calcul littéral 3ème
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fichier comportant le calcul des fractions; développer et réduire; calcul des puissance et bien d'autres choses
Voir
CHAPITRE I : CALCUL LITTERAL
La fraction
Définition :
Pour présenter le quotient de 3 par 2, on utilise la fraction
(lire
trois demi ou trois sur deux).
Plus généralement, une fraction est une écriture d'un nombre
sous la forme
min
numérateur
a
Déno
ateur
b
ou
a
/
b,
où
a
est un entier
naturel et
b
, un entier naturel non nul.
Théorèmes :
1)
Simplifier une fraction, c’est diviser le numérateur et le
dénominateur par un même nombre qui est leurs diviseurs
communs.
2)
Une fraction est irréductible si elle n’est plus simplifiable.
c’est-à-dire que le numérateur et le dénominateur n’ont pas
un diviseur commun
3)
Quand deux fractions ont même dénominateur lors
d’addition et de la soustraction on conserve le même
dénominateur et on applique les opérations sur les
numérateurs
4)
Soient a,b,c et d différents de 0, dans une proportion
le produit des extrêmes est égal au produit des moyens
a
c
a d
b c
b
d
5)
Si on multiplie le numérateur et le dénominateur d’une
fraction par un même nombre,
la fraction reste la même.
6)
Pour diviser deux fraction, on multiplie la première
fraction par la
l’inverse de la deuxième
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Opérations sur les quotients :
a
c
a
d
b
c
b
d
b
d
a
c
a
d
b
c
b
d
b
d
a
c
a
c
b
d
b
d
:
a
a c
a
d
a d
b
c
b d
b
c
b c
d
Exemples :
1 5 :3
5
9 : 3
3
Ici ce résultat est irréductible.
3
5
3
5
8
4
4
2
2
2
2
1
3
5
3 4
2 5
12 10
22
11
en simplifiant par 2
2
4
2 4
8
8
4
3
5
3 4
2 5
12 10
2
1
en simplifiant par 2
2
4
2 4
8
8
4
3
5
3
5
1 5
2
4
2
4
8
3 5
3
4
3 4
12
6
:
en simplifiant par 2
2 4
2
5
2 5
10
5
Ici on demande de déterminer a tel que
2
a
3
5
2
a
10
2 5 3 a
10 3a
a
3
5
3
Remarque :
On ne peut pas faire une division si on peut pas faire une
multiplication deux fractions.
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Puissance à exposant entier relatif.
Soit a un entier relatif différent de 0, n un entier naturel, on a :
0
n
n
-n
n
n fois
1
a
1
0 =0 pour n
1
a = a
a ... a
a =
a
Opérations sur les puissances :
n
m
n + m
a
a
= a
n
n
- m
n - m
m
a
a
a
a
a
m
n
n
m
a
= a
m
m
m
a . b
= a
. b
Exemples :
3
4
3+4
7
a
a =a
a
3
4
4 3
12
2
2
2
3
3
3
2(-5)
-2 5
3
3
- 4
3- 4
-1
4
a
a
a
a
= a
a
Car
4
a
traverse la barre de fraction en changeant l’exposant (4)
en son opposé (-4).
4
3
7
4
2
7
3
2
4
2
4
3
4
3
7
3
8
1 1
3
2
8
8
1
1 1
1
2
9
1 2
9
1 2
9
1 2
a
b
c
a
c
a
c
a
b
c
b
b
2 .3 .7
.2 1
2
.3 .7 .3
2 .3
. 7
2 .3 . 7
3 .7
3 .7
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9
12
9
12
2.3 .7
2 en simplifiant
les termes de même puissance
3 .7
Développer et réduire.
Définitions:
Développer une expression, c’est effectué les
multiplications nécessaires en utilisant les propriétés et
les identités remarquables suivantes.
Au sens pratique, développé c’est faire disparaître les
parenthèses en utilisant les propriétés et les identités
remarquables
Propriétés :
Soient a, b, k, c, d des nombres,
k(a
b)
ka
kb
k(a b)
ka
kb
(a
b)k
ka
kb
a+(c+d)=a+c+d
a-(c-d)=a-c+d
a-(c+d)=a-c-d
(a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=a.c+a.d+b.c+b.d
Remarques.
En mathématique, les parenthèses représentent la
multiplication.
On a
2 x
2x
et
x 3
3x
et
non x3
Multiplication des signes
Identités remarquables :
+
- La multiplication de deux signes identiques
est +
alors que La multiplication de deux
signes contraires est -
+ +
-
- -
+
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2
2
2
2
2
2
2
2
(a
b )
(a )
2(a )(b )
a
(a
b )
a
2(a )(b )
b
(a
b )(a
b )
a
b
Exemples
2
2
2
2
2
2
2
2
( 2 x
3)
(2 x )
2 (2 x )(3)
3 = 4 x + 1 2 x + 9
( x
2 )
x
2 ( x )( 2 )
2
x
4 x
4
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