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£‡--***Maths TS-Cours-Fonctions (suite) : dérivation ; applications Chapitre 3 : Fonctions (suite) ; dérivation ; applications A) Cours Dans tout le chapitre, on utilise des intervalles non vides, non réduits à un singleton (un singleton est un ensemble n’ayant qu’un seul élément). I) Rappels sur les fonctions : 1) Sens de variation : a) Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. * f est croissante sur I signifie que : pour tous x, x’ de I, si x≺ x ' , alors f x f x' . ( ) ( )* f est décroissante sur I signifie que : pour tous x, x ’ de I, si x≺ x ' , alors f x f x ' . ( ) ( )* f est constante sur I signifie que : pour tous x, x’ de I, si x≺ x ' , alors f ( x) = f ( x ') . * f est strictement croissante sur I signifie que : pour tous x, x’ de I, si x≺ x ' , alors f ( x)≺ f ( x ') . * f est strictement décroissante sur I signifie que : pour tous x, x’ de I, si x≺ x ' , alors f ( x)≻ f ( x '). * f est monotone sur I signifie que f est croissante sur I ou f est décroissante sur I ou f est constante sur I. * f est strictement monotone sur I signifie que f est strictement croissante sur I ou f est strictement décroissante sur I . b) Exemples : La fonction carrée est strictement décroissante sur ℝ et strictement croissante sur ℝ . +La fonction racine carrée est strictement croissante sur ℝ . La fonction cube est +strictement croissante surℝ . La fonction inverse est strictement décroissante sur ℝ et sur ℝ ...
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Maths TS-Cours-Fonctions (suite) : dérivation ; applications
Chapitre 3 : Fonctions (suite) ; dérivation ; applications A) Cours
Dans tout le chapitre, on utilise des intervalles non vides, non réduits à un singleton (un singleton est un ensemble n’ayant qu’un seul élément). I) Rappels sur les fonctions : 1) Sens de variation : a) Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. * f est croissante sur I signifie que : pour tous x , x ’ de I, si ≺ x ' , alors x ! f x ' ! . * f est décroissante sur I signifie que : pour tous x , x ’ de I, si ≺ x ' , alors x ³ f x ' . * f est constante sur I signifie que : pour tous x , x ’ de I, si ≺ x ' , alors x 1 f x ' . * f est strictement croissante sur I signifie que : pour tous x , x ’ de I, si ≺ x ' , alors x ≺ f x ' . * f est strictement décroissante sur I signifie que : pour tous x , x ’ de I, si ≺ x ' , alors x ≻ f x ' . f est monotone sur I signifie que f est croissante sur I ou f est décroissante sur * I ou f est constante sur I. * f est strictement monotone sur I signifie que f est strictement croissante sur I ou f est strictement décroissante sur I . b) Exemples : La fonction carrée est strictement décroissante sur ℝ et strictement croissante sur ℝ . La fonction racine carrée est strictement croissante sur ℝ . La fonction cube est strictement croissante sur ℝ . La fonction inverse est strictement décroissante sur ℝ et sur ℝ (et non sur ℝ !). c) Sens de variation et opérations (somme; produit): Propriétés : Soit I un intervalle. * La somme de deux fonctions strictement croissantes (strictement décroissantes) sur I est strictement croissante (strictement décroissante) sur I.
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* Le produit de deux fonctions strictement croissantes sur I et positives sur I est strictement croissante sur I. * Le produit de deux fonctions strictement décroissantes et positives sur I est strictement décroissante sur I : ( ) . * Si f est strictement croissante sur I, alors f est strictement décroissante sur I. * Si f est strictement décroissante sur I, alors f est strictement croissante sur I. Preuve de ( ) : Soient u et v deux fonctions strictement décroissantes et positives sur I. Soient x , x ’ de I tel que ≺ x ' , alors u x ≻ u x ' ³ 0 et v x ≻ v x ' ³ 0 ; donc u x v x ≻ u x ' v x ' , donc ( u ´ v ) x ≻ ( u ´ v ) x ' . Ainsi pour tous x , x ’ de I si ≺ x ' alors ( u ´ v ) x ≻ ( u ´ v ) x ' ; donc u v est strictement décroissante sur I. d) Exemple : Etudier le sens de variation de f définie sur ℝ par ( x ) 1 % 2 x % 3 x 2 Preuve : Soient u et v les fonctions définies sur ℝ par : u ( x ) 1 2 x et v ( x ) 1 3 x 2 . u et v sont deux fonctions strictement croissantes sur ℝ , donc u et v sont deux fonctions strictement décroissantes sur ℝ , donc % u # ( % v ) est strictement décroissante sur . ℝ e) Sens de variation et composé : Propriétés : Soient I et J deux intervalles tels que u ( I ) Ì J (pour tout I , u ( x ) J ). Si u est (strictement) croissante sur I et v est (strictement) croissante sur J ; alors v u est (strictement) croissante sur I. Si u est (strictement) croissante sur I et v est (strictement) décroissante sur J ; alors v u est (strictement) décroissante sur I : ( ) . Si u est (strictement) décroissante sur I et v est (strictement) croissante sur J ; alors v u est (strictement) décroissante sur I. Si u est (strictement) décroissante sur I et v est (strictement) décroissante sur J ; alors v u est (strictement) croissante sur I. Preuve de ( ) : Soient u une fonction strictement croissante sur I et v une fonction strictement décroissante sur J. Soient x , x ’ de I tel que ≺ x ' , alors u x ≺ u x ' (car u est strictement croissante sur I) de plus, u ( x ) J et u x ' J , donc v u x ≻ v u x ' (car v est strictement
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décroissante sur J) ; ainsi pour tous x, x’ de I si ≺ x ' alors v u x ≻ v u x ' ; donc v u est strictement décroissante sur I. 2) Extremum : a) Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle non vide I. * f a un maximum en a sur I signifie que pour tout x de I ( x ) f ( a ) . * f a un minimum en a sur I signifie que pour tout x de I ( x ) ³ f ( a ) . * f a un extremum en a sur I signifie que f a un maximum ou un minimum en a sur I. b) Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle non vide I. * f a un maximum local en a sur I signifie qu’il existe ≻ 0 tel que, pour tout x de I ∩ ] a ; a # a , ( x ) f ( a ) . * f a un minimum local en a sur I signifie qu’il existe ≻ 0 tel que,pour tout x de I ∩ ] a ; a # a , ( x ) ³ f ( a ) . * f a un extremum local en a sur I signifie que f a un maximum local ou un minimum local en a sur I c) Exemple : Soit la fonction définie sur ℝ par : f ( x ) % 3 x 2 # 6 x # 2 . Montrer que f a un extremum. Preuve : Pour tout réel x : f ( x ) % 3( x 2 % 2 x % 23) 1 % 3 ( x % 1) 2 % 1 % 23 1 % 3( x % 1) 2 # 5 . Or 3 ( x % 1 ! 2 σ 0 , donc 3 ( x % 1 ! 2 # 5 σ 5 ; de plus f (1)5 ; donc pour tout x de ℝ , ( x ) f (1) ; donc f a un maximum 5 atteint en 1 sur ℝ . II) Dérivation ; approximation affine : 1) a) Définition: Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant un réel a . f est dérivable en a signifie que, quand h tend vers 0, ( ahh ) % f ( a ) a une limite finie notée a ; on peut dire aussi que ' f est dérivable en a signifie que, quand x tend vers a , ( x ) f ( a ) a une limite % a finie notée ' a . ( ' a est appelé le nombre dérivé de f en a ).
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b) Exemple : Soit la fonction f définie sur ℝ par ( x ) % 5 x 2 # 4 x # 1 . Calculer : ( ) f ' 3 ; ( ) ' a ( a étant un réel). Preuve de ( ) : Pour tout réel non nul h : f ( 3 # h ! % f ( 3 !1 % 5 ( 3 # h ! 2 # 4 ( 3 # h !# 1 % [ % 32 ] h h % 5 9 # 6 h # h 2 # 4 ( 3 # h ! # 1 % % 32 ] 1 , donc h f ( 3 # h ! % f ( 3 ! % 45 % 30 h % 5 h 2 # 12 # 4 h # 1 # 32 1% 5 h 2 % 26 h 1 % 5 h % 26 ; h h h donc l h i | m 0 ( f (3 hh ) % f (3))l h i | m 0 ( % 5 h % 26) 1 % 26 ; donc f est dérivable en 3 et f ' 3 % 26 Preuve de ( ) : Pour tout réel non nul h : f ( a # h ! % f ( a !1 5 ( a # h ! 2 # 4 ( a # h !# 1 % % 5 a 2 # 4 a # 1 h h 1 5 a 2 # 2 ah # h 2 # 4 ( a # h ! # 1 % % 5 a 2 # 4 a # 1 h 5 a 2 % 10 ah % 5 h 2 # 4 a # 4 h # 1 % % 5 a 2 # 4 a # 1 1 h % 10 ah % h 5 h 2 # 4 h 1 h % 5 h % h 10 a # 4 1 % 5 h % 10 a # 4 , donc l h i | m 0 ( f ( ahh ) % f ( a ))l h i | m 0 ( % 5 h % 10 a # 4) 1 % 10 a # 4 , donc f est dérivable en a et f ' a % 10 a # 4 ; et cela pour tout réel a . Remarque : Pour a 3 , on retrouve : f ' 3 % 10 ´ 3 # 4 1 % 26 . 2) Interprétation graphique : a) Propriété et définition : Le plan étant muni d’un repère O ; i ; j ; Si f est dérivable en a, alors la courbe C f représentant f a une tangente T a au point A d’abscisse a : c’est la droite passant par A et de coefficient directeur ' a ! .
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m' M
n' N
A o a m Soit A le point de C f d’abscisse a ; M et N les points respectifs de C f et de T a de même abscisse a h ( h 0) ; alors la droite (AM) a pour coefficient directeur ( a h ) % f ( a ) t , quand h tend vers 0, le coefficient directeur de (AM h e ) tend vers le coefficient directeur ' a de T a . c) Remarque : Si li | m f ( ahh ) % f ( a ) #υ ( l h i | m f ( ahh ) % f ( a ) %υ ), alors la courbe h 0 0 C f représentant f a une demi-tangente T a parallèle à l’axe des ordonnées au point d’abscisse a . d) Exemple : Soit ( x ) 1 ( % 2 x # 1) x ( x ³ 0) . Etudions la dérivabilité de f en 0 : ( x ) f (0) ( % 2 x # 1) x % 2 x # 1 1 1 ; Pour tout x ≻ 0 , x 0 x 2 % l x i | m 0 ( 2 x # 1) 1 1 et li | m 0 # x 0 , donc (par quotient) x li | 0 m # f ( x ) % 0 f (0) #υ ; donc f x n’est pas dérivable en 0 et C f a une demi-tangente parallèle à l’axe des ordonnées en O. 3) Approximation affine : a) Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant un réel a . T a est la représentation graphique de la fonction : x ֏ g ( x ) f ( a ) # f ' a ! x % a ! . On dit que la fonction g est approximation affine de la fonction f au voisinage de a . b) Propriété : Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant un réel a . (1) f est dérivable en a équivaut à
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Maths TS-Cours-Fonctions (suite) : dérivation ; applications ( ) : il existe une fonction telle que, pour tout h tel que a h Î I , a h ! 1 f a ! # h f ' a ! # h h ! et li | m 0 ( h ) 0 . h Preuve : * (1) implique ( ) : On pose, pour tout h 0 tel que a h Î I : Α ( h ) 1 f ( a h ) % f ( a ) % f ' ( a ! h et (0) 0 . Si h 0 ,alors h ( h ) f ( a # h ) % f ( a ) % h f '( a ) , donc ( a h ) 1 f ( a ) # hf '( a ) # h ( h ) ; de plus f est dérivable en a, donc l h i | m 0 f ( ahh ) % f ( a ) 1 ' ( a ! , donc l h i | m 0 ( h ) l h i | m 0 f ( a # hh ) % f ( a ) f ' ( a ! 1 0 . * ( ) implique (1) : Supposons que, pour tout h tel que a h Î I , ( a h ) 1 f ( a ) # hf '( a ) # h ( h ) et que l h im 0 ( h ) 0 . | Dans ce cas, ( a h ) % f ( a ) 1 h f '( a ) # ( h ) ! et f a # h % f a pour h 0 , h % ' ( a ! 1 Α ( h ! ; de plus, l h i | m 0 ( h ) 0 , donc l h im 0 f ( a # hh ) % f ( a ) f ' ( a ! 1 0 | , donc l h i | m 0 f ( ahh ) % f ( a ) 1 '( a ) , donc ) f est dérivable en a . c) Remarques : * ( ) signifie que la fonction f a un développement limité d’ordre un en a. * ( ) équivaut à ( ) : il existe une fonction telle que, pour tout x tel que 1 x I , x ! f a ! # x % a ! f ' a ! # x % a ! x % a ! et lim ( x a ) 0 . x | a (On pose : h x % a ). ( ) équivaut à ( ') : il existe une fonction telle que, pour tout x tel que x I , g x # x % a x % a et lim ( x a ) 1 0 . x ! ! ! ! x | a ( en posant : ( x ) f ( a ) # f ' a ! x % a ! ). d) Ecriture différentielle (utilisée par les physiciens): * On peut noter : x 1 x % a 1 h et y 1 f ( x ) % f ( a ) 1 f ( a # h ) % f ( a ) ; dans ce cas, ( ) s’écrit : y 1 f '( a ) D x # D x ( D x ) , avec D l x i | m 0 ( x ) 1 0 . * On exprime symboliquement ce qui précède par : dy f '( a ) dx (c’est l’écriture différentielle).
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4) Interprétation cinématique : * Soit une fonction : t ֏ f ( t ) qui est la loi horaire d’un mouvement décrit sur un intervalle I par un point mobile M(t) , alors la vitesse moyenne de ce mobile entre t 0 et t 0 h ( h 0) est : ( t 0 hh ) % f ( t 0 ) . * Si de plus f est dérivable sur I alors la vitesse instantanée de ce mobile en t 0 t 0 I est ' t o ! . III) Dérivation sur un intervalle : 1) Définitions : * Soit un intervalle ouvert I ; f est dérivable sur I signifie que f est dérivable en tout point a de I. * Soient a un réel ou υ et b un réel . f est dérivable sur a ; b signifie que f est dérivable sur a ; b et à gauche de b ( x l ¾ i ¾ m | b ( x ) % bf ( b ) est un réel). ≺ x * Soient a un réel et b un réel ou υ . f est dérivable sur a ; b signifie que f est dérivable sur a ; b et à droite de a ( lim( x ) f ( a ) est un réel). x ¾ ≻ ¾| a x % a * Soient a et b deux réels. f est dérivable sur a ; b signifie que f est dérivable sur a ; b et à droite de a et à gauche de b . * Si f est dérivable sur I , alors la fonction dérivée de f sur I est la fonction définie sur I , à valeurs dans ℝ , qui à tout réel x associe ' x ! . 2 Dérivées des fonctions usuelles : f f ( x ) f ' ' x ℝ k ℝ 0 ℝ x ℝ 1 nx n 1 ℝ x n n ³ 2 ℝ ℝ 1 ℝ n x n n ³ 1 x n 1 1 ℝ x ℝ * 2 x ℝ sin( x ) ℝ cos( x ) ℝ cos( x ) ℝ sin( x ) ( ) tan( x ) ( ) 1 cos 2 ( x ) ( ) : D f ℝ \{2 # k ϑ ; k Î } ; cos1 2 ( ) 1 1 # tan 2 ( x ) ; x
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3) a) Propriété : Soit I un intervalle . Si f est dérivable sur I, alors f est continue sur I. Preuve : Soit f une fonction définie sur un intervalle I . Soit a un point de I. Par hypothèse f est dérivable en a . Pour tout x I \ a on pose : g ( x ) 1 ( x ) f ( a ) ; donc % a ( x ) f ( a ) 1 ( x % a ) g ( x ) , donc ( x ) f ( a ) # ( x % a ) g ( x ) ( ) ; or f est dérivable en a , donc l x i | m a ( x ) 1 l x im a f ( x ) af ( a ) 1 f ' ( a ! ; ainsi | % lim( ( a ) # ( x % a ) g ( x )) 1 f ( a ) # 0 ´ f ' a 1 f ( a ) ; donc, d’après ! , lim ( x ) 1 f ( a ) ; x | a x | a donc f est continue en a ; et cela pour tout a de I. Si f est dérivable sur un intervalle I, alors f est dérivable en tout point a de I ; donc f est continue en tout point a de I ; donc f est continue sur I. b) Remarque : La réciproque est fausse . * La fonction racine carrée est continue en 0 ( x li | 0 m # x 1 0 ) ; mais elle n’est pas dérivable en 0. En effet : En posant , pour tout x ³ 0 , ( x ) 1 x . Pour tout x ≻ 0 f ( x ) %% f (0) 1 x 1 1 ; donc l x im 0 f ( x )0 f (0) #υ ; donc f n’est , x 0 x | % pas dérivable en 0. * La fonction valeur absolue est continue en 0 lim ( x | 0 x 0 ) ; mais elle n’est pas dérivable en 0 (son nombre dérivé à gauche de 0 est différent de son nombre dérivé à droite de 0 : " 1 ¹ 1" ) 4) conséquences : Propriétés : * Toute fonction polynôme est continue sur ℝ . * Toute fonction rationnelle est continue sur tout intervalle de son ensemble de définition. * Les fonctions sinus et cosinus sont continues sur ℝ . * La fonction tangente est continue sur tout intervalle de son ensemble de définition. . 5) a) Propriétés : Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I, et k un réel, alors u v et uv sont dérivables sur I. Si, de plus, u ( x ) 0 sur I, alors 1 et u v v
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sont dérivables sur I. 1 v ' De plus : ( u v ) ' 1 u ' # v ' , ( ku ) ' ku ' , ( uv ) ' u ' v # uv ' , ( ) ' 1 2 v v ( u ) ' u ' v uv ' 1 2 . v v b) Exemples : * Ex1 : f ( x ) % 2 x 3 # 4 x 2 # 3 x % 1 # 5 ( x Î ℝ ) . f, somme d’une fonction polynôme et de la fonction qui à x associe 5 , dérivable sur ℝ , est dérivable sur ℝ . Pout tout x Î ℝ , f ' ( x ! % 6 x 2 # 8 x # 3 % 5 2 . * Ex2 : f ( x ) 1 1 ( x Î ℝ ) f , inverse d’une fonction dérivable et ne s’annulant sur ℝ , est dérivable sur ℝ . 1 % Pout tout x Î ℝ , f ' ( x ! 1 2 2 x 1 1 . x 2 x * Ex3 : ( x ) 1 x 2 ´ cos( x ) ( x ℝ ) f , produit de fonctions dérivables sur ℝ , est dérivable sur ℝ . Pout tout x ℝ , ' x 1 (2 x ) cos( x ) # x 2 ( % sin( x )) 1 2 x cos( x ) % x 2 sin( x ) . 2 * EX4 : f ( x ) 1 sin(()) D f ℝ \{2 # k ϑ ; k Î }. cos f , quotient de fonctions dérivables sur , le dénominateur ne s’annulant pas sur , est dérivable sur . out Î D , f ' x 1 (2 sin( ) cos( x ))ccos( x () x % )sin 2 ( x )( % sin( x )) . Pout t ( ! os 2 x f ' x 1 2 x # 2 x 1 x # )) ( ! sin()(2ccooss 2 (( x ))sin())sin()c(o1s 2 (c x o)s 2 ( 6) Dérivation et composé : a) Propriété : Soient u une fonction dérivable sur un intervalle I et v une fonction dérivable sur un intervalle , de sorte que u ( I ) Ì J (cela signifie que pour tout x de I , u ( x ) J ) ; alors v u est dérivable sur I et, pour tout x de I : ( v u ) '( x ) u '( x ) ´ v '( u ( x )) (en notation fonctionnelle : ( v u ) ' u ' ´ ( v ' u ) ). Première preuve : * Soient u une fonction dérivable sur un intervalle I et v une fonction dérivable
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