af-cours
83
pages
Français
Documents
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres
83
pages
Français
Documents
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres
Chapitre 1ESPACES DE HILBERTDans tout ce qui suit F est un espace vectorielsur le corpsK des nombres rØels ou complexes.Versiondu26juin2004Claude Portenier ANALYSE FONCTIONNELLE 11.1 Formes sesquilinØaires et produits scalaires1.1 Formes sesquilinØaires et produits scalairesDEFINITION 1 SoientF,G,H des espaces vectoriels. Une applicationT :F G est ditelinØaire , respectivement semi-linØaire,sipourtoutα∈K et ϕ,ψ∈F ,onaT (α•ϕ)=α•Tϕ , respectivement T (α•ϕ)=α•TϕetT (ϕ+ψ)=Tϕ+Tψ .On dit quune une application s :F×G H est bilinØaire si elle est sØparØment linØaire,et sesquilinØaire ( gauche , respectivement droite sil’ faut prØciser) si elle est semi-linØaireen la premiŁre variable, respectivement en la seconde, et linØaire en lautre.Une application bilinØaire ou sesquilinØaire (à gauche) à valeur dans K est dite une formebilinØaire ou sesquilinØaire.Soits :F ×F K une forme sesquilinØaire. On dit quelle est(a) hermitienne sis(ϕ,ψ)=s(ψ,ϕ) pour tout ϕ,ψ∈F ,(b) positive sis(ϕ,ϕ)> 0 pour tout ϕ∈ Fet(c) non-dØgØnØrØe sis(ϕ,ψ)=0 pour tout ψ∈F =⇒ ϕ=0ets(ϕ,ψ)=0 pour tout ϕ∈F =⇒ ψ=0.Une forme hermitienne positive non-dØgØnØrØe sappelle un produit scalaire .On a tout d abord laPROPOSITION (InØgalitØ de Cauchy-Schwarz) Si s est une forme hermitienne posi-tive sur F ,alors2|s(ϕ,ψ)| 6s(ϕ,ϕ)•s(ψ,ψ) pour tout ϕ,ψ∈F .Pour tout ϕ,ψ∈ F et α∈K,ona206s(ϕ+α•ψ,ϕ+α•ψ)=s(ϕ,ϕ)+α•s(ϕ,ψ)+α•s(ψ,ϕ)+|α| •s(ψ,ψ) .2 ESPACES DE HILBERT Claude Portenier’’ −→’à−→ ...
Voir
Publié par
Langue
Français
Claude Portenier
Chapitre 1
ESPACESDEHILBERT
Dans tout ce qui suitFest un espace vectoriel sur le corpsKdes nombres réels ou complexes.
ANALYSE FONCTIONNELLE
Version du 26 juin 2004
1
1.1
Formes sesquilinéaires et produits scalaires
1.1 Formes sesquilinéaires et produits scalaires
DEFINITION 1SoientF, G, Hdes espaces vectoriels. Une applicationT:F−→Gest dite linéaire, respectivementsemi-linéaire, si pour toutα∈Ketϕ,ψ∈F, on a T(α·ϕ) =α·Tϕ, respectivementT(α·ϕ) =α·Tϕ et T(ϕ+ψ) =Tϕ+Tψ. On dit quune une applications:F×G−→Hestbilinéairesi elle est séparément linéaire, etsesquilinéaire ( à gauche, respectivementà droitesil faut préciser) si elle est semi-linéaire en la première variable, respectivement en la seconde, et linéaire en lautre. Une application bilinéaire ou sesquilinéaire (à gauche) à valeur dansKest dite uneforme bilinéaire ou sesquilinéaire. Soits:F×F−→Kforme sesquilinéaire. On dit quelle estune (a)hermitiennesi s(ϕ,ψ) =s(ψ,ϕ)pour toutϕ,ψ∈F, (b)positivesi s(ϕ,ϕ)>0pour toutϕ∈F et (c)éeénérd-génnosi et s(ϕ,ψ) = 0pour toutϕ∈F=⇒ψ= 0. Une forme hermitienne positive non-dégénérée sappelle unproduit scalaire. On a tout dabord la
s(ϕ,ψ) = 0pour toutψ∈F=⇒ϕ= 0
PROPOSITION (Inégalité de Cauchy-Schwarz)Sisest une forme hermitienne posi-tive surF, alors |s(ϕ,ψ)|26s(ϕ,ϕ)·s(ψ,ψ)pour toutϕ,ψ∈F. Pour toutϕ,ψ∈Fetα∈K, on a 06s(ϕ+α·ψ,ϕ+α·ψ) =s(ϕ,ϕ) +α·s(ϕ,ψ) +α·s(ψ,ϕ) +|α|2·s(ψ,ψ).
2
ESPACES DE HILBERT Claude Portenier
Formes sesquilinéaires et produits scalaires 1.1 Sis(ϕ,ϕ) =s(ψ,ψ) = 0, alors en prenantα:=−s(ϕ,ψ), on obtient−2· |s(ϕ,ψ)|2>0, doncs(ϕ,ψ) = 0. En échangeant au besoinϕetψ, nous pouvons supposer ques(ψ,ψ)6= 0. On prend alors s(ϕ,ψ) α:=− s(ψ,ψ) et il vient 06s(ϕ,ϕ)−|ss((ψϕ,,ψψ))|2−s(ϕ,sψ()ψ·,sψ()ψ,ϕ)+|s(ϕ,ψ)|2)−|s(ϕ,ψ))|2, s(ψ,ψ=)s(ϕ,ϕs(ψ,ψ doù linégalité.¤ e DEFINITION 2Une fonctionnellep:F−→Rest dite (a)positivement homogènesi p(α·ϕ) =α·p(ϕ)pour toutα∈R+etϕ∈F, (b)absolument homogènesi p(α·ϕ) =|α| ·p(ϕ)pour toutα∈Ketϕ∈F, et (c)sous-additivesi p(ϕ+ψ)6p(ϕ) +p(ψ)pour toutϕ,ψ∈F. On dit quepest unesemi -normesipest à valeur dansR+, absolument homogène et sous-additive ; on dit que cest unenormesi en plus elle est (d)séparante p(ϕ) = 0⇐⇒ϕ= 0pour toutϕ∈F. Dans ce cas on dit queFest un espacesemi-normé, respectivementnormé. Pour les propriétés élémentaires des espaces normés le lecteur est prié de consulter le cours dAnalyse [17], § 10.1 à 10.7. La continuité dune application linéaire entre espaces normés est caractérisée dans le paragraphe 11.8 du même cours. Nous généraliserons ces notions plus tard (cf. 2.1 - 2.2 et 3.1 - 3.2).
PROPOSITION (Inégalité de Minkowsky)Sisest une forme hermitienne positive sur F, alors 1 ϕ7−→s(ϕ,ϕ)2:F−→R+ est une semi-norme surF. Il nous suffit de prouver la sous-additivité. Pour toutϕ,ψ∈F, on a s(ϕ+ψ,ϕ+ψ) =s(ϕ,ϕ) +s(ϕ,ψ) +s(ψ,ϕ) +s(ψ,ψ) = =s(ϕ,ϕ) + 2·Res(ϕ,ψ) +s(ψ,ψ)6s(ϕ,ϕ) + 2· |s(ϕ,ψ)|+s(ψ,ψ)6 6s(ϕ,ϕ) + 2·[s(ϕ,ϕ)·s(ψ,ψ)]21+s(ψ,ψ) =hs(ϕ,ϕ)12+s(ψ,ψ)21i2, ce quil fallait démontrer.¤
Claude Portenier ESPACES DE HILBERT
3
1.1
Formes sesquilinéaires et produits scalaires
REMARQUE 1Légalité s(ϕ+ψ,ϕ+ψ) =s(ϕ,ϕ) + 2·Res(ϕ,ψ) +s(ψ,ψ) nous sera souvent utile par la suite.
THEOREMESoitsune forme hermitienne positive surF. Les propriétés suivantes sont équivalentes : (i)sest non-dégénérée, i.e. un produit scalaire. (ii)s(ϕ,ϕ)>0pour toutϕ∈Fr{0}. 1 (iii)ϕ7−→s(ϕ,ϕ)2:F−→Rest une norme surF. Les conditions (ii) et (iii) sont évidemment équivalentes et (ii) entraîne (i). Réciproquement sis(ϕ,ϕ) = 0, par linégalité de Cauchy-Schwarz on a |s(ϕ,ψ)|26s(ϕ,ϕ)·s(ψ,ψ) = 0, doncϕ= 0, puisquesest non-dégénérée.¤
REMARQUE 2Un produit scalaire est en général noté(·| ·). Sik·kdésigne la norme associée, i.e. kϕk2:= (ϕ|ϕ), linégalité de Cauchy-Schwarz sécrit |(ϕ|ψ)|6kϕk · kψkpour toutϕ,ψ∈F. En adaptant la démonstration de la continuité de la multiplication dansK(cours dAnalyse [17], théorème 5.5.iii), on montre facilement que le produit scalaire (·| ·) :F×F−→K: (ϕ,ψ)7−→(ϕ|ψ) est (globalement) continu (cf. exemple 2.4). La proposition 2.4 généralise ce résultat.
REMARQUE 3Pour quon ait égalité dans linégalité de Cauchy-Schwarz, il faut et il suffit queϕetψsoient linéairement dépendants. Nous redémontrons en même temps linégalité. Nous pouvons supposer quekϕk= 1en remplaçant au besoinϕparkϕϕk. On a alors 06kψ−(ϕ|ψ)·ϕk2= (ψ−(ϕ|ψ)·ϕ|ψ−(ϕ|ψ)·ϕ) =kψk2−|(ϕ|ψ)|2, donc linégalité. On a légalité si, et seulement si,ψ= (ϕ|ψ)·ϕ.¤
EXEMPLE 1SiE, F, G, Hsont des espaces vectoriels surK,s:F×G−→Hune appli-cation sesquilinéaire etS:E−→Gune application linéaire, alors (ϕ, ²)7−→s(ϕ, S²) :F×E−→H est une application sesquilinéaire. La vériÞcation est immédiate.¤
4
ESPACES DE HILBERT
Claude Portenier
Formes sesquilinéaires et produits scalaires
1.1
EXEMPLE 2Soientn∈NetA= (ak,l)∈Mn(K). Alors n (x, y)7−→(x|Ay) :=Xak,l·xk·yl:Kn×Kn−→K k,l=1 est une forme sesquilinéaire. Elle est hermitienne si, et seulement si, la matriceAest hermi-tienne, i.e.A=A∗. Elle est positive si, et seulement si,Aestpositive, i.e.(x|Ax)>0pour toutx∈Kn. Cest un produit scalaire si, et seulement si, la matriceAest hermitienne et strictement positive, i.e.(x|Ax)>0pour toutx∈Knr{0}. Attention dans la litérature, on utilise souvent pour une matrice les expressions semi-déÞnie positive pour positive et déÞnie positive pour strictement positive. SiAest hermitienne et strictement positive, la norme associée au produit scalaire quelle déÞnit est 1 2 x7−→Ãk,lXn=1ak,l·xk·xl!. Nous montrerons (théorème 2.7) que cette norme est équivalente à la norme euclidienne|·|2.
EXEMPLE 3SoientXun espace topologique etµune intégrale de Radon surX. Alors (ξ,η)7−→(ξ|η)µ:=Zξ·ηdµ:L2(µ)×L2(µ)−→K est évidemment une forme sesquilinéaire hermitienne positive. Cest un produit scalaire. La 1 norme associée sera désignée park·k2,µ:= (·| ·)2. Nous écrirons souventk·k2pour simpliÞer. En effet(ξ|ξ)µ=R|ξ|2dµ= 0entraîneξ= 0µ-p.p. , i.e.ξ= 0dansL2(µ).¤
DEFINITION 3Unesection commençantedeNest une partieItelle que, pour toutn∈J etm∈N, on aitm∈Isim6n. Ce sont les ensembles de la forme n={0, . . . , n−1}etN. Uneénumérationdun ensemble dénombrable (Þni ou inÞni dénombrable)Aest une bijec-tionσ:I−→A, oùIest une section commençante deN.
LEMMESoientXun ensemble et(αx)x∈X⊂Rune famille de nombres réels telle que supK∈K(X)X|αx|<∞. x∈K Alors{x∈X|αx6= 0}est dénombrable. SiDest une partie dénombrable contenant{x∈X|αx6= 0}et siσ:I−→Dune énu-mération deD, alors la sériePls0=puIασ(l)est convergente et sa somme est indépendante deD etσ. On écrit supI Xαx:=Xασ(l) x∈X l=0 et on dit que cest la somme de la famille(αx)x∈X.
Claude Portenier
ESPACES DE HILBERT
5
1.1 Formes sesquilinéaires et produits scalaires Pour toutk∈N∗, lensemble ½x∈X¯|αx|>k1¾ estÞni, donc X| |αx|>0}=k>[1½x¯x|>k1¾ {x∈ ∈X|α est dénombrable. La sériePl=0upsασ(l)est alors absolument convergente et Ile lemme découle du théorème de réarrangement 6.14 du cours dAnalyse [17].¤ On dit que(αx)x∈Xnous introduirons dans le cadre des espacesest sommable, notion que localement convexes en 2.6. Les interrelations seront explicitées dans le corollaire 2.11.
EXEMPLE 4SoitXun ensemble et#lintégrale de comptage. Alors (ξ,η)7−→(ξ|η)#:=Xξ(x)·η(x) :`2(X)×`2(X)−→K x∈X est un produit scalaire. Remarquons que, pour toutξ,η∈`2(X), il existe une partie dénombrableD⊂Xtelle queξ(x) =η(x) = 0pour toutx /∈D. Siσ:I−→Dest une énumération deD, alors la sériePl0=psuIξ(σ(l))·η(σ(l))absolument convergente, puisque en utilisant linégalité deest Cauchy-Schwarz dansKnon a supI k X¯ξ(σ(l))·η(σ(l))¯= supk∈IX|ξ(σ(l))| · |η(σ(l))|6 l=0l=0 1 1 2 6supk∈IÃl=kX0|ξ(σ(l))|2!2·Ãl=Xk0|η(σ(l))|2!=kξk2· kηk2<∞. On pose alors supI Xξ(x)·η(x) :=Xξ(σ(l))·η(σ(l)), x∈X l=0 le membre de droite ne dépendant évidemment pas deDetσ. Les vériÞcations sont alors immédiates.¤ EXERCICEMontrer quune forme hermitienne positivesinduit naturellement un produit scalaire sur le quotient deFpar le sous-espace vectoriel desϕ∈Ftels ques(ϕ,ϕ) = 0.
6
ESPACES DE HILBERT
Claude Portenier
Espaces préhilbertiens et espaces de Hilbert
1.2 Espaces préhilbertiens et espaces de Hilbert
1.2
DEFINITION 1Un espace vectorielFmuni dun produit scalaire sappelle unespace pré-hilbertien. On le considère comme un espace normé en le munissant de la norme associée. Si Fest complet pour cette norme, on dit que cest unespace de Hilbert.
EXEMPLE 1numéro précédent sont des espaces de Hilbert.Les exemples 2 à 4 du
EXEMPLE 2SoientXun espace localement compact etµun intégrale de Radon surX. La forme hermitienne positive surK(X) (ϕ,ψ)7−→(ϕ|ψ) :=Zϕ·ψdµ:K(X)× K(X)−→K est non-dégénérée si, et seulement si, pour tout ouvertO6=∅deX, on aµ(O)>0. Dans ce casK(X)est un espace préhilbertien, en général non-complet. En effet, pour toutϕ∈K(X)r{0}, il existex∈Xtel que|ϕ(x)|2>0, donc un voisinage ouvertOdextel que lon ait |ϕ(y)|2>|ϕ(2x)|2pour touty∈O. Le théorème 1.1 montre alors que la condition est suffisante, puisque |ϕ(x)|2 (ϕ|ϕ) =Z|ϕ|2dµ>ZO2dµ>|ϕ2(x)|2·µ(O)>0. RéciproquementXétant complètement régulier, il existeϕ∈K(X)tel que0<ϕ61et ϕ= 0hors deO, donc µ(O)>Z|ϕ|2dµ= (ϕ|ϕ)>0.¤
REMARQUE 1La condition ci-dessus signiÞe que lapplication canonique ϕ7−→[ϕ] :K(X)−→L2(µ) est injective. On dit que lesupportdeµestX.
REMARQUE 2Dans le cas général on considère limage[K(X)]deK(X)dansL2(µ)for-mée des classes modulo les fonctionsµ-négligeables contenant au moins une fonctions continues à support compact. Rappelons que L2(µ) =L2(µ)±N(µ), oùN(µ) ={f∈L2(µ)|f= 0µ-p.p.}={f∈L2(µ)| kfk2= 0}(cf. exercice 1.1).
Claude Portenier
ESPACES DE HILBERT
7
1.2
Espaces préhilbertiens et espaces de Hilbert
DEFINITION 2On dit que lensemble fermé complément du plus grand ouvert qui est µ-négligeable est lesupportdeµ. On le désigne parsuppµ. Cette déÞnition est consistante. SoitOla réunion de tous les ouvertsUdeXtels que µ(U) =µ(1U) = 0. La famille de tous ces ouverts estÞltrante croissante, puisque pour deux tels ouvertsU, V, on a µ(U∪V)6µ(U) +µ(V) = 0. Mais comme 1O= supUouvert,µ(U)=01U, la propriété de Bourbaki (cours dAnalyse [17], théorème 14.5) montre que µ(O) =µ¡supUouvert,µ(U)=01U¢= supUouvert,µ(U)=0µ(1U) = 0, ce quil fallait démontrer.¤
REMARQUE 3Dans beaucoup de situation, si lespace de baseXne joue pas un très grand rôle, on peut supposer que le support deµestXen remplaçantXparsuppµetµpar lintégrale de Radon induiteµsuppµ. Sij: suppµ,→Xest linjection canonique, on a j¡µsuppµ¢= 1suppµ·µ (cf. cours dAnalyse [17], proposition 16.10).
EXEMPLE 3SoientXun espace topologique etµune intégrale de Radon surX. Rappelons queM(µ)désigne lespace vectoriel des classes, modulo les fonctionsµ-négligeables, de fonctions µ-mesurables surX(cf. cours dAnalyse [17], remarque 15.14.2) . Si ρ:X−→R+ est une fonctionµ-mesurable, il est clair que la fonctionnelle →kfk2,µ,ρ:=µZ∗|f|2·ρ¶21 f7−dµ:KX−→R+ est sous-linéaire. LensembleL2(µ,ρ)des fonctionsf:X−→Kqui sontµ-mesurables et telles quekfk2,µ,ρ<∞est donc un sous-espace vectoriel deKX; on a kfk2,µ,ρ= 0⇐⇒f= 0µ-p.p. sur{ρ>0} et f= 0µ-p.p. sur{ρ=∞}. Nous désignerons par L2(µ,ρ) =L2(µ,ρ).nk·k2,µ,ρ= 0o lespace quotient muni de la norme déÞnie par k[f]k2,µ,ρ:=kfk2,µ,ρ. Nous ne ferons en général pas de distintinction entre une classe de fonctions et lun de ses représentants. Lapplication f7−→1{ρ6=0}·f:L2(µ,ρ)−→M(µ)
8
ESPACES DE HILBERT Claude Portenier
Espaces préhilbertiens et espaces de Hilbert
1.2
est évidemment injective. Il est immédiat de vériÞer que f7−→f·√ρ:L2(µ,ρ)−→L2(µ) est une isométrie sur le sous-espace vectoriel fermé deL2(µ)formé desftels quef= 0µ-p.p. sur{ρ= 0}∪{ρ=∞}. Ceci montre en particulier queL2(µ,ρ)est un espace de Hilbert, dont le produit scalaire est (f|g)µ,ρ:=Zf·g·ρdµ. SiAest une tribu densemblesµ-mesurables, on peut également considérer le sous-espace vectorielL2(µ,ρ,A)deL2(µ,ρ)des classes de fonctions contenant un représentantformé A-mesurable. On vériÞe facilement quil est fermé.
REMARQUE 4On aL2(µ,ρ) =L2(ρ·µ)siρ∈L1loc(µ). Sans cette hypothèse on ne peut pas déÞnir une intégrale de Radonρ·µ.
EXEMPLE 4SiHetGsont des espaces de Hilbert, alorsH × G, muni du produit scalaire ((ξ1,η1),(ξ2,η2))7−→(ξ1|ξ2)H+ (η1|η2)G, est un espace de Hilbert.
EXEMPLE 5SiHest un espace de Hilbert etGun sous-espace vectoriel fermé deH, on écritG@H, alorsGest un espace de Hilbert.
Claude Portenier
ESPACES DE HILBERT
9
1.3
1.3 Formules de polarisation
Formules de polarisation
PROPOSITIONSoitsune forme sesquilinéaire surF. Pour toutϕ,ψ∈F, on a (i) 2·[s(ϕ,ψ) +s(ψ,ϕ)] =Xε·s(ϕ+ε·ψ,ϕ+ε·ψ). ε2=1 (ii) SiK=Ret sisest hermitienne, alors s(ϕ,ψ14)=·Xε·s(ϕ+ε·ψ,ϕ+ε·ψ). ε2=1 (iii) SiK=C, alors s(ϕ,ψ)=14·Xε·s(ϕ+ε¯·ψ,ϕ+ ¯ε·ψ) . ε4=1 En particulier sis(ϕ,ϕ)∈Rpour toutϕ∈F, alorssest hermitienne. En effet Xε·s(ϕ+ε¯·ψ,ϕ+ε·ψ) = ¯ ε =Xε·s(ϕ,ϕ) +ε·ε¯·s(ϕ,ψ) +ε·ε·s(ψ,ϕ) +ε·ε·¯ε·s(ψ,ψ), ε doù les formules de polarisation en remarquant que¯ε·ε= 1, Xε= 0,X1 =Xε2= 2,Xε=Xε2= 0etX1 = 4. ε2=1ε2=1ε2=1ε4=1ε4=1ε4=1 Finalement siK=Cets(ϕ,ϕ)∈Rpour toutϕ∈F, on a s(ϕ,ψ41=)·Xε·s(ε·ε·ϕ+ε·ψ,ε·ε·ϕ+ε·ψ) = ε4=1 =41·Xε·ε·ε·s(ε·ϕ+ψ,ε·ϕ+ψ4)=1·Xε·s(ψ+ε·ϕ,ψ+ε·ϕ) =s(ψ,ϕ), ε4=1ε4=1 doncsest hermitienne.¤
COROLLAIRE (Egalité du parallélogramme ou identité de la médiane) Soit(F, p)espace semi-normé. Il existe une unique forme hermitienne positiveun ssurF induisant la semi-normepsi, et seulement si, pour toutϕ,ψ∈F, on a p(ϕ+ψ)2+p(ϕ−ψ)2= 2·£p(ϕ)2+p(ψ)2¤.
10
ESPACES DE HILBERT Claude Portenier
