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Fachbereich Mathematik und InformatikPhilipps-Universit t MarburgANALYSE FONCTIONNELLEClaude PortenierSemestre d hiver 2003/2004etsemestre d?ØtØ 2004Version du 30 mars 2005TABLE DES MATI¨RESTABLE DES MATI¨RES iiiINDEX xiBIBLIOGRAPHIE xiii1 ESPACES DE HILBERT 11.1 FormessesquilinØairesetproduitsscalaires.................21.2 EspacesprØhilbertiensetespacesdeHilbert................71.3 Formulesdepolarisation..........................101.4 ThØorŁmedelaprojection.........................121.5 ThØorŁmedereprØsentationdeRiesz....................171.6 LesthØorŁmesdeStampachiaetLax-Milgram..............201.7 LesespacesdeSobolevsurunintervale..................231.8 ProblŁmesauxlimitessurunintervale..................311.9 Sommeshilbertienes...........................351.10 Baseshilbertienes.............................381.1 LeprocØdØd?orthogonalisationdeGram-Schmidt.............41Claude Portenier ANALYSE FONCTIONNELLE iiiTABLE DES MATI¨RES1.12 Polyn?mesorthogonaux..........................431.13 CaractØrisation des polyn mes classiques orthogonaux . . . . . . . . . . . 47Polyn?mes de Jacobi ...........................54Polyn mes de Laguerre ..........................56Polyn?mes d?Hermite ...........................58Polyn?mes de Jacobi spØciaux .......................591.14 Les Øquations diffØrentielles associØes aux polyn?mes classiques . . . . . . 63L Øquation diffØrentielle de Jacobi......................65L Øquation diffØrentielle de Laguerre.... ...
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Fachbereich Mathematik und Informatik Philipps-Universität Marburg
ANALYSE FONCTIONNELLE
Claude Portenier
Semestre dhiver 2003/2004 et semestre dété 2004
Version du 30 mars 2005
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TABLEDESMATIÈRES
TABLE DES MATIÈRES
INDEX
BIBLIOGRAPHIE
ESPACES DE HILBERT 1.1 Formes sesquilinéaires et produits scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Espaces préhilbertiens et espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Formules de polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Théorème de la projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Théorème de représentation de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.6 Les théorèmes de Stampacchia et Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . 20 1.7 Les espaces de Sobolev sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.8 Problèmes aux limites sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.9 Sommes hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.10 Bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.11 Le procédé dorthogonalisation de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . 41
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1.12 Polynômes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.13 Caractérisation des polynômes classiques orthogonaux . . . . . . . . . . . 47 Polynômes de Jacobi 54. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polynômes de Laguerre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Polynômes dHermite 58. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . Polynômes de Jacobi spéciaux 59. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 1.14 Les équations différentielles associées aux polynômes classiques . . . . . . 63 Léquation différentielle de Jacobi 65. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . Léquation différentielle de Laguerre. . . . . . . . . . . . . . . . . 66. . . . Léquation différentielle dHermite. . . . . . . . . . . . . . . . . 69. . . . Les polynômes classiques exceptionnels. . . . . . . . . . . . . . . . 70. . . 1.15 Les bases hilbertiennes de polynômes classiques . . . . . . . . . . . . . . 76 Les fonctions génératrices 77. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 1.16 La notion despace-test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
ESPACES LOCALEMENT CONVEXES 2.1 Semi-normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.2 Espaces polynormés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 2.3 Espaces localement convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 2.4 Produit de deux espaces localement convexes . . . . . . . . . . . . . . 100 2.5 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 2.6 Sommabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 2.7 Espaces de dimensionÞ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109nie . . . . . 2.8 Espaces quotients et sous-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 2.9 Théorème de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 2.10 Espaces localement convexesÞ 114nals .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11 Espaces de Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 2.12 Le théorème de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
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2.13 Espaces tonnelés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 2.14 Produit tensoriel topologique inductif . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 2.15 Produit tensoriel despaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
SEMI-DUALITÉ 135 3.1 Espaces dapplications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 3.2 Espaces normés dapplications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 3.3 Opérateurs à noyaux dansCb. . . . . . . . . . . . . . . . 142. . . . . . . 3.4 Dualité et semi-dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 3.5 Applications linéaires de rangÞ 156. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ni . 3.6 Théorème de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 3.7 Continuité faible et adjonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 3.8 Dualité dans les espaces normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 3.9 Dualité de Fenchel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 3.10 Polarité et orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 3.11 La topologie de Mackey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 3.12 Intégration vectorielle faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 3.13 Formes sesquilinéaires, applications linéaires et produits tensoriels . . . . 197 3.14 Les théorèmes du graphe fermé et disomorphie . . . . . . . . . . . . . 202 3.15 Quelques applications du théorème du graphe fermé . . . . . . . . . . . 207 3.16 La topologie forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 Les topologies de la convergence uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . 212 3.17 Les opérateurs dans un espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . 213 3.18 Les opérateurs intégraux de Hilbert-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . 217 3.19 Les opérateurs intégraux faiblement singuliers . . . . . . . . . . . . . . 220 3.20 Les opérateurs intégraux généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 3.21 La matrice dun operateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 3.22 Le formalisme de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
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ESPACES DE DISTRIBUTIONS 231 4.1 Une manière dinterpréter la notion de dualité . . . . . . . . . . . . . . 232 Exemple physique 232. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemple économique 233. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Les intégrales de Radon comme fonctions généralisées . . . . . . . . . . 235 4.3 Les distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 4.4 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 4.5 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 4.6 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 4.7 Dilatation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 4.8 Opérations et leurs liaisons dansD(Rn)0etS(Rn)0 262. . . . . . . . .. . 4.9 Transformation de Fourier dansS(Rn). . . . . . . . . . . . . . . . . 266 4.10 Transformation de Fourier dansS(Rn)0. . . . . . . . . . . . . 272. . . . 4.11 Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 4.12 Convolution des fonctions et des distributions . . . . . . . . . . . . . . 280
SOUS-ESPACES HILBERTIENS 291 5.1 Le noyau dun sous-espace-hilbertien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 5.2 Exemples élémentaires de sous-espaces hilbertiens . . . . . . . . . . . . 295 5.3 Caractérisation dun sous-espace hilbertien . . . . . . . . . . . . . . . 297 5.4 Image dun sous-espace hilbertien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 5.5 Transitivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 5.6 Dilatation dun sous-espace hilbertien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 5.7 Somme de deux sous-espaces hilbertiens . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 5.8 Structure dordre sur les sous-espaces hilbertiens . . . . . . . . . . . . 308 5.9 Intersection de deux sous-espaces hilbertiens . . . . . . . . . . . . . . . 309 5.10 Somme directe de deux sous-espaces hilbertiens . . . . . . . . . . . . . 310 5.11 Théorème de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
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5.12 Champs de carré intégrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 5.13 Intégration dune famille de sous-espaces hilbertiens . . . . . . . . . . . 321 5.14 Décomposition dun sous-espace hilbertien . . . . . . . . . . . . . . . . 324 5.15 Espaces de Hilbert à noyaux reproduisants . . . . . . . . . . . . . . . . 329 5.16 Sous-espaces fermés deL2(σ)à noyaux reproduisants 333. . . . . . . . . . 5.17 Les semi-dualités bien plongées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 La semi-dualitéhH+|H−i. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 341 La semi-dualitéhH∩G+|H+G−i. . . . . . . 342. . . . . . . . . . . . . 5.18 Les semi-dualités plongées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
ALGÈBRES DE BANACH ET SPECTRES 347 6.1 Algèbres normées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 6.2 Inversibilité dans une algèbre de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 6.3 Le spectre dans une algèbre de Banach unifère . . . . . . . . . . . . . . 353 6.4 Transformation de Gelfand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 6.5 Théorème de Gelfand-Neumark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 6.6 Le spectre dans une sous-algèbre stellaire . . . . . . . . . . . . . . . . 362 6.7 Calcul fonctionnel continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 6.8 Eléments positifs dans une algèbre stellaire . . . . . . . . . . . . . . . 369 6.9 Cas dun élément normal non-borné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
OPÉRATEURS NON-BORNÉS 375 7.1 Opérateurs fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 7.2 Opérateurs fermables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 7.3 Opérateurs et sous-espaces hilbertiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 7.4 Ladjoint dun opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 La semi-dualitéh D(G)| H+Gi. . . . . . . . . . . . . . 390. . . . . . . . 7.5 Opérations sur les opérateurs non-bornés . . . . . . . . . . . . . . . . 392 7.6 Opérateurs formellement normaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
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7.7 Opérateurs normaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 7.8 Lalgèbre stellaire associée à un opérateur fermé . . . . . . . . . . . . . 401 7.9 Opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 7.10 Le spectre dun opérateur (non-nécessairement borné) dans un espace de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 7.11 Liaison entre les spectres dun opérateur et de son adjoint . . . . . . . . 415
8 DÉCOMPOSITIONS SPECTRALES 417 8.1 Les opérateurs de multiplications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 8.2 Les opérateurs de Toeplitz associés à une décomposition . . . . . . . . . 422 8.3 Les décompositions non-dégénérées et directes . . . . . . . . . . . . . . 426 8.4 Décompositions unidimensionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429 8.5 Calcul fonctionnel mesurable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 8.6 Le théorème spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438 8.7 Equations dévolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 8.8 La décomposition de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445 8.9 Equation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
APPENDICE 1 TOPOLOGIE 459 1.1 Ensembles ouverts et fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460 1.2 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 1.3 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 1.4 Espaces topologiques séparés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465 1.5 Parties et espaces compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
APPENDICE 2 LES POLYNOMES ORTHOGONAUX CLASSIQUES 469 2.1 Relations de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 2.2 Polynômes orthogonaux classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471 2.3 Polynômes de Jacobi spéciaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 2.4 Fonctions génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
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Polynômes de Jacobi . . . . . . . . . . . . .
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Polynômes de Gegenbauer ou ultrasphériques
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Polynômes de Laguerre . . . . . . . . . . . .
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Polynômes de Hermite . . . . . . . . . . . .
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Polynômes de Legendre . . . . . . . . . . .
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Polynômes de Tchebycheff. . . . . . . . . .
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