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Appendice 1TOPOLOGIENous avons rassemblØ dans ce chapitre les notions topologiques, dont nous avons besoindans ce cours. Certaines des dØmonstrations sont mots mots les mŒmes que celles faites dansle cadre des espaces mØtriques (cf. cours d Analyse [17], chapitre 10).Version du 2 fØvrier 2004Claude Portenier ANALYSE FONCTIONNELLE 457à1.1 Ensembles ouverts et fermØs1.1 Ensembles ouverts et fermØsDEFINITION 1 Soit X un ensemble. On dit quune partie T de P(X) est une topologie sil on a S(a) Si G⊂T,alors O∈T .O∈G T(b) Si F est une partie Þnie deT,alors O∈T .O∈FOn dit que (X,T) est un espace topologique.Une partie O⊂X est dite ouverte si O∈T .Une partie F ⊂ X est dite fermØe si{A := XrA est ouverte. A la place de (X,T) on Øcritsouvent simplement X .PROPOSITION Soient X un espace mØtrique, d sa mØtrique, x∈X , ε> 0 ,B (x):={y∈X |d(x,y)6 ε} et D (x):={y∈X |d(x,y)< ε} .ε εEn posantT :={O⊂X |∀x∈O∃ε> 0 tel que B (x)⊂O}(X,d) εon dØÞnit une topologie sur X .Cela a ØtØ dØmontrØ dans la proposition 10.12, cours d Analyse [17]. Ainsi tout espacemØtrique est associØ un espace topologique.DEFINITION 2 On dit qu un espace topologique est mØtrisable si sa topologie peut ŒtredØÞnie par une mØtrique.EXEMPLE 1 SoitX unespacetopologique,Tsa topologieetY unepartie deX .EnposantT :={O∩Y |O∈T}Yon dØÞnit une topologie sur Y ,ditelatopologie induite .Si X est un espace mØtrique etT sa topologie, alors T est le topologie qui provient de laYmØtrique induite par X sur Y ...

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Appendice

TOPOLOGIE

Nous avons rassemblé dans ce chapitre les notions topologiques, dont nous avons besoin dans ce cours. Certaines des démonstrations sont mots à mots les mêmes que celles faites dans le cadre des espaces métriques (cf. cours dAnalyse [17], chapitre 10).

Claude Portenier

ANALYSE FONCTIONNELLE

Version du 2 février 2004

457

1.1

Ensembles ouverts et fermés

DEFINITION 1SoitXun ensemble. On dit quune partieTdeP(X)est unetopologiesi lon a S (a) SiG⊂T, alorsO∈T. O∈G T (b) SiFest une partieÞnie deT, alorsO∈T. O∈F

On dit que(X,T)est un espace topologique.Une partieO⊂Xest diteouvertesiO∈T. Une partieF⊂Xest diteferméesi{A:=XrAest ouverte. A la place de(X,T)on écrit souvent simplementX.

PROPOSITION

En posant

SoientXun espace métrique,dsa métrique,x∈X,ε>0,

Bε(x) :={y∈X|d(x, y)6ε}

Dε(x) :={y∈X|d(x, y)<ε}.

T(X,d):={O⊂X|∀x∈O∃ε>0tel queBε(x)⊂O} on déÞnit une topologie surX.

Cela a été démontré dans la proposition 10.12, cours dAnalyse [17]. Ainsi à tout espace métrique est associé un espace topologique.

DEFINITION 2On dit déÞnie par une métrique.

EXEMPLE 1

quun espace topologique estmétrisablesi sa topologie peut être

SoitXun espace topologique,Tsa topologie etYune partie deX. En posant

TY:={O∩Y|O∈T} on déÞnit une topologie surY, dite latopologie induite. SiXest un espace métrique etTsa topologie, alorsTYest le topologie qui provient de la métrique induite parXsurY(cf. cours dAnalyse [17], exercice 10.12).

DEFINITION 3

458

◦ Pour toutA⊂X, on déÞnit lintérieurAdeApar [ ◦ A:=O. Oouvert,⊂A

TOPOLOGIE

Claude Portenier

Ensembles ouverts et fermés

1.1

On dit quex∈Aest unpoint intérieurdeAsil existe une partie ouverteOtelle quex∈O⊂ A. Sixest un point intérieur deA, on dit queAest unvoisinagedex. En posant \ A:=F Ffermé,⊃A

on déÞnit lafermeturedeA. Une partieAest ditedensesiA=X.

◦ LensembleAest la plus grande partie ouverte contenue dansA. Lensemble des points ◦ intérieurs deAest égal àA. LensembleAest la plus petite partie fermée contenantA.

EXEMPLE 2SoientXun espace métrique,x∈Xetε>0. LensembleBε(x), respective-mentDε(x), est un voisinage fermé respectivement ouvert dex. On dit que la boule fermée, respectivement ouverte, decentrexetrayonε. On a ◦ Dε(x)⊂Bε(x)etDε(x)⊂Bε(x). Ces inclusions sont en général stricte.

PROPOSITION

SoientA, Bdes parties dun espace topologiqueX. Alors

◦ (i)Aouverte⇐⇒A=A. (ii)Afermée⇐⇒A=A. ◦ ◦ ◦ (iii)A∩B= (A∩B). (iv)A∪B=A∪B. ◦ ◦ ◦ (v)A∪B⊂(A∪B). (vi)A∩B⊂A∩B. ◦ (vii)XrA=XrA. ◦ (viii)XrA= (XrA).

Cf. cours dAnalyse [17], exercice 10.16.

Claude Portenier

TOPOLOGIE

459

1.2

Continuité

DEFINITIONSoientX, Ydes espaces topologiques. Une applicationf:X−→Yest dite continueenx∈Xsi, pour toute partie ouverteOdeYtelle quef(x)∈O, il existe une partie ouverteUdeXtelle quex∈Uetf(U)⊂O. Lapplicationfest ditecontinuesi elle est continue en tout point deX.

THEOREMESoientX, Y vantes sont équivalentes :

(i)

(ii)

(iii) (iv)

des espaces topologiques etf:X−→Y

fest continue. −1 f(O)est ouverte pour toute partie ouverteOdeY. −1 f(F)est fermée pour toute partie ferméeFdeY. ¡ ¢ f A⊂f(A)pour toute partieA⊂X.

. Les propriétés sui-

Cf. cours dAnalyse [17], proposition 10.16. Seule léquivalence avec (iv) na pas été démon-trée. ³ ´ ³ ´ −1−1 (iii)⇒(iv)Pour toute partieA⊂X, la partief f(A)est fermée etf f(A)⊃ µ ¶ ³ ´ ³ ´ ¡ ¢ −1−1−1 f(f(A))⊃A. On en déduit quef f(A)⊃Aet par suite quef A⊂ff f (A)⊂

f(A). ¡ ¢ −1 (iv)⇒(iii)SoitFune partie fermée deY. En posantA:=f(F), on af A⊂f(A)⊂ −1−1 F=F, doncA⊂f(F) =A⊂A, ce qui montre queA=f(F)est fermée.¤

EXEMPLESoientXun espace topologique etYune partie deXmunie de la topologie induite. Linjection canoniqueY,→Xest alors continue.

COROLLAIRE lapplication

lest aussi.

Si les applicationsf

:X−→Y

etg:Y

f g h=g◦f:X−→Y−→Z

−→Zsont continues, alors

Cette assertion na pas été démontrée topologiquement (cf. cours dAnalyse [17], théorème 7.3). La démonstration est immédiate en utilisant (ii).

460

TOPOLOGIE

Claude Portenier

Convergence

1.3

Convergence

1.3

DEFINITION 1Une suite(xk)deXest diteconvergentesi, pour toute partie ouverte k∈N Utelle quex∈U, il existe unN∈Ntel que lon ait xk∈Upour toutk>N.

EXEMPLE 1Soit(X, d)un espace métrique. Une suite(xk)deXest alors convergente k∈N versxpourT(X,d)si, et seulement si, elle converge versxpar rapport à la métriqued.

PROPOSITIONSoientX, Ydes espaces topolgiques. Alors (i) Si une fonctionf:X−→Yest continue enx∈Xet si une suite(xk)converge vers k∈N x, alors la suite(f(xk))converge versf(x). k∈N (ii) SoientA⊂Xetx∈X. Sil existe une suite(xk)⊂A, qui converge versx, alors k∈N x∈A.

Rappelons que la réciproque de ces assertions est valable dans le cas suivant :

THEOREMESoientX, Ydes espaces topologiques et supposons queXest métrisable. (i) Soitx∈X. Une applicationf:X−→Yest continue enxsi, et seulement si, pour toute suite(xk)convergente versx, la suite(f(xk))est convergente versf(x). k∈Nk∈N (ii) Etant donnéA⊂Xetx∈X, on ax∈Asi, et seulement si, il existe une suite (xk)⊂Aconvergente versx. k∈N

REMARQUE 1En toute généralité on ne peut pas caractériser la continuité et la fermeture à laide des suites. Il faut introduire une généralisation de la notion de suite : lesÞltres.

DEFINITION 2SoitXun ensemble. On dit quune famille non-videB⊂P(X)est une base deÞltresi (a)∅/∈B. (b) Pour toutA, B∈B, il existeC∈Btel queC⊂A∩B. On dit queF⊂P(X)est unÞltresi cest une base deÞltre et si en plus (c) Pour toutA∈FetA⊂B⊂X, on aB∈F.

SoientB,Cdes bases deÞltre. On dit queBestplusÞnequeCsi, pour toutC∈C, il existeB∈Btelle queB⊂C.

SiFest unÞltre alors, pour toutA, B∈F, on aA∩B∈F. Une base deÞltreBengendre unÞltre e B:={A⊂X|il existeB∈Btel queB⊂A}.

Claude Portenier

TOPOLOGIE

461

1.3

Convergence

e e SiCest une autre base deÞltre, alorsBest plusÞne queCsi, et seulement si,B⊃C.

EXEMPLE 2Si(xk)est une suite de k∈N {xl|l>k}est une base deÞltre surX.

X, alors lensemble des parties de la forme

EXEMPLE 3Sif:X−→Yest une application etBune base deÞltre surX, alors f(B) :={f(A)|A∈B}est une base deÞltre surY. En particulier siXest une partie deYet en considérant linjection canonique, on voit que toute base deÞltre surXest une base deÞltre surY.

EXEMPLE 4SiXest un espace topologique etx∈X, alors lensembleV(x)des voisinages dexest unÞltre.

DEFINITION 3SoitXun espace topologique. On dit quune base deÞltreBconvergevers x∈X, si pour tout voisinageVdeX, il existeA∈Btel queA⊂V, i.e. siBest plusÞne queV(x). On écrit alors x= limB= limy∈By. SiYest un autre espace topologique etf:X−→Yune application, on dit quey∈Yest unevaleur limitedefsuivantBsif(B)converge versyet on écrit y= limf(B) = limx∈Bf(x) = limBf.

REMARQUE 2 converge.

Pour quune base deÞltre converge, il faut et il suﬃt que leÞltre engendré

Le théorème ci-dessus est alors valable en toute généralité.

THEOREME

SoientX, Ydes espaces topologiques.

(i) Soitx∈X. Une applicationf:X−→Yest continue enxsi, et seulement si, pour tout ÞltreFqui converge versx, la base deÞltref(F)converge versf(x). (ii) Etant donnéA⊂Xetx∈X, on ax∈Asi, et seulement si, il existe unÞltre surA qui converge versxdansX.

462

TOPOLOGIE

Claude Portenier

Espaces topologiques séparés

1.4

Espaces topologiques séparés

1.4

DEFINITIONUn espace topologiqueXest ditséparési, pour toutx, y∈Xtels que x6=y, il existe des partie ouverteO, Utelles quex∈O,y∈UetO∩U=∅.

En particulier, dans un espace séparé toute partie ne contenant quun point est fermée.

EXEMPLE

THEOREME

(i) (ii) Y.

Tout espace métrique est séparé.

SoientX, Ydes espaces topologiques séparés etAune partie dense deX.

Sif, g:X−→Ysont des applications continues telles quef|A=g|A, alorsf=g. Sif:X−→Yest une application continue dimage dense, alorsf(A)est dense dans

Démonstration de (i)

Démonstration de (ii)

donc

Claude Portenier

Il suﬃt de montrer que{f=g}est fermée et contientA.

Utilisant le théorème 10.2, on a ¡ ¢ f(A)⊃f A=f(X),

f(A)⊃f(X) =Y.

TOPOLOGIE

463

1.5

Parties et espaces compacts

DEFINITION 1SoitXun espace topologique séparé. Une partieK⊂Xest ditecompacte si, pour tout recouvrement ouvert deKpossède un sous-recouvrementÞni. SiXest compact, on dit queXest unespace compact. On désigne parK(X)lensemble des parties compactes deX.

EXEMPLE 1SiXest un espace métrique, alorsK⊂Xest compact si, et seulement si, toute suite deKcontient une sous-suite convergente.

Cf. cours dAnalyse [17], théorème 10.17.

THEOREME

SoientX, Ydes espaces topologiques séparés.

(i) Sif:X−→Yest une application continue etK⊂Xest compacte, alorsf(K)est compact. (ii) Une partie compacte est fermée. (iii) Une partie fermée contenue dans une partie compacte est compacte.

Démonstration de (i)

Cf. cours dAnalyse [17], théorème 10.19.

Démonstration de (ii)La démonstration du cours dAnalyse [17], Corollaire 10.17 utilise les suites. Voici une démonstration topologique. Soitx∈XrK. PuisqueXest séparé, pour touty∈K, il existe des voisinages ouvertsUydeyetVydextels queUy∩Vy=∅. La famille (Uy)est évidemment un recouvrement ouvert deK; il existe donc une partieÞnieF⊂K y∈K T telle que(Uy)soit encore un recouvrement deK. On en déduit queV:=Vyest un y∈F y∈F S voisinage dexqui ne coupe pasUy, donc aussiK. Ceci montre queXrKoﬀen ist. y∈E

Démonstration de (iii)SoientAune partie fermée deXetKune partie compacte la conte-nant. CommeXrAest ouvert, il suﬃt de constater quune familleRest un recouvrement ouvert deAsi, et seulement si,U∪{XrA}est un recouvrement ouvert deK.¤

COROLLAIREPour quune partieK⊂Xsoit compacte, il faut et il suﬃt que queK muni de la topologie induite soit un espace compact.

Cf. cours dAnalyse [17], exercice 10.17.4.

EXEMPLE 2SoitXun espace topologique séparé. Lensemble{(K(X))des parties de la formeXrK, oùK∈K(X)est une base deÞltre surX.

Utilisant la notion deÞltre on peut donner une caractérisation utile des espaces compacts. Mais tout dabord

464

TOPOLOGIE

Claude Portenier

Parties et espaces compacts

1.5

DEFINITION 2On dit quunÞltreUest unultraÞltresil est maximal, i.e. si toutÞltreF plusÞn queU, i.e.F⊃U, est égal àF.

REMARQUE ultraÞltre.

THEOREME

(i)

(ii)

Par le principe de maximalité de Hausdorﬀ, toutÞltre est contenu dans un

SoitXun espace topologique séparé. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

(a)Xsoit compact. T (b) Pour toute familleBdensembles fermés telle queB=∅, il existe une B∈B sous-familleÞnie deBdont lintersection est vide. T (c) Pour toute base deÞltreBformées densembles fermés, on aB6=∅. B∈B (d) Tout ultraÞltre surXest convergent. Q TychonoﬀSi(Xj)est une famille despaces compacts, alorsXjest compact. j∈J j∈J

Démonstration de (i) (a)⇐⇒(b)Il suﬃt de passer aux complémentaires. (b)⇐⇒(c)Cest la contraposition. (c)⇒(d)SoitUun ultraÞltre. La famille des adhérencesApourA∈Uest une base T deÞltre satisfaisant à (c). Soit doncx∈A. Pour tout voisinageVdex, on a A∈U V∩A6=∅pour toutA∈U, doncV∈Upar la maximalité deU. Ceci montre queU converge versx. (d)⇒(c)Par la remarque, il existe un ultraÞltreUplusÞn queB. Cet ultraÞltre converge donc vers unx∈X. SoitB∈B. On aB∈Uet, pour tout voisinageVdex, on a aussiV∈U, doncB∩V∈U, ce qui montre queB∩V6=∅. On en déduit que T x∈B=B, ce qui montre queB6=∅. B∈B Q Démonstration de (ii)SiUest un ultraÞltre surXj, alorspr (U)est une base de j∈J j pothèse chaqu Þltre et elle engendre un ultraÞltre surXje. Par hy prj(U)converge, donc aussi U.¤

Claude Portenier

TOPOLOGIE

465

Voir