Automatique, cours AO202
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Commandabilité Cas linéaire stationnaire Forme normale Planification de trajectoiresAutomatiqueDynamique et Contrôle des SystèmesNICOLAS PETITCentre Automatique et SystèmesUnité Mathématiques etMINES ParisTechnicolas.petit@mines-paristech.fr22 octobre 2010Amphi 5Commandabilité Cas linéaire stationnaire Forme normale Planification de trajectoiresPlan de l’amphi 51 Commandabilité2 Cas linéaire stationnaire3 Forme normale4 Planification de trajectoires6Commandabilité Cas linéaire stationnaire Forme normale Planification de trajectoiresDiverses équationsdx(t) = f(x(t))+u(t); x(t)2R; u(t)2Rdtdx(t) = f(x(t))+u(t)g(x(t);t);x(t)2R;u(t)2R;g(x(t);t) = 0dtSystème mécanique générald_ _L(q; q) = T(q ;:::;q ;q ;:::;q ) V(q ;:::;q )1 n 1 n 1 ndtT: énergie cinétique, V: énergie potentielle d @L d @L d(q; q) (q; q) = ui_dt @q dt @q dti iq: coord. généralisées, u: forces généralisées2d d dM(q) q+C(q; q) q+g(q) = u2dt dt dt6Commandabilité Cas linéaire stationnaire Forme normale Planification de trajectoiresDiverses équationsdx(t) = f(x(t))+u(t); x(t)2R; u(t)2Rdtdx(t) = f(x(t))+u(t)g(x(t);t);x(t)2R;u(t)2R;g(x(t);t) = 0dtSystème mécanique générald_ _L(q; q) = T(q ;:::;q ;q ;:::;q ) V(q ;:::;q )1 n 1 n 1 ndtT: énergie cinétique, V: énergie potentielle d @L d @L d(q; q) (q; q) = ui_dt @q dt @q dti iq: coord. généralisées, u: forces généralisées2d d dM(q) q+C(q; q) q+g(q) = u2dt dt dt6Commandabilité Cas linéaire stationnaire Forme normale ...
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NICOLASPETIT
22 octobre 2010 Amphi 5
Automatique Dynamique et Contrôle des Systèmes
Centre Automatique et Systèmes Unité Mathématiques et Systèmes MINES ParisTech nicolas.petit@mines-paristech.fr
3
Forme normale
2
Cas linéaire stationnaire
1
Commandabilité
Planification de trajectoires
4
Plan de l’amphi 5
ddtx(t) =f(x(t)) +u(t)g(x(t),t),x(t)∈R,u(t)∈R,g(x(t),t)6=0
Diverses équations ddtx(t) =f(x(t)) +u(t),x(t)∈R,u(t)∈R
=u)q(g+qtdd)qtdd,q
ddtx(t) =f(x(t)) +u(t)g(x(t),t),x(t)∈R,u(t)∈R,g(x(t),t)6=0
Diverses équations ddtx(t) =f(x(t)) +u(t),x(t)∈R,u(t)∈R
q(=)
Diverses équations ddtx(t) =f(x(t)) +u(t),x(t)∈R,u(t)∈R
ddtx(t) =f(x(t)) +u(t)g(x(t),t),x(t)∈R,u(t)∈R,g(x(t),t)6=0
q+g(q)=uddqtd)td2t+q(C,qénituq,e:Vnéreig.,qn)T:énergieci˙∂L∂q(iqtdd,−)qoteptienleeltddro.d:qocarilégéni(q,∂L∂q)=uiddtqeésilaréd2d)q(Ms:f,uesséénsgceorseriajtrtoecticadeonnafiiellProammrnereFonnaiatiorestiaénilsaCétilibandmaomC...,˙qn)−V(q1,..(T1q.,..q,,nq˙,1érénL(alddq,)=tqètsyémeminacgeuqS
M(q d2q+C(q,qtdd)tdqd+g(q) =u )dt2 Systèmecomplètement actionné: une commande par degré de liberté.Les manœuvres sont faciles Exemple: changement de configuration d’un satellite
mmoCCatéinsldaanlibiitnoanriaériseatrmalePlaeFormenoejartednoitacfiinsreoict
d2x1) + m1dt2x1=k(x2−u d2 m2dt2x2=k(x1−x2)
Systèmes non complètement actionnés
Transfert d’une position d’arrêt à une autre:1 seule commande, peut-on commander?
caifianPltrdeontiriotcejase
Définition:commandabilité Le systèmeddtx=f(x,u)(x∈Rn,u∈Rm) est dit commandable en tempsT>0si et seulement sipour tout p,q∈Rn,il existeune loi horaire[0,T]3t7→u(t)∈Rm, dite commande en boucle ouverte, qui amène le système de l’état x(0) =pà l’étatx(T) =q
Le système est ditsimplement commandablelorsqu’il est commandable pour au moins un tempsT>0
Notion générale de commandabilité
Définition:commandabilité Le systèmeddtx=f(x,u)(x∈Rn,u∈Rm) est dit commandable en tempsT>0si et seulement sipour tout p,q∈Rn,il existeune loi horaire[0,T]3t7→u(t)∈Rm, dite commande en boucle ouverte, qui amène le système de l’état x(0) =pà l’étatx(T) =q
Le système est ditsimplement commandablelorsqu’il est commandable pour au moins un tempsT>0
Notion générale de commandabilité
raetctjereoisPelainaltacfidnoionnaireFormenormaClsniaériseatitanmmCotélibida
d2d2 dt2x1=u−x1,dt2x2=u−x2,dtd22ξ=−ξ
Obstructions à la commandabilité
dd=u2≥0 dtx1=x2,dtx2
Deux types d’obstruction à la commandabilité le système comporte unsous-système indépendant du contrôleu. Exempleξ=x1−x2pour le système
Ladérivéede certaines variables est designe constant (cas non linéaire). Exemple
enid:enoNtoreeu’hàlasepossptcaracedelleutcanentermeérisationortlôbanfidilecailescoesitilêmémfedstnossopmetna
2d2d2 ddt2x1=u−x1,dt2x2=u−x2,dt2ξ=−ξ
Deux types d’obstruction à la commandabilité le système comporte unsous-système indépendant du contrôleu. Exempleξ=x1−x2pour le système
Ladérivéede certaines variables est designe constant (cas non linéaire). Exemple
Obstructions à la commandabilité
dx1=x2,xtdd2=u2≥0 dt
.uspontinciaômynoltnseedsfnodtseofmêmesilescomposaocalôrtnibalétilontiteenefirmdeniacfiinoitelamnalPirtoestrdeecajiaertstaCésailénFormenorionnairednbalitiCmoam
