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2 – Permutations d’un ensemble fini. Factorielle d’un entier naturel Introduction : Les exercices de probabilité se réduisent très souvent aux calculs de cardinaux d’ensemble finis. L’exercice de probabilité se transforme alors en exercice de dénombrement. Pour dénombrer, on est amené à se poser les deux questions suivantes : Dans mon problème, dois-je tenir compte de l’ordre ? Dans mon problème, est-il possible de répéter le même élément ? Si l’on répond OUI à la première question alors un arbre de probabilité (ou un diagramme à cases si les nombres en jeu sont trop importants) doit permettre d’obtenir le résultat. Si l’on répond NON à la première question alors l’arbre n’est plus très efficace. Dans le cas où l’on répond aussi NON à la deuxième question, on va être amené à définir une nouvelle notion : la notion de combinaisons. Exemples : Quelle réponse apporte-t-on aux deux questions ci-dessus dans les cas suivants. On ne demande pas de répondre à la question posée. • On tire simultanément trois cartes dans un jeu de 32 cartes. Quel est le nombre de résultats possibles ? _________________________________________________________________________________________ • On lance successivement 4 fois un dé à 6 faces. Quel est le nombre de résultats possibles ? _________________________________________________________________________________________ • On tire successivement une carte dans un jeu de 32 cartes, puis on lance un dé ...
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2 – Permutations d’un ensemble fini. Factorielle d’un entier naturel Introduction: Les exercices de probabilité se réduisent très souvent aux calculs de cardinaux d’ensemble finis. L’exercicede probabilité se transforme alors en exercice de dénombrement. Pourdénombrer, on est amené à se poser les deux questions suivantes : Dans mon problème, doisje tenir compte de l’ordre ? Dans mon problème, estil possible de répéter le même élément ? Sil’on répondOUIà la première question alors un arbre de probabilité (ou un diagramme à cases si les nombresen jeu sont trop importants) doit permettre d’obtenir le résultat. Sil’on répondNONà la première question alors l’arbre n’est plus très efficace. Dansle cas où l’on répond aussiNONà la deuxième question, on va être amené à définir une nouvelle notion : lanotion decombinaisons. Exemples: Quelle réponse apporteton aux deux questions cidessus dans les cas suivants. On ne demande pas derépondre à la question posée. On tire simultanément trois cartes dans un jeu de 32 cartes. Quel est le nombre de résultats possibles ? _________________________________________________________________________________________ On lance successivement 4 fois un dé à 6 faces.Quel est le nombre de résultats possibles ? _________________________________________________________________________________________ On tire successivement une carte dans un jeu de32 cartes, puis on lance un dé à 6 faces, puis on lance une piècede monnaie. Quel est le nombre de résultats possibles ? _________________________________________________________________________________________ On obtient un jeu de 96 cartes en mélangeant 3 jeux de 32 cartes. On tire simultanément 4 cartes dans ce jeu de96 cartes. Quel est le nombre de résultats possibles ? _________________________________________________________________________________________ Définition6.2.1 : Permutations d’un ensemble fini Onappelle permutation d’un ensemble fini E ànéléments toute listeordonnéedenéléments de Edeux àdeux distincts. Exemple: Soit E un ensemble à deux éléments. Posons par exempleE=a;b. Ilexiste deux permutations de l’ensemble E notées(a;b)et(b;a). Activité: Soit E un ensemble à trois éléments. On poseE=a;b;c. En vous aidant d’un arbre, écrire toutes les permutations de l’ensemble E. ________________________________ ________________________________ ________________________________ ________________________________ ________________________________ ________________________________ ________________________________ ________________________________ ________________________________ ________________________________ ________________________________ Combien existetil de permutations d’un ensembleà 3 éléments ?__________________________________ Sans les écrire toutes, déterminer le nombre de permutations d’un ensemble à 5 éléments. _________________________________________________________________________________________
Propriété6.2.2 : Le nombre de permutations d’un ensemble ànéléments est égal à : ...................................................................................................... Cenombre s’appelle .................................................. et se note ........ Remarque: Par convention : 0 ! = .... Exemple: 3 ! = .................................................. Ilexiste donc 6 permutations d’un ensemble à 3 éléments (Voir exemple cidessus). Calculatrice: Casio Graph 25 et sup :3 OPTN PROBx.! EXE Texas TI 80 et sup :3 MATH PRB 4: !ENTER . Calculeravec des factorielles : Simplifier sans calculatrice les écritures des nombres suivants. 6×4! A= =..................................................................................................................................................... 5! 7!×5! B.....................................................................................................................................................= = 10! 9! C= =..................................................................................................................................................... 5!×4! 6!−5! D.....................................................................................................................................................= =4! (n+1)! E= =..................................................................................................................................................... n! (n+1)! F== .....................................................................................................................................................(n−1)!
1 1 G=−n!(n+1)!
= ..............................................................................................................................................
(n−1)!n! H=−n!(n+1)!
= .......................................................................................................................................
Activité : Parties d’un ensemble fini – Combinaisons – Un sac contient5jetons numérotés 1, 2, 3, 4 et 5. Ontire simultanément2jetons dans ce sac. On veut connaître le nombre de résultats différents possibles. Combien existeraittil de résultats possibles dans le cas de tirages successifs et sans remise ? _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ té ?de fois le tirage {1 ; 2} atil été comp Combien _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________
le cas qui nous intéresse.déduire le nombre de résultats possibles dans En _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ Vérifier le résultat obtenu en écrivant toutesles possibilités. _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ – Un sac contient10jetons numérotés de 1 à 10. Ontire simultanément dans ce sac3jetons. Reprendreles questions de l’exempleen adaptant au cas présent. _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ – On tire, toujours dans ce sac de10jetons,pjetons (1≤p≤10), simultanément. Déterminerle nombre de résultats possibles en fonction depen utilisant la méthode de l’exemple. _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ – On tire simultanémentpjetons toujours dans un sac contenantnjetons numérotés de 1 àn. (1≤p≤n), Déterminerle nombre de résultats possibles en fonction depetnen utilisant la méthode de l’exemple. _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ Ecrire le résultat final à l’aide de factorielles :___________________________________________________
Définition6.2.3 : Soitnun entier naturel etpun entier tel que0≤p≤n. SiE est un ensemble fini ànéléments, alors on appelle combinaison depéléments de E toute liste non ordonnéedepéléments de E deux à deux distincts. Ondit encore partie de E àpéléments à la place de combinaison depéléments de E. Exemple: Soit E un ensemble à 4 éléments. Posons E = {a;b;c;d}. La partie {a;b} est une combinaison de 2 éléments de E. La partie {b;a} est égale à la partie {a;b} car on ne tient pas compte de l’ordre. La partie∅est la seule combinaison de 0 élément de E. Propriété6.2.4 : Si E est un ensemble ànéléments, alors le nombre de combinaisons depéléments de E est noté............... et est tel que : ....................................................... ....................se lit «pparmin». CASIO Graph 25 :Calculatrice :n OPTNPROBnCrp EXE Texas TI 80 est audessus : :n MATHPRB 3:nCrp ENTER Synthèsesur le dénombrement : On peut résumer dans le tableau cidessous les différents cas possibles de dénombrement. Ordre OUI NON Répétition Arbre ou OUIdiagramme à? casesArbre ou NONdiagramme àCombinaisons cases Exemple: On tire simultanément 4 cartes dans un jeu de 32 cartes. Calculerle nombre de résultats différents que l’on peut obtenir ? _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________
