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™™™ Résolution d’équations différentielles. Équations différentielles d’ordre un et quelques fonctions personnalisées. Équations différentielles d’ordre deux. Équations différentielles d’ordre supérieur à deux. 1. Équations différentielles du premier ordre et quelques fonctions personnalisées On peut se servir de la TI pour résoudre symboliquement les équations différentielles d’ordre un et d’ordre deux. En effet, la commande « deSolve » résout la plupart des équations différentielles rencontrées habituellement, soit les équations différentielles du premier ordre de types séparables, linéaires, homogènes, Bernoulli, exactes et celles qui possèdent un facteur intégrant qui ne dépend que d’une seule variable, de même que les équations linéaires du second ordre (particulièrement à coefficients constants), qui sont résolues par la méthode de variation des paramètres. On peut ou non avoir des conditions initiales (on peut même avoir des conditions aux frontières). Nous allons illustrer tout cela en utilisant la TI pour résoudre certaines équations différentielles. dyExemple 1 : soit à résoudre +=2syin(x). Il s’agit d’une équation différentielle linéaire du dxpremier ordre. Il est important de distinguer la variable dépendante de la variable indépendante. Ici, nous avons la dérivée de la variable y par rapport à la variable x : x est donc la variable dyindépendante et y, la dépendante. Plutôt que d’écrire , nous aurions pu écrire ...
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Français
Résolution d’équations différentielles.
Équations différentielles d’ordre un et quelques fonctions personnalisées.
Équations différentielles d’ordre deux.
Équations différentielles d’ordre supérieur à deux.
1. Équations différentielles du premier ordre et quelques fonctions personnalisées
On peut se servir de la TI pour résoudre symboliquement les équations différentielles d’ordre un
et d’ordre deux. En effet, la commande « deSolve » résout la plupart des équations différentielles
rencontrées habituellement, soit les équations différentielles du premier ordre de types
séparables, linéaires, homogènes, Bernoulli, exactes et celles qui possèdent un facteur intégrant
qui ne dépend que d’une seule variable, de même que les équations linéaires du second ordre
(particulièrement à coefficients constants), qui sont résolues par la méthode de variation des
paramètres. On peut ou non avoir des conditions initiales (on peut même avoir des conditions aux
frontières).
Nous allons illustrer tout cela en utilisant la TI pour résoudre certaines équations différentielles.
Exemple 1 :
soit à résoudre
dy
dx
y
+
=
2
s
i
n
(
x
)
. Il s’agit d’une équation différentielle linéaire du
premier ordre. Il est important de distinguer la variable dépendante de la variable indépendante.
Ici, nous avons la dérivée de la variable
y
par rapport à la variable
x
:
x
est donc la variable
indépendante et
y
, la dépendante. Plutôt que d’écrire
dy
dx
y
+
=
2
s
i
n
(
x
)
)
, nous aurions pu écrire
puisque le «
y
′
» signifie la dérivée de
y
par rapport à la variable indépendante,
qui est
x
;
c’est cette notation qu’il faut utiliser pour les TI. Sur la Voyage 200, le
[
′
]
s’obtient
avec
[
2nd
]
[
B
]
tandis qu’avec la TI-89 Titanium, c’est
[
2nd
]
[
=
]
.
y
y
x
′+
=
2
s
i
n
(
Comme l’indique la figure 1, la commande « deSolve » possède la syntaxe suivante :
deSolve(edo, varind, vardep)
où « edo » est l’équation différentielle, « varind » est la variable indépendante et « vardep » est la
variable dépendante.
Dernière révision : août 2005
Page 1
Figure 1
Souvent, la TI met tout sur un dénominateur commun. Cela n’est pas toujours souhaitable et la
commande propFrac
[
F2
]
[
7
]
est alors utile pour séparer les termes.
La constante arbitraire (réelle) @1 vient nous rappeler qu’il n’y avait pas de condition initiale.
Elle a la même signification que le « C » que nous aurions écrit si nous avions résolu l’équation
manuellement.
Ajoutons une condition initiale, disons
y
(0) = 3. On insère cette condition initiale immédiatement
après l’équation différentielle avec un AND (figure 2 a) :
Figure 2 a
Figure 2 b
On peut se demander quelle condition initiale du type «
y
(0) =
a
» il aurait fallu donner afin
d’éliminer la présence du terme exponentiel.
Il aurait fallu choisir
a
=
−
1/5 (figure 3).
Figure 3
Nous aurions, de cette façon, obtenu une réponse périodique dont l’amplitude est environ 0,447
et l’angle de phase, environ 0,46 (figure 4).
Dernière révision : août 2005
page 2
Figure 4
Exemple 2 :
circuit
RC
.
L’équation associée à un circuit
RC
est une équation différentielle
linéaire du premier ordre, dans laquelle
R
est la résistance,
C
est la capacitance du condensateur,
E
(
t
), la source (force électromotrice) et
a
, le voltage initial aux bornes du condensateur :
dv
dt
RC
v
E
t
RC
v
a
C
C
C
+
=
1
0
(
)
(
)
,
=
Nous pouvons construire une fonction pour résoudre de tels problèmes (figure 5). Disons qu’on
accepte la variable
t
pour représenter le temps. Alors notre fonction
dépendra de 4 variables :
R
,
C
,
E
et
a
.
C
v
Nous construisons la fonction
(
)
CircRC
, , ,
R
C
E
a
(figure 5) :
Figure 5
Pour nous faire une idée, supposons qu’une résistance de 20
Ω
soit branchée en série à un
condensateur de 0,01F et une source
E
t
e
e
t
(
)
t
=
+
−
−
40
20
3
6
. Initialement, le condensateur n’est
pas chargé. On nous demande de montrer que le voltage maximum atteint est de 25V.
Nous utilisons notre fonction
(
)
3
6
CircRC 20,0.01,40
20
,0
t
t
e
e
−
−
+
pour trouver
( )
C
v
t
.
Pour se débarrasser des décimales, on utilise « exact » sur le membre de droite (figure 6 à
gauche), la fonction fMax :
[
F3
]
[
7
]
nous évite d’avoir à calculer la dérivée du voltage « vol » et
de l’annuler (figure 6 b). Nous trouvons donc que le voltage maximal est effectivement 25V et
qu’il est atteint quand
(
)
ln 2
0,231s
3
t
=
≈
.
Dernière révision : août 2005
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Figure 6 a
Figure 6 b
Figure 6 c
À la figure 6 c, nous avons le graphique du voltage aux bornes du condensateur dans une fenêtre
où
−
0.1 <
x
< 2,
−
0.2 <
y
< 30. La quantité
( )
ln 2
3
y est affichée en décimales.
Exemple 3.
Dans un cours d’équations différentielles, on apprend comment résoudre les
équations du premier ordre en reconnaissant leur type. Bien sûr, la commande « deSolve » les
résout pour nous. Mais pour procéder par nous-mêmes, il faut définir différentes fonctions selon
le type d’équation. Cela aura l’avantage de nous forcer à reconnaître le type d’équation et même,
dans certains cas, de donner la réponse de façon plus compacte.
Donnons les exemples pour une équation différentielle séparable,
dy
dx
p
x
q
y
=
(
)
(
)
, une linéaire du
premier ordre,
dy
dx
p
x
y
q
x
+
=
(
)
(
)
, et une exacte,
M
x
y
d
x
N
x
y
d
y
(
,
)
(
,
)
+
=
0
où
∂
∂
=
∂
∂
M
y
N
x
.
Nous voulons définir des fonctions personnalisées qui vont résoudre chacun de ces types
d’équations différentielles. Pour simplifier, nous n’introduisons pas de condition initiale et nous
allons répondre en terme d’une constante arbitraire.
Pour l’équation à variables séparables, nous procédons comme suit :
soit
dy
dx
p
x
q
y
=
(
)
(
)
d’où
p
x
d
x
q
y
dy
C
(
)
(
)
=
z
z
1
+
. C’est ce que nous définirons pour la calculatrice.
Pour la linéaire du premier ordre, nous savons que la solution générale est
y
e
q
x
e
d
x
C
p
x
d
x
p
x
d
x
=
z
z
+
F
H
I
K
−
z
(
)
(
)
(
)
. C’est cette formule qui sera donnée dans la définition de la
fonction.
Dernière révision : août 2005
page 4
Finalement, si l’équation différentielle
M
x
y
d
x
N
x
y
d
y
(
,
)
(
,
)
+
=
0
est exacte, alors sa solution
est
V
(
x
,
y
) =
C
où
V
est telle que
∂
∂
=
V
x
M
et
∂
∂
=
V
y
N
Mais alors,
V
M
d
x
K
y
=
+
z
(
)
où
K
doit
satisfaire
N
y
Mdx
K y
=
∂
∂
+
′
z
e
j
( ) . Ainsi,
K
y
N
y
Mdx dy
(
)
=
−
∂
∂
F
H
G
I
K
J
z
z
e
j
. C’est ce résultat que
nous écrivons dans notre fonction à définir.
Figure 7
Maintenant nous pouvons résoudre, à titre d’exemple, les 3 équations différentielles suivantes :
(
)
2
sin
dy
x
dx
y
−
=
, qui est une équation à variables séparables, avec
2
p
x
= −
et
(
)
1
sin
q
y
=
2
5
1
0
2
x
dy
x
y
e
dx
−
+
=
, qui est une équation linéaire, avec
et
2
5
P
x
=
2
10
x
Q
e
−
=
, qui est exacte avec
(
)
2
2
s
i
n
(
)
4
y
x dx
x y dy
+
+
0
=
)
2
2
s
i
n
(
M
y
x
=
+
et
.
4
N
x
=
y
Figure 8
Nous remarquons que la solution de l’équation linéaire comporte une intégrale qui ne possède
pas de primitive en termes de fonctions élémentaires.
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2. Équations différentielles d’ordre deux
Voici deux exemples d’équations différentielles d’ordre deux. Notez que pour indiquer une
dérivée seconde, il faut taper deux fois
[
′
]
.
Exemple 4.
Soit l’équation différentielle suivante :
s
t
s
t
s
t
t
e
s
s
t
″
−
′
+
=
+
=
′
=
−
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3
2
8
1
2
0
0
0
2
,
,
2 .
À la main, nous utiliserions la méthode des coefficients indéterminés pour ce problème. Nous
pouvons diviser le travail en tapant l’équation différentielle que nous appellerons « ed » et les
conditions initiales, « ci ». Voir la figure 9.
Figure 9
Encore ici, la commande propFrac
[
F2
]
[
7
]
donne la réponse sous une forme plus naturelle :
Figure 10
Exemple 5 :
mouvement harmonique / régime permanent
Un problème de masse-ressort nous amène à résoudre
d
x
dt
x
A
t
x
x
2
2
0
2
0
0
0
0
+
=
=
′
=
ω
ω
sin
( )
( )
,
,
Le fait de ne pas avoir d’amortissement
a comme conséquence que la réponse du système ne
comporte pas de régime transitoire : il n’y a que le régime permanent.
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Comme l’indique la figure 11 a, la TI ne traite pas la quantité
ω
o comme une valeur positive, à
moins que nous ajoutions cette information (figure 11 b).
Figure 11 a
Figure 11 b
La méthode utilisée par la TI est la variation des paramètres pour trouver la solution particulière
(et non celle des coefficients indéterminés) : cela explique les produits de sinus et de cosinus qui
inondent l’écran (figure 11 b). On peut utiliser des identités de trigonométrie pour obtenir une
réponse condensée, en utilisant tCollect
[
F2]
[
9
]
[
2
]
(figure 12).
Figure 12
Dans le cas où
ω
=
ω
o, on obtiendrait le phénomène de résonance. La TI a « présumé » que
ω
≠
ω
o. Pour obtenir le cas où
ω
=
ω
o, nous faisons calculer une limite (figure 13).
Figure 13
Nous aurions aussi bien pu résoudre l’équation différentielle en remplaçant
ω
par
ω
o (figure 14).
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Figure 14
Dernière révision : août 2005
page 8
3. Équations différentielles d’ordre supérieur à deux
Il est (sûrement) encore important de résoudre à la main les types classiques d’équations
différentielles du premier ordre. Il est (sûrement) encore important d’apprendre la méthode des
coefficients indéterminés et la méthode de variation des paramètres. Il est (sûrement) très
intéressant de s’aider de la TI, surtout pour les problèmes où les calculs sont longs. Ainsi, nous
exploiterons au maximum les fonctionnalités présentes dans la calculatrice.
Exemple 6 :
Dans nos TI, il n’y a pas de trucs pour résoudre des équations différentielles
d’ordre supérieur à 2. Comment pouvons-nous utiliser notre calculatrice pour résoudre, par
exemple, l’É.D. du troisième ordre suivante ?
2
7
4
6
5
2
1
3
3
3
2
2
d
y
dx
d
y
dx
dy
dx
y
x
e
x
+
−
−
=
+
−
Cette équation se résout par la méthode des coefficients indéterminés, en faisant faire les calculs
(recherche des racines, calcul des dérivées, etc.) par la calculatrice.
1)
Il nous faut trouver les racines de l’équation caractéristique et définir un opérateur différentiel
qui représente l’équation différentielle. Nous voyons que les racines de l’équation caractéristique
sont 5/2 et
−
3
±
2
i
(ce qui nous permet de produire la solution complémentaire).
Nous avons
appelé notre opérateur différentiel « op ». Remarquons que si l’on se satisfait de la variable
x
, on
n’a pas besoin d’écrire « op(
x
,
y
) » seulement « op(
y
) » (figure 15).
Figure 15
2)
On passe à « op » le candidat pour la solution particulière :
ce candidat est dénoté « can ».
On fait ensuite résoudre le système (figure 16).
Figure 16
Dernière révision : août 2005
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Prenons un crayon et écrivons la réponse (la TI viendra ensuite en confirmer la validité) :
y
c
e
e
c
x
c
x
x
e
x
x
x
=
+
+
−
−
+
−
1
5
2
3
2
3
3
2
2
2
65
57
4225
20
/
cos
sin
b
g
Vérifions cette réponse. Attention !
Dans la TI, « c1 », « c2 » sont des noms réservés (pour les
colonnes d’un tableau). Donc, utilisons « a1 » et « a2 », par exemple :
Figure 17
Ainsi, notre réponse était bonne !
Document produit en août 2000.
Dernière révision : août 2005
page 10
