COURS 0405
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CH. 7 : TRIANGLES ISOMETRIQUES TRIANGLES SEMBLABLES 1. QUATRE ISOMETRIES DU PLAN : ACTIVITE 1 A. DEFINITIONS : NOM DEFINITION REPRESENTATION uLa translation La translation de vecteur u est la transformation du plan qui à tout point M associe le point M’ tel que MM ' = u . M · La symétrie orthogonale d’axe d est la transformation du plan La symétrie qui à tout point M associe le point M’ tel que la droite d soit la orthogonale médiatrice de [MM’] M · d (ou réflexion) La symétrie centrale de centre O est la transformation du plan La symétrie qui à tout point M associe le point M’ tel que O soit le milieu O · M · centrale de [MM’]. La rotation de centre O et d’angle a est la transformation du plan qui à tout point M associe le point M’ tel queOM = OM’ et La rotation l’angle orienté ,MOM’ = aa. aa O · M · B. PROPRIETES : NOM DEFINITION PROPRIETE 1. Les translations ……………………………………………………….. POINTS INVARIANTS Un point invariant par une 2. La rotation de centre O admet …………………………………………….. transformation est un point qui est sa propre image. 3.La symétrie centrale de centre O admet ………………………………….. 4. Pour la symétrie orthogonale d’axe d, l’ensemble des points invariants est…………………………………………………………………….. Une isométrie du plan est 1. Une isométrie conserve les angles et les aires. une transformation qui 2. Les quatre transformations citées ci-dessus ………………………. ...
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CH. 7 : TRIANGLES ISOMETRIQUES
TRIANGLES SEMBLABLES
1. QUATRE ISOMETRIES DU PLAN : ACTIVITE 1
A. DEFINITIONS :
NOM
DEFINITION
REPRESENTATION
La translation
La translation de vecteur
u
est la transformation du plan qui
à tout point
M
associe le point
M’
tel que
u
MM
=
'
.
La symétrie
orthogonale
(ou réflexion)
La symétrie orthogonale d’axe
d
est la transformation du plan
qui à tout point
M
associe le point
M’
tel que
la droite
d
soit la
médiatrice de
[MM’]
La symétrie
centrale
La symétrie centrale de centre
O
est la transformation du plan
qui à tout point
M
associe le point
M’
tel que
O
soit le milieu
de
[MM’].
La rotation
La rotation de centre
O
et d’angle
α
est la transformation
du
plan qui à tout point
M
associe le point
M’
tel que
OM = OM’
et
l’angle orienté
,
MOM’
=
α
.
B. PROPRIETES :
NOM
DEFINITION
PROPRIETE
POINTS
INVARIANTS
Un point
invariant
par une
transformation est
un point
qui est sa propre image.
1.
Les translations ………………………………………………………..
2.
La rotation de centre
O
admet
…………………………………………….
.
3.
La symétrie centrale de centre
O
admet
…………………………………..
4.
Pour la symétrie orthogonale d’axe
d
, l’ensemble des points invariants
est……………………………………………………………………..
CONSERVATION
DES
LONGUEURS,
DES ANGLES ET
DES AIRES.
Une
isométrie du plan
est
une transformation qui
conserve les longueurs :
si
A’
est l’image de
A
et si
B’
est l’image de
B
alors
AB = A’B’
.
1.
Une isométrie conserve les angles et les aires.
2.
Les quatre transformations citées ci-dessus ……………………….
…………………………………………………………………………..
En particulier elles
conservent les ……………………..…………..et
……………………………………………………………………….
IMAGE DES
DROITES et
CERCLES :
1. L’image d’une droite par une isométrie est ……………………………………………………….
2.
L’image d’un cercle de centre
Ω
par une isométrie est ……………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
3.
Si deux droites sont sécantes en A alors leurs images par une isométrie sont …………………………
…………………………………………………………………………………………………………….
4.
En particulier l’image du triangle ABC est …………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………
CONSERVATION
DU
PARALLELISME
1.
Si deux droites sont parallèles alors …………………………………………………………………..
2.
En particulier l’image d’un parallélogramme …………………………………………………………..
u
M
×
M
×
d
M
×
O
×
O
×
M
×
2. TRIANGLES ISOMETRIQUES :
DEFINITION
Deux triangles sont
isométriques
si
l’un est l’image de l’autre par une isométrie
du plan
ou par une succession d’isométries du plan.
PROPRIETE
Si Deux triangles sont isométriques alors leurs
trois angles sont égaux deux à deux
.
CARACTERISATIONS
REPRESENTATION
1.
Deux triangles sont isométriques si
leurs côtés
sont deux à deux de même longueur
(on dira par abus de langage : « …côtés égaux deux à deux »).
2.
Deux triangles sont isométriques s’ils ont
un côté
égal adjacent à deux angles égaux deux à deux.
3.
Deux triangles sont isométriques s’ils ont
un angle
égal compris entre deux côtés égaux deux à deux.
EXERCICE 1 :
ABC est un triangle isocèle en A, I est le milieu de [BC] et
M un point de [AI]. (CM) coupe [AB] en K et (BM) coupe [AC] en H.
On appelle s la réflexion d’axe (AI).
1.
En justifiant brièvement, déterminer s(A), s(M), s(B) et s(C).
2.
Qu’en déduire pour les triangles BHC et CKB ?
EXERCICE 2 :
ABCD est un parallélogramme de centre O,
d est une droite passant par D et d’ sa parallèle passant par B.
d coupe (AC) en M et d’ coupe (AC) en N.
1.
Quelle est l’image de d par la symétrie de centre O ?
2.
Qu’en déduire pour les triangles OMD et ONB ?
Y a-t-il d’autres triangles dans ce cas ?
EXERCICE 3 :
ABCD est un carré de centre O. AODE est un carré.
M est un point de [AE] et N un point de [OC] tels que
,
MDN
= 90
°.
En utilisant une rotation bien choisie, démontrer que EMD et OND sont
isométriques.
EXERCICE 4 :
ABCD est un quadrilatère quelconque.
ABDM et BCND sont des parallélogrammes.
En utilisant une translation bien choisie,
démontrer que ABC et MDN sont isométriques.
EXERCICE 5 :
ABC est un triangle équilatéral. AM = BN = CP.
En comparant AMP, BMN et CNP, démontrer que MNP est équilatéral.
EXERCICE 6 :
ABC est un triangle. AD = DB = AB et AE = AC = CE.
En comparant DAC et BAE, démontrer que DC = BE.
3. TRIANGLES SEMBLABLES :
DEFINITION
Deux triangles sont semblables si les angles de l’un
sont égaux aux angles de l’autre.
CARACTERISATIONS
1.
Si deux triangles ont
deux angles égaux
alors ils sont semblables.
2.
Deux triangles sont semblables si et seulement si
les côtés de l’un sont proportionnels aux côtés de l’autre
.
(Le coefficient de proportionnalité des longueurs est appelé
rapport de similitude
des deux triangles.)
3.
Deux triangles sont semblables si
un angle de l’un est égal à un angle de l’autre, les côtés adjacents à cet
angle étant proportionnels aux côtés adjacents de l’autre.
PROPRIETE
Si deux triangles
ABC
et
A’B’C’
sont semblables avec un rapport de similitude
k
, alors :
Aire(ABC) = k
2
×
Aire (A’B’C’)
EXERCICE 7 :
ABC est un triangle, (AD) est la bissectrice de l’angle
,BAC .
AM = AB et AN = AC. En déterminant deux triangles
EXERCICE 8 :
A et B sont deux points d’un cercle de centre O tels que AB = CD.
(AD) et (CB) se coupent en I.
1.
Comparer
,DCB et
,DAB , puis
,CDA et
,CBA.
EXERCICE 9 :
ABCD est un parallélogramme de centre O.
A’ est le projeté orthogonal de A sur (BD).
B’ est le projeté orthogonal de B sur (AC).
C’ est le projeté orthogonal de C sur (BD).
D’ est le projeté orthogonal de D sur (AC)
1.
Comparer les triangles DOD’ et BOB’ .
2.
De même pour les triangles AOA’ et COC’ .
3.
Quelle est la nature de A’B’C’D’ ?
EXERCICE 10 :
ABCD est un carré, P le milieu de [BC], N un point de [AB].
(ND) coupe (BC) en M et (AP) en I.
Parmi tous les triangles tracés sur la figure ci-contre, trouver ceux qui sont semblables.
EXERCICE 11 :
ABC est un triangle isocèle en A tel que
,BAC = 36°.
I est l’intersection de (AC) avec la bissectrice de l’angle
,B.
Démontrer que ABC et BCI sont semblables
EXERCICE 12 :
A, B,C et D sont quatre points d’un cercle de centre O.
(AC) et (BD) se coupent en I.
Démontrer que ABI et CID sont semblables.
EXERCICE 14 :
ABC est un triangle,
[AA’] et [BB’] deux de ses hauteurs et H son orthocentre.
Démontrer que BA’H et AA’C sont semblables.
EXERCICE 13 :
ABCD est un rectangle. (AE) est perpendiculaire à (BD)
Démontrer que ADE et AHB sont semblables.
EXERCICE 15 :
ABCD est un parallélogramme, AD = 2, AB = 3 et DN = 1.
1.
Démontrer que ADN et MBA sont semblables.
2.
Déduisez-en le rapport de leurs aires.
EXERCICE 16 :
ABCD est un rectangle tel que AB = 15 et BC = 9. M est le point de
[AD] tel que AM = 4.
(DE) est perpendiculaire à (MC) et la coupe en H.
1.
Démontrer que DMC et AED sont semblables.
2.
En déduire la longueur AE.
3.
Démontrer que (MC) est la médiatrice de [DE]
EXERCICE 17 :
ABC sont trois points tels que B est le milieu de [AC].
AFB est isocèle en F, BE = BC, FE = FB.
D est l’intersection de (FE) et (AB).
1.
Démontrer que AFB et BFE sont isométriques.
2.
Démontrer que AFB et CBE sont semblables.
3.
Démontrer que DCE et DBF sont semblables.
4.
Si AB = 3 et AF = 5, calculer EC et ED.
