cours 2005
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Chapitre 4 : CALCUL LITTERAL I. BASES DU CALCUL LITTERAL 1/ Simplifications d’écritures a/ Sommes algébriques Réduire les sommes algébriques suivantes en regroupant les termes de même nature : 2 2 2 23 m + 6 F + 8 + 7 m + 1 + 13 F 7 m – 11 F + 5 – 3 m – 16 – 4 F = = 2 2 2 27x + 15x – 8 – 15x + 2x – 17x + 2 5x – 8 – 2x – x + 12x – 5 = = Supprimer les parenthèses puis réduire : Si une somme algébrique est placée entre parenthèses et est précédée d’un signe + on peut supprimer ces parenthèses et le signe + en conservant les signes des termes de cette somme algébrique. Si elle est précédée d’un signe – on peut supprimer ces parenthèses et le signe – à condition de changer tous les signes des termes de cette somme algébrique. 2 2 2 2Exemples : 5x-2 + (4x -5x+3)= 5x-2 + (+4x -5x+3) et 5x-2 - (4x -5x+3)= 5x-2 – (+4x -5x+3). 2 2 = 5x-2+4x -5x+3. = 5x-2-4x +5x-3. = = 2 2 23x -5 + (-4x -7x+8)= x-1 - (9x -15x-4)= b/ Produits Simplifier les produits suivants : 3×7x = 6x×5 = – 3×2x = – 6×(– 3x) = x×x = 7x×5x = 3x×(–2x) = –3x×(–5x) = 2 2 2 2(5x) = – (7x) = (–4x) = (–9x) = 2/ Développer Développer un produit c’est le transformer en somme algébrique (que l’on réduit ensuite). Pour cela on utilise la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition et à la soustraction. La distributivité « simple » La distributivité « double » k( a + b ) = ka + kb (a + b)( c + d ) = ...
Voir
Chapitre 4 :
CALCUL LITTERAL
I.
B
ASES DU CALCUL LITTERAL
1/
Simplifications d’écritures
a/
Sommes algébriques
Réduire les sommes algébriques suivantes en regroupant les termes de même nature :
3 m
2
+ 6 F + 8 + 7 m
2
+ 1 + 13 F
=
7 m
2
– 11 F + 5 – 3 m
2
– 16 – 4 F
=
7x
2
+ 15x – 8 – 15x
2
+ 2x – 17x + 2
=
5x
2
– 8 – 2x – x
2
+ 12x – 5
=
Supprimer les parenthèses puis réduire :
Si une somme algébrique est placée entre parenthèses et est précédée d’un signe + on peut
supprimer ces parenthèses et le signe + en conservant les signes des termes de cette somme
algébrique. Si elle est précédée d’un signe – on peut supprimer ces parenthèses et le signe – à
condition de changer tous les signes des termes de cette somme algébrique.
Exemples : 5x-2 + (4x
2
-5x+3)= 5x-2
+ (
+
4x
2
-
5x
+
3
)
et 5x-2 - (4x
2
-5x+3)= 5x-2
– (
+
4x
2
-
5x
+
3
)
.
= 5x-2
+
4x
2
-
5x
+
3.
= 5x-2
-
4x
2
+
5x
-
3.
=
=
3x
2
-5 + (-4x
2
-7x+8)=
x-1 - (9x
2
-15x-4)=
b/
Produits
Simplifier les produits suivants :
3
×
7x =
6x
×
5 =
– 3
×
2x =
– 6
×
(– 3x) =
x
×
x =
7x
×
5x =
3x
×
(–2x) =
–3x
×
(–5x) =
(5x)
2
=
– (7x)
2
=
(–4x)
2
=
(–9x)
2
=
2/
Développer
Développer un produit c’est le transformer en somme algébrique (que l’on réduit ensuite). Pour cela on
utilise la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition et à la soustraction.
La distributivité « simple »
k( a + b ) = ka + kb
Exemple : développer –3(5 – 4x)
–3 ( 5 – 4x) = –3
×
5 + (–3)
×
( –4x)
= –15 + 12x
La distributivité « double »
(a + b)( c + d ) = ac + ad + bc + bd
Exemple : développer (3x – 7)(5 – 4x)
( 3x – 7 )( 5 – 4x)
= 3x
×
5 + 3x
×
(–4x) + (–7)
×
5 + (–7)
×
(–4x)
= 15x – 12x
2
– 35 + 28x
= – 12x
2
+ 43x –35
Application : développer et réduire éventuellement les produits suivants
A = 7(5 – 3x)
B = 2x(5x – 3)
C = – x(7x – 6)
D = (3x + 2)(4 + 5x)
E = (6x – 7)(1 + 2x)
F = (2x – 3)(5x – 4)
G = -3x(x – 1) + (x – 7)(2x + 3)
H = (x – 1)(x – 2) – (2 – 3x)(x + 2)
II. D
EVELOPPER EN UTILISANT LES IDENTITES REMARQUABLES
Lorsqu’on veut développer une expression, on cherche à utiliser les identités remarquables avant d’utiliser la distributivité
(puisque ces identités sont des raccourcis).
( a + b)
2
= a
2
+
2ab
+ b
2
( a - b)
2
= a
2
–
2ab
+ b
2
( a – b)(a + b) =
a
2
– b
2
(5x + 3)
2
= (5x)
2
+ 2
×
5x
×
3 + 3
2
= 25x
2
+ 30x
+ 9
(4x - 7)
2
= (4x)
2
– 2
×
4x
×
7 + 7
2
= 16x
2
– 56x
+ 49
(8x – 6)(8x + 6) = (8x)
2
– 6
2
= 64x
2
– 36
101
2
= (100 + 1)
2
= 100
2
+ 2
×
100
×
1 + 1
2
= 10 000 + 200 +1
= 10 201
999
2
= (1 000 – 1)
2
= 1 000
2
– 2
×
1 000
×
1 + 1
2
= 1 000 000 – 2 000 +1
= 998 001
98
×
102 = (100 – 2)(100 + 2)
= 100
2
- 2
2
= 10 000 – 4
= 9 996
III.F
ACTORISER
1) Factoriser une somme c’est la transformer en un produit. C’est l’opération inverse au développement, elle repose
donc sur les mêmes règles. On cherche donc à utiliser en priorité les identités remarquables et ensuite, un facteur
commun.
On ne développe jamais pour chercher à factoriser.
2)
Factoriser avec les identités remarquables
:
a
2
+ 2ab + b
2
= (a + b)
2
a
2
- 2ab + b
2
= (a – b)
2
4x
2
+ 20x + 25 = (2x)
2
+ 2
×
2x
×
5 + 5
2
= (2x + 5)
2
9 – 42x + 47x
2
= 3
2
– 2
×
3
×
7x + (7x)
2
= (3 – 7x)
2
a
2
– b
2
= (a + b)(a – b)
81 – 64x
2
= 9
2
– (8x)
2
= (9 – 8x)(9 + 8x)
102
2
– 98
2
= (102 – 98)(102 + 98)
= 4
×
200
= 800
16 – (2x – 3)
2
= 4
2
– (2x – 3)
2
= [4 + (2x – 3)][4 – (2x – 3)]
= [4 + 2x - 3][4 – 2x + 3]
= (2x + 1)(7 – 2x)
3) Factoriser avec un facteur commun :
Exemples :
3 x 5 + 3 x 4 = (5 + 5 + 5) + (4 + 4 + 4) = 5 + 5 + 5 + 4 + 4 + 4
= (5 + 4) + (5 + 4) + (5 + 4) = 3 x (5 + 4)
4 x a + 4 x 7 = (a + a + a + a) + (7 + 7 + 7 + 7) = a + a + a + a + 7 + 7 + 7 + 7
= (a + 7) + (a + 7) + (a + 7) + (a + 7) = 4 x (a + 7)
Conclusion :
Pour factoriser :
5 (3x + 1) + (3x + 1) (2x -3)
1) On cherche et on souligne le facteur commun :
= 5 (3x + 1) + (3x + 1) (2x -3)
2) On place le facteur commun devant, et on
recopie dans l'ordre le reste de l'expression dans
des crochets :
= (3x + 1) [ 5 + (2x - 3)]
3) On simplifie le crochet :
= (3x + 1) (2x +2)
2. Méthodes de factorisation :
a) Il y a un facteur commun évident :
Exemples :
2x + 6 = 2 (x + 3)
3x - 9 = 3 (x - 3)
(x + 2) (1 - x) + 4 (x + 2) = (x + 2) [(1 - x) + 4] = (x + 2) (1 - x + 4) = (x + 2) (5 - x)
3x - 3 (1 + 2x) = 3 [x - (1 + 2x)] = 3 (x - 1 - 2x) = 3 (-x - 1)
b) Il faut faire apparaître un facteur commun :
Exemples :
* Il se cache derrière l'un de ses multiples :
(5x + 5) (3 - x) + (x + 1) (7x + 3)
(6x + 2) (3 - x) + (2x + 1) (-2x + 1)
(x + 3) (5x + 1) + (4x + 12) (10x + 1)
* Il se cache derrière son opposé :
(x - 2) (4x + 1) + (3x + 4) (2 - x)
(3x - 1) (2x + 1) + (2 + 5x) (-3x + 1)
(x - 1) (3x + 2) + (1 - x) (5x + 2)
