Cours 2005.2006
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BASES DE LA GEOMETRIE SECONDE Chapitre II PLANE RRRRAAAAPPPPPPPPEEEELLLLSSSS DDDDEEEE CCCCOOOOLLLLLLLLEEEEGGGGEEEE I- LES DROITES REMARQUABLES D’UN TRIANGLE 1- Les médiatrices des côtés d’un triangle a) Rappel On appelle médiatrice d’un côté d’un triangle la droite coupant ce côté en son milieu et perpendiculairement ( Rmq : la médiatrice est aussi ll’’eennsseemmbbllee ddeess ppooiinnttss ééqquuiiddiissttaannttss ddeess eexxttrréémmiittééss dduu sseeggmmeenntt … ) ll’’eennsseemmbbllee ddeess ppooiinnttss ééqquuiiddiissttaannttss ddeess eexxttrréémmiittééss dduu sseeggmmeenntt b) Propriété de concours et définition Les trois médiatrices des trois côtés d’un triangle sont concourantes en un point O ( elles se coupent toutes les trois en un même point O ). Ce point O est le centre du cercle circonscrit au triangle .i.e. le cercle passant par les trois sommets. 2- Les médianes d’un triangle a) Définition On appelle médiane d’un triangle chaque droite qui passe par un sommet du triangle et qui coupe le côté opposé en son milieu. Rmq : il y a trois médianes dans un triangle… b) Propriété de concours et définition Les trois médianes d’un triangle sont concourantes en point G. Ce point G est appelé le centre de gravité du triangle. cccc)))) CCCCaaaarrrraaaaccccttttéééérrrriiiissssaaaattttiiiioooonnnn ddddeeee llllaaaa ppppoooossssiiiittttiiiioooonnnn dddduuuu ...
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BASES DE LA GEOMETRIE SECONDEChapitreIIPLANERAPPELS DE COLLEGEI-LES DROITES REMARQUABLESD’UN TRIANGLE1-Les médiatrices des côtés d’un trianglea)RappelOn appellemédiatrice d’uncôté d’untrianglela droite coupant ce côtéen son milieu et perpendiculairement( Rmq : la médiatrice est aussil’ensemble des pointséquidistantsdes extrémitésdu segment… )b)Propriété de concours et définitionLes trois médiatrices des trois côtés d’un trianglesont concourantes en un point O( elles se coupent toutes les trois en un même point O ). Ce point Oestlecentredu cerclecirconscrit autriangle.i.e. le cercle passant par les trois sommets. 2-Les médianes d’un trianglea)DéfinitionOn appellemédiane d’un triangle chaquedroite quipasse par un sommetdu triangleet quicoupele côtéopposéensonmilieu.Rmq :il y a trois médianes dans un triangle… b)Propriété de concours et définitionLes trois médianes d’un trianglesont concourantesenpointG. Ce point G est appelélecentre degravitédu triangle. c)Caractérisation de la position du centre de gravitéPropriété:le centre de gravitéd’untriangleABCestlepointG situésur:2 -[AA’]tel que: AG =AA’.3 2 -[BB’] tel que: BG =BB’.3 2 -[CC’] tel que: CG =CC’.3 - 1 -
3-Les hauteurs d’un trianglea)DéfinitionOn appellehauteur d’un triangledroite qui chaquepasse parun sommetdu triangleest qui estperpendiculaireaucôtéopposé. Exemple :Sur le dessin ci-contre, (AA’) est la hauteur issue de A. On appelle A’le pied de lahauteur. Attention: la hauteur peutêtre extérieureautriangle!!!b)Propriété de concours et définition
Les trois hauteurs d’un triangle sontconcourantes en point H.Ce point H est appelél’orthocentredu triangle.
4-Les bissectrices d’un trianglea)Définition-construction·On appellebissectrice d’un angleA ladroite quipasse par A etqui partagel’angleendeux anglesde mêmemesure.·Construction (avec le compas )
b)Propriété de concours
Les trois bissectrices d’un triangle sontconcourantesen unpoint Iappelécentreducercleinscrit.
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II-LETHEOREME DEPYTHAGORE ET SA RECIPROQUE1-Enoncé du Théorème de PythagoreINTERETPRINCIPAL: CALCULER DES LONGUEURS DE SEGMENTSSiABC est un triangle rectangle,alorsle carré de la longueur de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autreslongueurs. On sait que:ABC est rectangle en A. Donc, d’après le Théorème de Pythagore, on a: BC² = BA² + AC².2-Différentes applicationsa)Calcul de la longueur d’un côté d’un triangle b)Prouver qu’un triangle n’est pas rectangle ( cf activité 6 p 142 ) 3-Enoncé de la propriété réciproque de PythagoreINTERETPRINCIPAL: PROUVERQU’ILYA UNANGLEDROITDANS UN PROBLEMESiun triangle a le carré de sa plus grande longueur qui est égal à la somme des carrés des deux autres côtés,alorsce triangle est rectangle et l’angle droit est l’angle « en face » du côté le plus long. Dans le triangle ABC,on sait que: LalongueurlapluslongueABvérifie: AB²= AC² + CB² Donc,d’après la réciproque de Pythagore, On a:ABC est rectangle, en C. Attention à la rédaction!!!III-LETHEOREME DETHALES ET SA RECIPROQUE1-Les théorèmesdesmilieux(ou théorèmes de ladroite des milieux )er théorème des milieuxLe 1Soit ABC un triangle.SiI est le milieu de [AB] et J milieu de [AC],alors: C) et: -(IJ)(B 1 -IJ =BC 2 - 3 -
ème théorème des milieuxLe 2
Soit ABC un triangle, I milieu de [AB].Si ladroite (d) est parallèle à (BC) en passant par I,alors elle coupe [AC] en son milieu. (BC)(ID) (BC) (ID)et I milieu de [AB] donc D milieu de [AC].
2-Proportionnalité des longueurs
Propriété ( «petit théorème deThalès») SoitABC un triangle, M un point de [AB], N un point de [AC].Si(MN) (BC),alors: AM ANMN == . AB ACBC
3-Enoncé du théorème de Thalès
Etant données deux droites (d) et (d’) sécantes en A, B et M deux points de (d) distincts de A, C et N deux points de (d’) distincts de A :longueurs du triangle AMNAM ANMN Si(BC) (MN)alors == AB ACBC longueurs correspondantes du triangle ABC
4-Applicationsa)Dans la figure ci-dessous à reproduire à main levée, calcule AC et AE sachant que (DE)(BC).
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5-Enoncé de la réciproque de ThalèsEtant données deux droites (d) et (d’) sécantes en A ; B et M deux points de (d) distincts de A ; C et N deux points de (d’) distincts de A , AM AN siA,B,M etA,C,Nsontdansle mêmeordreetsi =,alors(BC) (MN). AB AC Rmq:l’hypothèseA,B,M et A,C,NalignésDANS LEMEME ORDRE est fondamentale!!!!!!!!6-ApplicationSoit la figure suivante. -(MN) et (BC) sont-elles parallèles ? -(M’N’) et (BC) sont-elles parallèles ? IV-TRIANGLES RECTANGLESETCERCLES, ANGLES1-Propriétés du triangle rectanglea)Le cercle circonscrit d’un triangle rectanglePropriété :SiABC est un triangle rectangle en A,alorsson hypoténuse [BC] est un diamètre du cercle circonscrit et par conséquent le centre de ce cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse [BC]. b)La médiane relative à l’hypoténusePropriété :SiABC est un triangle rectangle en A,alorsla longueur de la médiane issue de l’angle droit est égale à la moitié de la longueur de l’hypoténuse.
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Propriété :sidans un triangle, la longueur de la médiane issue d’un sommet est égale à la moitié de la longueur du côté opposé à ce sommet,alorsce triangle est rectangle.
Onsaitque: ABC est inscrit dans le demi-cercle de diamètre [AB]. C est alors un point du demi-cercle. ème Alors,sommet : C.ABC est rectangle en le 3
2-Caractérisation du triangle rectanglea)Inscription dans un demi-cerclePropriété :siun triangle est inscrit dans un demi-cercle,alorsil est rectangle.
Rmq : Tous les angles inscrits interceptant le même arc ont la même mesure (ANB = AMB).
La mesure d’un angle inscrit dans un cercle est égale à la moitié de la mesure de l’ange au centre associé. AMB= 1/2AOB
Soit uncercle de centre O. a)Définitions-appeléL’angle AMB estangle inscritdans .(L’angle ANB aussi) -l’L’angle AOB estangle au centreassociéà cet angle inscrit. -Ces 3 anglesinterceptentle même arcAB .b)Propriété
O
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Dans ABC,on sait que= OB = OC donc la longueur OC de la OA médiane issue de C est égale à la moitié de AB. Conclusion: ce triangle est donc rectangle en C.
A
3-Angles inscrits et angles au centre
b)Caractérisation à partir d’une médiane
M
B
N
