f unefonction continue et positive sur [ a; b ]où a et b sont deux réels tels que : a < b. On notela courbe représentative de f. On appelle]le domaineA, l’axe des abscisses, et les droitesd’équationsdomaine associéà f sur [a;bdélimité par la courbe x= aetx=b.Cedomaineest l’ensembledespointsM(x;y)du plantelsque:a£x£bet 0£y£f(x).¾¾| ¾¾| ¾¾| ¾¾| De plus,l’unité d’aire( en abrégéu.a.i = ) est l’aire du rectangle construit à partir des trois points O, I et J où j = OI et OJ .
Rmq : si OI = 4 cm et OJ = 3 cm, alors 1 u.a = 12 cm² … 2-Aire et intégrale
Déf2 :sur [a ; b]. On appelleSoit f une fonction continue et positive intégrale deaàbde la fonctionfl’aire du domaine associéàfsur [a; b],exprimée enunitéd’aire.⌠b Cenombreestnoté:f(x)dx . ⌡ a Vocabulaire et notations : b ¨⌠lit «f(x)dx se intégrale deaàbdef». ⌡ a ¨appelésa et b sont Les réels les bornesdel’intégrale. ¨La lettre x peut être remplacée indifféremment par t, u, … ou n’importe quel symbole à l’exception de a et de b : c’est unevariable ditemuette.
Ex. simple ( très … ) : soit f une fonction définie sur, constante égale à m :x, f(x) = m. b Alors,⌠f(x)dx = ………………………………………………………………………………………………………..… ⌡ a …………………………………………………………………………………………………………………………….. 2 Autre exemple : soit g définie surpar g(x) = 3x. Déterminons :⌠g(t)dt : ⌡ 0 Utilisation de la calculatrice :
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1 1 Autre ex ( de l’activité ) :⌠.t²dt = ⌡ 03 3-Interprétation cinématique
Brève présentation : soit un mobile se déplaçant sur une droite, ou sur toute ligne « continue » à la vitesse instantanée v(t) ( t étant le t2temps ), toujours positive ou nulle ; alors la distance d parcourue entre les instants t1et t2d = s’exprime par : ⌠v(t)dt. ⌡ t1Cf. cours de Physique certainement plus clair et mieux résumé … 4-Valeur moyenne d’une fonction continue positive
Déf3 :sur [a ; b]. Alors,Soit f une fonction continue et positive Lavaleur moyenne defsur[a; b] est le réel mdéfini par: 1 ⌠bm=f(x)dxb–a⌡ a1 b b Interprétation graphique : puisquem =⌠f(x)dx,alors m×( b – a ) =⌠f(x)dxet donc cette valeur m est telle que l’aire du ⌡ ⌡ b – aa a domaine sous la courbe soit égale à l’aire du rectangle de dimension ( b – a ) et m.
5-Aire situé entre deux courbes
Prop1 :soient f et g deux fonctions définies et continues sur [ a ; b ] telles que 0£ f£ g. Alors,l’aire du domaine défini par l’ensembledes pointsM(x; y ) avec a£x£b et f(x)£y£g(x)est donné par la formule: ⌠b⌠b g(x)dx – f(x)dx ⌡ ⌡ a a
6-PermutationdesbornesabDéf4 :sur [a ; b]. On convient queSoit f une fonction continue et positive ⌠f(x)dx =–⌠f(x)dx. Autrement dit,permuter ⌡ ⌡ balesbornesrevient à«faire apparaître un moins devantl’intégrale… »
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II-INTEGRALED’UNEFONCTION DE SIGNE QUELCONQUE1-Cas d’une fonction négativeDéf5 :soit f une fonction continue etnégative sur l’intervalle [ a ; b ]. On définit l’intégrale entre a et b de f, toujours notée b⌠f(x)dx, par :l’opposé de l’aire du domaine de l’ensemble des points M ( x; y ) avec a£x£f(x)b et £y£0. ⌡ a⌠b⌠b Ainsi,f(x)dx = –f(x)dx . Cette intégrale est doncnégative! ⌡ ⌡ a a 2 Ex : calculons :⌠–x dx: ⌡ 0 2-Cas d’une fonction de signe quelconqueDéf6: soit fonction contif une changeantdesignesur[a; b ]e1rtie du plan délimitée par, les droites nue . On not l’aire de la pa d’équation x = a et x = b et l’axe des abscisses qui estsituée au dessusdel’axe desabscisses. On note2l’aire de la partie du plan qui estsituée sousl’axedesabscisses. ⌠bOn définit alorsf(x)dx=1–2. ⌡ a
2 Ex : calculons⌠–x dx : ⌡ -1 Rmq : on peut alors généraliser la définition de valeur moyenne du§I-4- au cas d’une fonction continue de signe quelconque … 1 ⌠bm =f(x)dxquel que soit le signe de la fonction f sur l’intervalle [ a ; b ]. b–a⌡ a
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III-PROPRIETESDEL’INTEGRALE1-Relation de ChaslesProp2 :Soit f une fonction continue sur un intervalle I. soient a, b et c trois réels de I. Alors, on a : ⌠b⌠c⌠bf(x)dx=f(x)dx +f(x)dx⌡ ⌡ ⌡ aacPreuve : plus tard dans la leçon, en utilisant une autre notion … Dans le cas où f est positive et a < c < b, on a l’illustration suivante : L’aire du domaine total entre a et b s’obtient en additionnant les aires des deux domaines entre a et c et entre c et b. 2-Linéarité de l’intégrale(propriétés opératoires )Prop3 :soient f et g deux fonctions continues sur [ a ; b ] et k un réel. Alors, on a : ⌠b⌠b⌠bf(x)+g(x)dx =f(x)dx +g(x)dx⌡ ⌡ ⌡ aaa⌠b⌠bk×f(x)dxk× = f(x)dx⌡ ⌡ aaPreuve : là aussi plus tard dans la leçon … 1 Ex d’application « simple » : calculons le plus simplement possible :⌠x² + x + 1 dx : ⌡ 0 3-Positivité del’intégrale⌠bProp4 :Soitfunefonctioncontinue et positivesur [a; b] avec a < b. Alors,f(x)dx³0.⌡ aPreuve : prop. liée à la définition … Rmqs :évidemment, si f est négative, alors l’intégrale est négative … là aussi c’est la définition … b attentionàl’ordredes bornes! Si, par piège, on a : a > b, alors, lorsque f est positive,⌠f(x) dx£0... ⌡ a 4-Conservationde l’ordreProp5 :] avec a < b, telles quesoient f et g deux fonctions continues sur [ a ; b f£g. Alors : ⌠b⌠bf(x)dx£g(x)dx( « on dit qu’on intègre l’inégalité »… ) ⌡ ⌡ aaPreuve :
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5-Inégalité de la moyenneProp6 :soit f une fonction continue sur [ a ; b ] avec a < b. bSi il existe deux réels m et M tels quem£f£M sur [ a; b ], alors: m(b–a )£⌠f(x)dx£M(b–a ).⌡ aCette propriété est appeléel’inégalité de la moyenne.b⌠f(x)dx fSi il existe un réel M tel que£M sur [ a; b ], alors:£M( b–a ).⌡ aPreuve : sur feuille de cours. n+1 – x Ex d’application un peu original : soit ( Un) une suite définie par : Un=⌠. Mq : ( Ue dx n) Cv, vers 0 : ⌡ n Il ne reste plus qu’à trouver un moyen de calculer simplement des intégrales … Ainsi : IV-PRIMITIVESD’UNEFONCTION1-Définitionet condition d’existenceDéf7 :soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelleprimitive de f sur I toute fonction notée F dérivable sur I telle que F’ = f sur I.On pourrait se demander dans quels cas il existe des primitives… Les démonstrations ne sont pas au programme et l’on retiendra simplement : Théor1 :( ADMIS )soit f une fonction définie etcontinuesur un intervalle I. Alors, f admetdesprimitives sur l’intervalle I.Rmq : on vient de trouver une condition suffisante pour assurer l’existencedeprimitives… ce qui sous entend donc qu’il n’y aurait pas qu’une seule primitive ? Penchons-nous sur cette question … x Ex : la fonction F définie sur ] 3 ; +¥[ par F(x) = x² – 9 est une primitive de f : x sur ] 3 ; +¥[. ¾¾| ½ x² – 9 En effet, : Rmq : on aurait tout aussi bien pu prendre x² – 9 + 1 … D’où : 2-Toutes les primitives d’une même fonctionProp7 :si f est une fonction définie sur un intervalle I qui admet une primitive F sur I, alors : Toutes les primitivesde fsurIsont toutesles fonctionsde la forme:xF(x) + k où k est une constanteréelle. ¾|¾| ½ Pour tout (x0; y0) avec x0I et y0,il existe uneuniqueprimitiveF0de f sur I qui vérifie:F0(x0) = y0.Preuve : x Ex : A l’aide de l’ex précédent, déterminons LA primitive de f : x sur ] 3 ; +¥[ qui s’annule en 5 : ½¾¾| x² – 9 - 5 -
3-Tableau des primitives usuelles et des opérations sur lesprimitives: c’est le «contraire» du tableau des dérivées …
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Et quel lien peut-on établir avec les intégrales ? 4-Lien entre intégraleet primitive
Théor2 :soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I et soit a un réel de cet intervalle. Alors,la fonction F définie sur I ⌠xpar: F(x)=f(t)dtest l’unique primitive de f s’annulant en a.⌡ aPreuve : cf. feuille de cours dans le cas d’une fonction f continue strictement croissante sur un intervalle [ a ; b ]. ATTENTION:DEMONSTRATION DE COURSACONNAÎTREPOURLEBAC!1 Rmq : il y a qqs mois, on aurait pu définir la fonction ln comme étant l’unique primitive de qui s’annule en 1 : x x 1 ⌠ ln x = dt … t ⌡ 1 5-Application au calcul intégral
Théor3 :soit f une fonction définie etcontinue sur un intervalle I et soient a et b deux réels de cet intervalle. Soit F uneprimitive quelconquede f sur I. Alors, on a : ⌠bb f(t)dt= F(b)–F(a), noté:[ F(t) ].a.⌡ aPreuve : Rmq : ainsi, pour calculer une intégrale, il suffit de connaître une primitive de la fonction intégrée,n’importe laquelle!1 1 Exs : retrouvons le résultat établi en tout début de chapitre :⌠:t²dt = ⌡ 03 1 Ou encore, calculons :⌠ x x² + 1 dx : ⌡ 0 p ⌠ 2 Ou encore, calculons cos t dt : ⌡ p -2 - 7 -
Mais que fait-on dans le cas où on ne connaît pas de primitive ? Alors les choses se compliquent … Une solution est de découper la fonction à intégrer en plusieurs parties : c’est ce que l’on appelle l’intégration par parties : 6-Intégration par partiesThéor4 :soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalles I telles que les dérivées u ’ et v ’ soient continues sur I. Soient a et b deux réels de l’intervalle I. Alors, on a : b ⌠bt)⌠bu(t)v’(t)dt=[u(t)v(]– u ’(t)v(t)dt.a ⌡ ⌡ aaPreuve : Intérêts :calculer certaines intégrales lorsque on ne connaît pas de primitive …. déterminer de nouvelles primitives … déterminer une relation de récurrence lorsqu’on mélange intégrales et suites ( classique au bac , sisi ) et bien d’autres … p Exs :calculons⌠ ( x + 1 ) sin3x dx : 2 ⌡ 0 déterminons une primitive de x ln x sur ] 0 ; +¥( très classique … essayer de la retenir ! )[ : ½¾¾| e n nIN, on pose In=⌠ x ( ln x) dx. Exprimons In+1en fonction de In: ⌡ 1 - cf. feuille de cours … -V-CALCULS DE GRANDEURS: AIRES, VOLUMES, ETC…1-Le calcul d’airesDéjà vu dans ce chapitre, on rappelle le résultat : Soient f et g deux fonctions définies et continues sur un intervalle I et soient a et b deux réels de l’intervalle I. On suppose que f£sur [ a g ; b ]. Alors, l’aire délimitée par les courbes de f et de g et par les droites d’équations x = a et x = b est donnée par la formule : b⌠g(t)–f(t)dt⌡ a2-Le calcul de volumesProp8 :on considère dans l’espace un solide S délimité par les plans parallèlesa etbd’équations : z = a et z = b ( a < b ). On suppose que pour n’importe quel côte z, on connaît l’aire de la section du solide S avec le plan z[ a ; b ], alors le volume V du solide S est donné par :: s(z). Si s est une fonction continue sur bV =⌠s(z)dz.⌡ aExs : soit S le cône fini de hauteur 10 et de rayon de base 5. Déterminons son volume : H z Z
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x
o
y
