Cours 0405
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CH.2 : GENERALITES SUR LES FONCTIONS NUMERIQUES Pour bien commencer : ACTIVITE 1 : Un vocabulaire adapté. Le graphique ci-dessous représente l’évolution de la température extérieure sous abri dans une ville enregistrée par un thermomètre automatique pendant une journée du mois de Février : En lisant les informations nécessaires sur la courbe, compléter le tableau ci-dessous : Question Réponse en langage courant Réponse en langage mathématique A chaque instant de la journée, combien de valeur(s) de la température peut-on lire ? A quelle heure le thermomètre a-t-il commencé les mesures ? A quelle heure a-t-il terminé ? Quelle est la valeur de la température à midi ? Combien de fois la température de 3 degrés est elle atteinte ? A quelle(s) heure(s) ? Comment évolue la température entre 0H et 6H ? Comment évolue-t-elle ensuite ? A quelle(s) heure(s) la température est-elle la plus chaude ? Quelle est alors sa valeur ? A quelle(s) heure(s) la température est-elle la plus froide ? Quelle est alors sa valeur ? Préciser le signe de la température au cours de la journée. ACTIVITE 2 : Une situation concrète : p.58 Activité 2. 1. Notion de fonction numérique : DEFINITION (intuitive) : Lorsqu’à tout nombre réel x d’un intervalle I on associe un nombre réel et un seul noté f(x), on dit que l’on définit une fonction numérique sur I (notée f ). On écrit : f : x f(x) pour tout x˛I. ...
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CH.2 : GENERALITES SUR LES FONCTIONS NUMERIQUES Pour bien commencer : ACTIVITE 1 : Un vocabulaire adapté. Le graphique ci-dessous représente lévolution de la température extérieure sous abri dans une ville enregistrée par un thermomètre automatique pendant une journée du mois de Février :
En lisant les informations nécessaires sur la courbe, compléter le tableau ci-dessous : Question Réponse en langage courant Réponse en langage mathématique A chaque instant de la journée, combien de valeur(s) de la température peut-on lire ? A quelle heure le thermomètre a-t-il commencé les mesures ? A quelle heure a-t-il terminé ? Quelle est la valeur de la température à midi ? Combien de fois la température de 3 degrés est elle atteinte ? A quelle(s) heure(s) ? Comment évolue la température entre 0H et 6H ? Comment évolue-t-elle ensuite ? A quelle(s) heure(s) la température est-elle la plus chaude ? Quelle est alors sa valeur ? A quelle(s) heure(s) la température est-elle la plus froide ?
Quelle est alors sa valeur ? Préciser le signe de la température au cours de la journée. ACTIVITE 2 : Une situation concrète : p.58 Activité 2.
1. Notion de fonction numérique : DEFINITION (intuitive) : Lorsquà tout nombre réelxdun intervalle I on associeun nombre réel et un seulnotéf(x), on dit que lon définit unefonction numérique sur I (notéef). On écrit :f :xf(x)pour toutx∈I. DEFINITIONS : .xest appelée «variablede la fonctionf » . appelé «I estintervalle de définition de la fonctionf». .Lorsque lon connaît une formule qui permet de calculer les valeurs def(x), cette formule est appelée «expression algébrique de la fonctionf » Exemples : - Dans lactivité 1, la température est une fonction numérique du temps (qui est la variable) définie sur [0 ; 24] : à chaque instant de cet intervalle correspond une valeur de la température et une seule. On ne connaît pas lexpression algébrique de cette fonction. - Dans lactivité 2, laire de baignade est une fonction numérique de la variablexdéfinie sur [0 ; 80] : à chaque valeur de la longueurxcorrespond une valeur de laire et une seule. Lexpression algébrique de la fonctionAest :A(x) = x(160 – 2x). Vous connaissez déjà les fonctions suivantes : - Les fonctions linéaires : exemple :…………………. - Les fonctions affines : exemple :…………………. Exercices : p. 69 n° 18 – 6. 2. Représentation graphique dune fonction numérique : DEFINITION : Tracerla représentation graphiquedune fonction sur un intervalle I consiste à placer dans un repère du plan les points de coordonnées (x ; f(x)) pourx∈I. Exemples : - Dans lactivité 1, on connaît la fonction numérique donnant la température au cours de la journée grâce à sa représentation graphique. - Dans lactivité 2, la donnée de lexpression algébrique de la fonctionApermet de tracer sa représentation graphique. Vous savez déjà que : - La représentation graphique dune fonction affine est ……………………… - La représentation graphique dune fonction linéaire est ……………………… Exercice : p.75 n° 48. Utilisation de la calculatrice graphique : p.66 1.3.5. et p. 75 n° 46. 3. Image et antécédent : DEFINITIONS :Soientfune fonction définie sur un intervalle I , un nombrex∈I ety = f(x) On dit queyestlimagedexpar la fonctionf On dit quexestun antécédentdeypar la fonctionf. Exemples : - Dans lactivité 1, on peut lire sur la représentation graphique que 4 est limage de 12 et que 3 admet deux antécédents : 11 et 20. - Dans lactivité 2, pour tracer la représentation graphique de la fonctionA, on a calculé les images des nombres 0, 10 ,20, 30, 40,…,80 grâce à lexpression algébrique de la fonction. Grâce à cette représentation graphique on a pu déterminer des valeurs approchées des deux antécédents de 2500 par la fonctionA: environ 21et environ 59. Exercices : p.68 n° 1-2-4 / p. 69 n° 8-9-10-13-14 / p. 70 n° 19-20-21-22 / p. 74 n° 40 - 41
4. Tableau de valeurs : DEFINITION: Un tableau dans lequel figurent plusieurs valeurs de la variable et leurs images est appelé « tableau de valeurs de la fonction». Exemples : - Pour la fonction de lactivité 1, la lecture de la courbe permet de compléter le tableau de valeur de la fonction sur [0 ; 24] avecun pas de 2(certaines valeurs des images étant des valeurs approchées) : x f(x) Pour la fonction de lactivité 2, lexpression algébrique de la fonction nous a permis de compléter le tableau de -valeur de la fonctionAsur [0 ; 80] avecun pas de 10(les valeurs images étant exactes). - Vous savez déjà que le tableau de valeurs dune fonction linéaire est…………………………………………. Utilisation de la calculatrice graphique : p.66 2. et p. 69 n° 11. 5. Sens de variation dune fonction numérique : DEFINITIONS (intuitive ) : .On dit quune fonctionfestcroissantesur un intervalle I sif(x)augmente lorsquexaugmente dans I. .On dit quune fonctionfestdécroissantesur un intervalle I sif(x)diminue lorsquexaugmente dans I. DFINITIONS (rigoureuse) : .«La fonctionfestcroissantesur lintervalle I » signifie que : Pour tout nombreaetbde I,sia<b, alorsf(a) ≤ f(b).(« la fonction conserve lordre ») .« La fonctionfestdécroissantesur lintervalle I » signifie que : Pour tout nombreaetbde I,sia<b, alorsf(a) ≥ f(b).(« la fonction inverse lordre ») Exemples : - Dans lactivité 1, le graphique de la fonction nous permet de lire ses variations : elle est décroissante sur [0 ; 6], croissante sur [6 ; 14] et décroissante sur [14 ; 24]. - Dans lactivité 1, le graphique de la fonction nous permet de lire ses variations : elle est croissante sur [0 ; 40] et décroissante sur [40 ; 80] . Remarques : - On résume habituellement les variations dune fonction dans un tableau appelé« tableau de variation ». Compléter celui de la fonction de lactivité 1:
Exercices : p.70 n° 24-25 / p.74-75 n° 45 Utilisation de la calculatrice graphique : p. 70-71 n° 26-27 - Constater le sens de variation dune fonction numérique sur sa représentation graphiqueNE CONSTITUE PAS UNE PREUVE MATHEMATIQUE. Nous allons voir dans les exercices suivants comment démontrer rigoureusement quune fonction est croissante ou décroissante sur un intervalle…et que ce nest pas chose facile… Exercices : p.75 n° 47-49-50.
6. Extremum dune fonction : DEFINITIONS : .Une fonctionfadmet unmaximumenx = asur un intervalle I sif(x)≤f(a)pour tout nombrexde I. Le nombref(a)est appelé «maximum de la fonctionf sur I». .Une fonctionfadmet unminimumenx = asur un intervalle I sif(x)≥f(a)pour tout nombrexde I. Le nombref(a)est appelé «minimum de la fonctionf sur I». Exemples : - Dans la'ctivité 1, daprès son graphique, la fonction représentant les valeurs de la température admet : .un maximum sur [0 ; 24] : il vaut 9 et est atteint pour la valeur 14 de la variable .un minimum sur [0 ; 24] : il vaut –3 et est atteint pour la valeur 6 de la variable. - Dans lactivité 2, on a constaté sur le graphique de la fonctionAque celle-ci admet un maximum qui vaut 3200 enx40. = Exercices : p.71 n° 28-29-33. Utilisation de la calculatrice graphique : p.71 n° 30. Remarque : Comme pour le sens de variations : lire les extrema dune fonction numérique sur sa représentation graphique NE CONSTITUE PAS UNE PREUVE MATHEMATIQUE. Nous allons voir dans les exercices suivants comment démontrer rigoureusement quune fonction admet un extremum sur un intervalle…et que ce nest pas chose facile… Exercices : p.71 n° 31-32. 7. Signe dune fonction : DEFINITION : .Une fonctionfestpositivesur I sif(x)≥0pour tout nombrexde I . .Une fonctionfestnégativesur I sif(x)≤0pour tout nombrexde I . Remarque : On résume habituellement le signe dune fonction dans un tableau appelétableau de signe. Compléter celui de la fonction de lactivité 1 : x Signe de f(x) Exercices : En utilisant leurs représentations graphiques, dresser les tableaux de signe des fonctions des exercices p.70 n° 19-20-21-22. emarque : R Comme précédemment : constater le signe dune fonction numérique à laide de sa représentation graphique NE CONSTITUE PAS UNE PREUVE MATHEMATIQUE. Nous allons voir dans un chapitre à venir comment étudier rigoureusement le signe dune fonction.
