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MATH 5.3 Alg`ebre 4 E. Edo1 Morphisme de groupes, groupe quotient1.1 Morphisme de groupesSoient G et H deux groupes not´es multiplicativement et soit `:G!H une application de G dans H.On dit que ` est un morphisme de groupe si, pour tout x;y 2 G, on a : `(xy) = `(x)`(y) (dans lecas ou` G=H on parle d’endomorphisme).¡1On appelle noyau de ` et on note ker`=` (f1g)=fg2G;`(g)=1g‰G.On appelle image de ` et on note im `=`(G)=f`(g);g2Gg‰H.On dit que ` est un isomorphisme si ` est morphisme et une bijection (dans le cas ou` G = H onparle d’automorphisme).On dit que G et H sont isomorphes s’il existe un isomorphisme de G dans H.Propri´et´es : Soient G et H deux groupes not´es multiplicativement et soit ` un morphisme de G dans H.¡1 ¡11) On a : `(1)=1 et pour tout x2G on a `(x )=`(x) .2) Soit G un sous-groupe de G et H un sous-groupe de H. Alors `(G ) est un sous-groupe de H et1 1 1¡1` (H ) est unoupe de G.13) le morphisme ` est injectif si et seulement si ker`=f1g (et surjectif si et seulement si im `=H).¡14) Si ` est un isomorphisme alors l’application r´eciproque ` est aussi un isomorphisme.Exemples :1) Soit n2Nrf0g, l’application d´eterminant est un morphisme de Gl (C) (muni de la multiplicationn⁄des matrices) dansC (muni de la mutiplication).⁄ ⁄2) L’appication z7!jzj est morphisme deC dansR (munis de la mutiplication).+23) Soit G un groupe. L’application x7! x est un morphisme de G dans lui-mˆeme si et seulement si Gest ab´elien.1.2 Relation ...

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MATH5.3Algebre4

E. Edo

1 Morphismede groupes, groupe quotient 1.1 Morphismede groupes SoientGetHdorpuuegxestnoesliipltmuemevitactiostetnφ:G→Hune application deGdansH. On dit queφest unmorphisme de groupesi, pour toutx, y∈G, on a :φ(xy) =φ(x)φ(y) (dans le casouG=Hon parle d’endomorphisme). −1 On appellenoyaudeφet on note kerφ=φ({1}) ={g∈G;φ(g) = 1} ⊂G. On appelleimagedeφet on note imφ=φ(G) ={φ(g);g∈G} ⊂H. On dit queφest unisomorphismesiφijebtiecmeisunetmtsehprocesaounod(nalsG=Hon parle d’automorphisme). On dit queGetHsontisomorphess’il existe un isomorphisme deGdansH.

Proprietes:SoientGetHsnpeougrulsmeottacilpitetnemevitsoitedxuφun morphisme deGdansH. −1−1 1) On a :φ(1) = 1et pour toutx∈Gon aφ(x) =φ(x). 2) SoitG1un sous-groupe deGetH1un sous-groupe deH. Alorsφ(G1)est un sous-groupe deHet −1 φ(H1)est un sous-groupe deG. 3) le morphismeφest injectif si et seulement sikerφ={1}(et surjectif si et seulement siimφ=H). −1 4) Siφationreciproqueaemssrolpa’lcilpesnitumosohirpφest aussi un isomorphisme.

Exemples : 1) Soitn∈N r{0}tunmntesminaeternodacitppill,a’lGedhproemsin(C) (muni de la multiplication ∗ des matrices) dansC(muni de la mutiplication). ∗ ∗ 2) L’appicationz7→ |z|est morphisme deCdansR(munis de la mutiplication). + 2 3) SoitGun groupe. L’applicationx7→xest un morphisme deGistnadsnul-imˆemesietseulemeG estabelien.

1.2Relationd’equivalence SoitGun ensemble. Unerelationest un sous-ensembleSdeG×Guno,ilitlageetiveea’clnaragilosPea. souvent un symbole, par exemple'd,ruop:etnvauieserianamelx, y∈Gno,itecrx'yaplaaleced (x, y)∈S. On parle alors de la relation'surG. SoitGun ensemble. Soit'une relation surG. On dit que'esteq’ndionclevauietalersi pour toutx, y, z∈Gon a : 1)x'x),riteeexi(v 2) six'yalorsy'xmye,s(),ietr 3) six'yety'zalorsx'z).itivitesnart(

1.3 Ensemblequotient SoitGun ensemble. Soit'avelqeiurucnseoita’dnnulereG. Ondenituneapplicationφ:G→P(G) en posant, pourx∈G,φ(x) ={y∈G;x'y}. L’image deφs’appellel’ensemble quotientdeGpar', on le noteG/= im(φ) ={φ(x);x∈G} '

PropositionL’ensemble quotientG/est une partition deG. ' Autrement dit : pour toutx, y∈G,φ(x) =φ(y)ou bienφ(x)∩φ(y) =∅.

Un sous-ensembleS⊂Gtel que la restriction deφaSsoit injective s’appelle uneprntsetsantsysemeered deG/. '

Compatibilite(d’uneloiavecunerelationd’equivalence)

Alors les quotientsG/etG/ /sont isomorphes. K HK/ H

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