CH 5 Cours
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Û¥Û·¥·„˛˛-Û--Maths TS-Cours-Fonction Logarithme Népérien ; autres fonctions usuelles. Chapitre 5 : Fonction Logarithme Népérien ; autres fonctions usuelles. A) COURS I) Généralités : 1) Propriété et définition: * La fonction exponentielle réalise une bijection de ℝ sur 0;+ ; sa ] [fonction réciproque est une bijection de 0;+ surℝ . La fonction ] [logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. a* Pour tout a ℝ , pour tout b≻ 0 : e = b =a lnb. 2) Premières conséquences: * ln a existe si et seulement si a≻ 0. ln a existe si et seulement si a 0 . 0 1 * e = 1 ln =1 0 ; e = e ln e= 1 ( ) ( )a * Pour tout a de ℝ , lne = a (1) ln b Pour tout b≻ 0 , e = b (1’) 3) Propriétés algébriques: Pour tous a≻ 0 et b≻ 0 : * ln ab = ln a + lnb (2) ( )a 1 * ln = ln a lnb (3) ; ln = lnb (3’) b b n * Pour tous a≻ 0 et n ℤ , ln a = n ln a (4) ( ) Preuve : Soient a et b deux réels quelconques strictement positifs. AA = ln a a = e * On pose : donc BB = lnb b = e A B A+Bde plus, ab = e e = e , donc A + B = ln ab , donc ln ab = ln a + lnb . ( ) ( )a a a * ln + lnb = ln b = ln a , donc ln = ln a lnb . b b b www.ecolesurweb.fr Robert de Guerny 1 /14 ÛÛ˛˛˛-Û-·DMaths TS-Cours-Fonction Logarithme Népérien ; ...
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Maths TS-Cours-Fonction Logarithme Népérien ; autres fonctions usuelles.
Chapitre 5 : Fonction Logarithme Népérien ; autres fonctions usuelles. A) COURS I) Généralités : 1) Propriété et définition : * La fonction exponentielle réalise une bijection de ℝ sur 0; υ ; sa fonction réciproque est une bijection de 0; υ sur ℝ . La fonction logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. * Pour tout a ℝ , pour tout b ≻ 0 : e a b Û a 1 ln b . 2) Premières conséquences: a existe si et seulement si a ≻ 0 . * ln ln a existe si et seulement si a 0 . * e 0 1 Û ln 1 1 0 ; e 1 e Û ln e 1 1 * Pour tout a de ℝ , ln e a a (1) l Pour tout b ≻ 0 , e n b b (1’) 3) Propriétés algébriques: Pour tous a ≻ 0 et b ≻ 0 : * ln ab ! ln a # ln b (2) * ln ab 1 ln a % ln b (3) ; ln b 1 1 % ln b (3’) * Pour tous a ≻ 0 et n ℤ , ln a n 1 n ´ ln a (4) Preuve : Soient a et b deux réels quelconques strictement positifs. 1 ln a * On pose : B 1 b donc ab 11 ee A ln de plus, ab e A e B 1 e A B , donc B 1 ln ab ! , donc ln ab ! ln a # ln b . n * ln a # ln b 1 ln a ´ b 1 l a , donc ln ab 1 ln a % ln b . b b
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* ln 1 b 1 ln1 % ln b 1 % ln b Soient a ≻ 0 et n ℤ , a et n étant quelconques. * ln a , donc a e A , or a n 1 e A n 1 e n ; donc ln a n nA , donc ln a n 1 n ´ ln a . 4) Lien entre les courbes représentant les fonctions exponentielle et logarithme népérien . On munit le plan d’un repère orthonormal O ; i ; j . Soit C exp la courbe représentant la fonction exponentielle et C ln celle représentant la fonction logarithme népérien . La réflexion d’axe la droite d’équation y x transforme C exp en C ln . Preuve : Soit x ≻ 0 . On pose : ' s M ! . x ; y Î C Û y 1 exp x Û x 1 ln y Û M ' y ; x Î C . 5) LN et dérivation (début) ; première limite : On munit le plan d’un repère orthonormal O ; i ; j . * Soit A 0;1 ! le point de C exp d’abscisse 0 ; T 0 la tangente à C exp en A . s étant la réflexion précédente, ' s A ! . La réflexion transforme C exp en C ln et la droite T 0 en une droite passant par A’ ; or une réflexion conserve le contact, donc transforme T 0 , la tangente à C exp en A , en la tangente à C ln en A ' (notée T 1 ' ) .
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A o A'
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Le coefficient directeur de T 0 est exp' 0 ! 1 ; il est égal à celui de l’axe de la réflexion ; donc T 0 et sont parallèles ; donc la réflexion transforme T 0 en T 1 ' parallèle à T 0 ; donc T 1 ' a pour coefficient directeur 1 ; ainsi, Propriété : La fonction logarithme népérien est dérivable en 1 et ln' 1 ! 1 . * On pose : x ! ln x ( la fonction ln étant définie sur 0; υ ). f ' ( 1 ! 1 Û h li | m 0 f 1 # hh ! % f 1 ! 1 1 Û li h m | 0 ln 1 h # h ! 1 1. (C’est le coefficient directeur de la tangente à C ln au point d’abscisse 1). Propriété : lim ln 1 # x ! 1. x | 0 x * La fonction logarithme népérien est dérivable en 1, donc a une approximation affine en 1, donc il existe une fonction telle que , pour tout h tel que 1 h ≻ 0 , ln 1 h ! 1 ln1 # ln'1 h # h h ! avec h li | m 0 h ! 0 , donc, pour tout h tel que 1 h ≻ 0 , ln 1 h ! 1 h # h h ! avec h lim 0 h ! 0 . | * En fait, pour h assez proche de 0, ln 1 h ! ≃ ln1 # ln'1 h , donc ln 1 h ! ≃ h . II) Fonction logarithme népérien et dérivation : 1) Propriété : La fonction logarithme népérien est dérivable sur 0; υ et pour tout x ≻ 0 ln' ( x ! x 1. Preuve : * Rappel : la fonction logarithme népérien est dérivable en 1 et ln' 1 ! 1. * Soient a et h des réels quelconques tels que a ≻ 0 , a h ≻ 0 et h 0 . ln ( a # h ! % ln a 1 ln ahah 1 a ln 1 h # ha ; h a de plus, lim h 0 et lim ln 1 # x ! 1, donc (par composé) h | 0 a x | 0 x h limln 1 h # ah 1, donc h li | mln a # hh ! % ln aa ´ 1 1 a ; ainsi | 0 0 a
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La fonction ln est dérivable sur 0; υ et pour tout a ≻ 0 : ln' ( a ! a 1 ; donc , pour tout x ≻ 0 ln' ( x ! x 1 Remarque : Soient a un réel quelconque et le point de C exp d’abscisse a ; exp est dérivable en a ; soit T a la tangente à C exp en . On pose : b exp a et ' s M ! . La réflexion transforme C exp en C ln et la droite T a , droite passant par et de coefficient directeur exp' a ! 0 , en une droite passant par ' ; or une réflexion conserve le contact, donc transforme T a , la tangente non horizontale à C exp en , en la tangente non verticale à C ln en ' (on la . note T b '). Ainsi ln est dérivable en b . De plus, quand a décrit ℝ , b décrit 0; υ 2) Sens de variation : a) Pour tout x ≻ 0 ln' ( x ! 1 ; or, sur 0; υ , 1 ≻ 0 ; x x donc, pour tout x ≻ 0 ln' x ! ≻ 0 , donc la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur 0; υ . b) Pour tous a ≻ 0 et b ≻ 0 : ln a ≺ ln b a ≺ b . ln a ln b Û a 1 b III) Logarithme népérien et limites : ln 1 1) Rappel : lim # x ! 1 (1) x | 0 x 2) Propriétés lim ln x #υ (2) lim # ln x %υ (3) x |#υ x | 0 Preuve : * Il suffit de montrer que : Pour tout ≻ 0 , il existe B ≻ 0 tel que, pour tout x ≻ 0 , si x ≻ B alors ln x ≻ A . En posant B e A , si x ≻ e A alors ln x ≻ ln e A , donc ln x ≻ A . Ainsi lim ln x #υ . x |#υ * Pour tout x ≻ 0 ln x 1 % ln1 . x
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lim1 #υ et lim ln X #υ , donc ar c x | 0 # x X |#υ (p omposé) x li | m 0 # ln1 x #υ , donc li | m # ln x li | m # ( % ln1 x ) 1 %υ . x 0 x 0 3) Propriétés limln x 0 (4) lim ln x 0 n Î ℕ x |#υ x x |#υ x n (4’) Preuve : * Pour tout x ≻ 1 ln x 1 ln x 1 1 . xe ln x e ln x ln x X ln e x lim ln x #υ et lim #υ , lim x |#υ X |#υ X donc (par composé) x |#υ e ln x #υ , donc li | m #υ ln x li | m #υ l 1 n 1 0 . x x x e x ln x n x · si n=1 on a : lim l 0 . x |#υ x · Si n ³ 2 alors : n 1 ³ 1 Po ln x 1 1 ln x ur tout x ≻ 0 x n x n 1 x % x x , donc (par produit im l 0 . x li | m #υ x n 1 % 1 0 et x l | im #υ ln x 0 ) x l |#υ n x n 4) Propriétés x x 0 li | m 0 # ( ln ) (5) x li | m 0 # ( x n ln x ) 0 n Î ℕ (5’) x Preuve : ln1 1 % 1 % * Pour tout x ≻ 0 x ln x x ln1 x 1 x x 1 lim X 0 , donc m ln x 0 x li | m 0 # 1 x #υ et X |#υ ln X x li | 0 # 1, donc x
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ln1 x li | m # ( x ln x ) l x i | m # % 1 x 1 0 . 0 0 x · * si n=1 on a lim ( x ln x ) 0 . x | 0 # · Si n ³ 2 alors n 1 ³ 1 n % Pour tout x ≻ 0 x n ln x 1 x 1 x ln x ! . lim x n % 1 0 et x li | m # ( x ln x ) 0 , donc (par produit ) lim 0 # ( x n ln x ) 0 . x | 0 0 x | IV) Fonction logarithme népérien ; tracé de la courbe représentative de la fonction LN : Soit f la fonction logarithme népérien définie sur 0; υ par : x ! ln x ! . 1) Etude de la fonction : a) D f 0; #υ b) lim ln x #υ lim ln x %υ # x |#υ x | 0 c) La fonction logarithme népérien est dérivable sur 0; υ et p ' x . our tout x ≻ 0 ln ( ! x 1 donc, pour tout x ≻ 0 ln' x ! ≻ 0 , donc la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur 0; υ . d) Tableau de variation de f : 0 + sgn ln' + υ var ln υ La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur 0; υ , donc : Pour tous x ≻ 0 : 0 ≺ x ≺ 1 ln x ≺ 0 x ≻ 1 ln x ≻ 0 . 2) Tracé de la courbe représentative de la fonction LN : Le plan est muni d’un repère orthonormal 0; i ; j
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Equation de T 1 : Equation de T e : f 1 0 y 1 f ' 1 x % 1 # f 1 1 % # f ' ( 1 ! 1 y 1 1 ( x % 1 ! # 0 Û y 1 x % 1 ff ' ( ee ! 1 e 1 y Û yf 1 ' e 1 e ( xx % ee ! # 1 f Û ey 1 e 1 x e ≃ 2,18 f e 1 ; f 1 0 ; 1 ≃ 0, 37 f 1 % 1 . e e V) Fonctions : ln u ; ln u et dérivation : 1) Propriété : Soient u une fonction dérivable sur un intervalle I et u ≻ 0 sur I. . On pose : x ! 1 ln u x ! Dans ce cas est dérivable sur I et pour tout x de I, f ' ( x ! 1 uu ' ( xx !! . Preuve : * u et ln sont des fonctions dérivables respectivement sur I et sur 0; υ ; u ≻ 0 sur I, donc ln u est dérivable sur I. *Pour tout X ≻ 0 , ln' X 1 X Pour tout x de I, ' x ! 1 ln u ! ' x ! 1 u ' x ! ´ ln' u x ! ; u ' x ''1 donc, pour tout x de I, f ( x ! 1 u ( x ! ´ u ( x ! 1 u ( x !! . 2) Exemple : f x ! ln % 2 x # 3 ! I 3 1 %υ ;2 .
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On pose, pour tout x de I : u x ! % 2 x # 3 . u est une fonction dérivable sur l’intervalle I et u ≻ 0 sur I. Pour tout x de I : f ' ( x ! 1 u ' ( x !! 1 2 % 23 1 223. u x x # x % 3) Propriété : Soient u une fonction dérivable sur un intervalle I et u ayant un signe constant sur I. On pose : x ! 1 ln u x ! . Dans ce cas est dérivable sur I et pour tout x de I : g ' ( x ! 1 uu ' ( xx !! . Preuve : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I · Si u ≻ 0 sur I, c’est le cas précédent. · Si u ≺ 0 sur I, on pose , pour tout x I : v x ! % x . v est une fonction dérivable sur I et v ≻ 0 sur I. t x de I, g ' ( x ! 1 vv ' ( xx !! 1%% uu ' xx ! 1 uu ' xx ! . Pour tou ( ! ( ! 4) Exemple : g ( x ! ln x 2 % 3 x # 2 D g 1 ℝ \ 1; 2 . On pose, pour tout x de ℝ \ 1; 2 : u x ! x 2 % 3 x # 2 . u, restriction à ℝ \ 1; 2 d’une fonction polynôme, est une fonction dérivable sur ; de plus, u ≻ 0 sur υ ;1 È 2; #υ et u ≺ 0 sur 1; 2 , donc est dérivable sur . u % 1 1 . Pour tout x de : g ' ( x ! ' ( x !! 2 2 x 3 u x x 3 x # 2 VI) Fonction logarithme décimal 1) Définition : La fonction logarithme décimal, notée log , est la fonction définie sur 0; υ par : log ( x ! 1 llnn1 x 0 ! . Ainsi log ( 10 ! lnln1100 ! 1 1 . 2) Propriétés algébriques: Pour tous a ≻ 0 et b ≻ 0 , log ab ! log a # log b (1) www.ecolesurweb.fr Robert de Guerny
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1 % log ab log a log b (2) ; log 1 b 1 % log b (2’) Pour tous a ≻ 0 et n ℤ , log a n 1 n ´ log a (3) Pour tout n ℤ , log 10 n n ´ log10 1 n ´ 1 1 n (3’) Remarque : La propriété (3’) est un des intérêts du logarithme décimal. Preuve de (1) : Pour tous a ≻ 0 et b ≻ 0 , log ( ab ! 1 lnln1 a 0 b ! 1 lnl a n # 1l0n b 1 llnn1 a 0 # llnn1 b 0 1 log a # log b . 3) Logarithme décimal et dérivation : * La fonction logarithme décimal est dérivable sur 0; υ et ≻ pour tout x 0 log' ( x ! ln110 ´ x 1. * Pour tout x ≻ 0 1 x ≻ 0 et ln10 ≻ 0 , donc pour tout x ≻ 0 log' x ! ≻ 0 , donc la fonction logarithme décimal est strictement croissante sur 0; υ . * Pour tous x ≻ 0 et y ≻ 0 : log x log y Û x 1 y log x ≺ log y x ≺ y . 4) Tracé de C log : VII) Notation a b : 1) Définition et propriété :
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Pour tous a ≻ 0 et n ℤ : a n 1 e ln a n 1 e n ln . Par extension : Pour tous a ≻ 0 et b ℝ : a b e b ln a . 2) Propriétés : Pour tous réels a , b , c tels que a ≻ 0 , b ≻ 0 et c ≻ 0 : a c b c 1 ( ab ! c ; ab c 1 ab cc ; a b a c a b c ; aa cb 1 a b % c 1 a c 1 b ; a b c 1 a bc . Preuve de a c b c 1 ( ab ! c : Pour tous réels a et b tels que a ≻ 0 et b ≻ 0 : a c b c 1 e c ln a e c ln b 1 e c ln a # ln b 1 e l c n ab 1 ( ab ! c . VIII) Fonction exponentielle de base a a ≻ 0 ! : 1) a étant un réel strictement positif fixé; on considère la fonction f a : ℝ | ℝ x ֏ f a x ! 1 a x 1 e x ln a C’est la fonction exponentielle de base a . x a 2) a est dérivable sur ℝ et, pour tout x de ℝ , a ' x ! ln a ´ e ln 1 ln a ´ a . 3) Cas où a 1 : pour tout x de ℝ , 1 x e x ln1 1 e 0 1 1. 4) Cas où 0 ≺ a ≺ 1 ; donc ln a ≺ 0 . * lim x ln a ! %υ et X lim %υ e X 0 , donc ( par composé) lim a x 0 . x |#υ | x |#υ * lim x ln a ! #υ et X lim e X #υ , donc ( par composé) lim a x #υ . x |%υ |#υ x |%υ * a x ≻ 0 et ln a ≺ 0 , donc, pour tout x de ℝ , f a ' x ! ≺ 0 , donc a est strictement décroissante sur ℝ . 5) Cas où a ≻ 1 ; donc ln a ≻ 0 . * lim x ln a #υ et lim e X #υ , donc ( par composé) lim a x #υ . x |#υ ! X |#υ x |#υ x ln a %υ et lim e X 0 , donc ( par composé) lim a x 0 . * x l | im %υ ! X |%υ x |%υ
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