Automatique, cours AO202

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Systèmes dynamiques Propriétés des solutions Stabilité Étude locale par le linéarisé tangentAutomatiqueDynamique et Contrôle des SystèmesNICOLAS PETITCentre Automatique et SystèmesUnité Mathématiques etMINES ParisTechnicolas.petit@mines-paristech.fr1er octobre 2010Amphi 2Systèmes dynamiques Propriétés des solutions Stabilité Étude locale par le linéarisé tangentPlan de l’amphi 21 Systèmes dynamiques2 Propriétés des solutions3 Stabilité4 Étude locale par le linéarisé tangentSystèmes dynamiques Propriétés des solutions Stabilité Étude locale par le linéarisé tangentÉquations différentielles du premier ordredx = v (x ;:::;x ;u ;:::;u ;t)n m1 1 1 1dtdx = v (x ;:::;x ;u ;:::;u ;t)n m2 2 1 1dt...dx = v (x ;:::;x ;u ;:::;u ;t)n n 1 n 1 mdtT Tforme d’état, x = (x ;:::;x ) : état, u = (u ;:::;u ) : entrée1 n 1 mdx = v(x;u;t)dtTy = (y ;:::;y ) sortie1 qy = h(x;u;t)Systèmes dynamiques Propriétés des solutions Stabilité Étude locale par le linéarisé tangentAvec feedbacku = k(t;x); ou u = k(t;y)Système libre (instationnaire ou stationnaire)d dx = v(x;t); x = v(x)dt dtSystème linéaired u = K (t)xx = A(t)x +B(t)udt dx = (A(t) +B(t)K (t))xy = C(t)x +D(t)u dtSystèmes dynamiques Propriétés des solutions Stabilité Étude locale par le linéarisé tangentExistence et unicité des solutionsProblème de Cauchyd 0x(t) = v(x(t);t); x(0) = xdtPropriétés importantes1 existence2 unicité03 dépendance continue par rapport à xSystèmes dynamiques ...

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SystèmesdynamiqeuPsorrpéiétdsselusoontitasSlibitÉétledulacorapenéarleliangeiséttn

Centre Automatique et Systèmes Unité Mathématiques et Systèmes MINES ParisTech nicolas.petit@mines-paristech.fr

NICOLASPETIT

Automatique Dynamique et Contrôle des Systèmes

1er octobre 2010 Amphi 2

SsyètemdsnymaitulosseibatSsnorosPueiqsdtéiéprilénraelténarasiÉtudlitéalepeloctneg

Systèmes dynamiques

Stabilité

Étude locale par le linéarisé tangent

Propriétés des solutions

Plan de l’amphi 2

esquminaétriopPrlossedsétSsnoituySseydtsmèngtatenabilitéÉtudelocaelaplrleniaéirés

Équations différentielles du premier ordre

ddtx1=v1(x1, ...,xn,u1, ...,um,t) d2=v2(x1, ...,um,t) x dt1, ...,xn,u

ddtxn=vn(x1, ...,xn,u1, ...,um,t) forme d’état,x= (x1, ...,xn)T:état,u= (u1, ...,um)T:entrée d d x=v(x,u,t) t

y=h(x,u,t)

y= (y1, ...,yq)Tsortie

SsysdyntèmeuesPamiqétéirporulossedstasSontiÉttélibiegnatnraéntésiareplileeludaloc

ddtx=A(t)x+B(t)u y=C(t)x+D(t)u

u=K(t)x ddtx= (A(t) +B(t)K(t))x

Avec feedback

u=k(t,x),ouu=k(t,y)

ddtx=v(x,t),

ddtx=v(x)

Système libre (instationnaire ou stationnaire)

Système linéaire

uqimrPseirposétéssdeutolnsioabStSystèmesdynatngenatésiraénilelraplecalodetuéÉitil

Existence et unicité des solutions

Problème de Cauchy

ddtx(t) =v(x(t),t),

x(0) =x0

Propriétés importantes 1existence 2unicité 3dépendance continue par rapport àx0

SorPséirpdsétossetèyssdmeamynueiqlecotÉduraellapeonsSlutilitétabiisarnélintgeanét

Existence et unicitéThéorème de Cauchy-Lipschitz Soitv(x,t)continue etLipschitzenxdans la région R={|x−x0| ≤b,|t| ≤a}. SoitMla borne supérieuredekvk surR. Il existe une unique solutionx(t)au problème de Cauchy déﬁnie sur l’intervalle|t| ≤min(a,Mb)

Fonction Lipschitz Une fonction scalaire(x,t)∈Rn×R→v(x,t)∈Rest Lipschitzenxavec la constantek>0 si

Existence et unicité

pour tout(x1,x2,t)

kv(x1,t)−v(x2,t)k ≤kkx1−x2k

kv(x,t)k ≤M0(t) +M1(t)kxk

Existence pour tout temps n Si pour toutx∈R,

avecM0>0,M1>0 localement intégrables alors la solution (unique) au problème de Cauchy est déﬁnie pourt∈]− ∞,+∞[

Propriétés avancées

netatgnirésedutÉétilibatSsnéainelrlpalecaloesdynamiquesPropirtéséedsslotuoiySmèts

stSynadyesèm

Dépendance en la condition initiale

Propriétés avancées (suite)

Si∂vcontinues par rapport àxett, alors la solution du ∂xi problème de Cauchy est continûment différentiable par rapport àx0

tenngriopésétqumiPressnoibatSssedtulodelocaleilitéÉtuaéirésataplrleni

negnatnarnéétisarepliledulecolaibiléttÉtionsStasdessoluétéirporPseuqimaynsdmetèysS

Stabilité

Stabilité asymptotique L’équilibrex¯∈Rnestasymptotiquement stables’il est stable et si, de plus,∃η >0 tel que

lorsquet−→+∞

Stabilité L’équilibrex¯∈Reststablesi et seulement si∀ >0,∃η >0 tel∀x0,kx0−x¯k ≤η, la solution dedtdx=v(x,t)issue dex0à t=0 vériﬁe kx(t)−x¯k ≤,∀t≥0

x¯est point d’équilibredex˙=v(x,t), siv(x¯,t) =0 (pour toutt)

kx0−x¯k ≤η,impliquex(t)−→x¯

SystèmesparlcaleéarielinlititSbaedolÉéutssdeésétnsioutoluqimanydirporPsettaséenng

¯ xstable

Pendule amorti ou non amorti ddt22x+kddxt+gRsinx=0

x¯asympt. stable

Exemple

tniopsec

d dtx1=−a1x1−x2x1+a2 ddtx2=−x2+x12

Exemple de plan de phases

Portrait de phases d’un système non linéaire

stèmeSysqimanydsrporPseuessdtéiéontilusoSsatibiléttÉduleocaleparlelinéartésiegnatntiplicitMulst’dqéiudéseopniormpmetebrlicoe,otuaedruidtnsrev

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