5 cours triangles angles 2008
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Chapitre : le triangleKI. Angles dans le triangle 1. PropriétéDans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. 60 °Avec des lettres : dans un triangle ABC : ABC + BCA + CAB = 180°J40 °Exemples: Dans un triangle IJK, = 40 ° et = 60 °KIJ IJK IDéterminer une mesure de l'angle JKI .Rédaction n°1:On écrit que la somme des mesures des angles du triangle est égale à 180°. IJK + JKI + KIJ = 180 °On remplace les mesures connues:60 + + 40 = 180JKIOn additionne les mesures connues60 + 40 +J KI = 180100 + = 180JKIOn trouve une mesure inconnue de l'angle. = 180 – 100JKIJKI = 80 °Rédaction n° 2 :On écrit la somme des mesures des angles connues : IJK + KIJ = 60 + 40 = 100Comme la somme des mesures des angles du triangle est égale à 180°, = 180 – 100 = 80 °JKI2.Application à la construction Construire le triangle ABC tel que ABC = 50 ° ;B CA = 100° et la longueur AB = 4 cm.Méthode : C1. Faire un croquis de la figure2.Coder dessus les mesures connues3. Déterminer si besoin les mesures manquantes 50 °4. Réaliser la construction B4 cmA3. Cas particuliersa) Triangle rectangle :● Si un triangle est rectangle, alors la somme des mesures des deux angles aigus est égale à 90 °.● Si dans un triangle la somme des mesures des deux angles aigus est égale à 90 °, alors ce triangle est rectangle.Définition : l orsque la somme des mesures des deux angles vaut 90° on dit qu'ils sont complémentaires. Exemples : 1 ...
Voir
Chapitre : le triangle
I. Angles dans le triangle
1. Propriété
Dans un triangle,
la somme des mesures des angles
est égale à 180°.
Avec des lettres : dans un triangle ABC :
ABC
+
BCA
+
CAB
= 180°
Exemples:
Dans un triangle IJK,
KIJ
= 40 ° et
IJK
= 60 °
Déterminer une mesure de l'angle
JKI
.
Rédaction n°1:
On écrit que la somme des mesures des angles du triangle est égale à 180°.
IJK
+
JKI
+
KIJ
= 180 °
On remplace les mesures connues:
60 +
JKI
+ 40 = 180
On additionne les mesures connues
60 + 40 +
JKI
= 180
100 +
JKI
= 180
On trouve une mesure inconnue de l'angle.
JKI
= 180 – 100
JKI
= 80 °
Rédaction n° 2 :
On écrit la somme des mesures des angles connues :
IJK
+
KIJ
= 60 + 40 = 100
Comme la somme des mesures des angles du triangle est égale à 180°,
JKI
= 180 – 100 = 80 °
2. Application à la construction
Construire le triangle ABC tel que
ABC
= 50 ° ;
BCA
= 100° et la longueur AB = 4 cm.
Méthode :
1. Faire un croquis de la figure
2. Coder dessus les mesures connues
3. Déterminer si besoin les mesures manquantes
4. Réaliser la construction
3. Cas particuliers
a) Triangle rectangle :
●
Si un triangle est rectangle, alors la somme des mesures des deux angles aigus est égale à 90 °.
●
Si dans un triangle la somme des mesures des deux angles aigus est égale à 90 °, alors ce triangle est rectangle.
Définition :
lorsque la somme des mesures des deux angles vaut 90° on dit qu'ils sont complémentaires.
Exemples : 1 )
Soit ABC un triangle rectangle en A tel que
ABC
= 30°; Déterminer
BCA
.
ABC
+
BCA
= 90 donc 30 +
BCA
= 90 Soit
BCA
= 90 – 30 = 60 °
2) Dans le triangle KLM,
LMK
= 25° et
MKL
= 65 °. Quelle est la nature du triangle KLM ?
LMK
+
MKL
= 25 + 65 = 90 °
Donc le triangle KLM est rectangle ( en L).
40 °
60 °
I
J
K
50 °
4 cm
A
B
C
Les angles
LMK
et
MKL
sont donc complémentaires.
b) Triangle isocèle :
Propriété : dans un triangle isocèle, les angles adjacents
à la base principale ont la même mesure.
Écriture mathématique :
Soit ABC un doctrinale isocèle en A.
ABC
=
ACB
Justification :
il y a deux triangles rectangles symétriques
Exemples d'utilisation :
1.
Construire le triangle MNP, isocèle en M tel que MP = 3 cm et
MPN
= 70°
On effectue le croquis : on s'aperçoit qu'il nous manque une mesure , celle de l'angle
PMN
.
Calculs et rédaction:
Dans un triangle isocèle, les angles adjacents à la base
principale ont la même mesure
donc :
MNP
=
MPN
La somme des mesures des angles d'un triangle est
égale à 180°, donc :
PMN
= 180 – (
MNP
+
MPN
)
= 180 – 2
×
70
= 180 – 140
PMN
= 40 °
2. Construire le triangle IJK, isocline en I, tel que
KIJ
= 30 ° et JK = 4 cm.
On effectue le croquis : on s'aperçoit qu'il nous manque une mesure , celle des angles
IJK
et
JKI
.
Calculs et rédaction :
La somme des mesures des angles d'un triangle est égale
à 180°, donc :
IJK
+
JKI
+
KIJ
= 180 °
Dans un triangle isocèle, les angles adjacents à la base
principale ont la même mesure
donc :
IJK
=
JKI
Soit 2
IJK
+ 30 = 180
2
IJK
= 180 – 30
2
IJK
= 150
IJK
=
150
2
IJK
= 75 ° et par suite,
JKI
= 75°
c) Triangle équilatérale :
Justification : Soit ABC un triangle équilatéral
Comme un triangle isocèle a trois côtés de même longueur, le triangle ABC est donc isocèle en A et par
conséquent
ABC
=
BCA
et comme il est aussi isocèle en B,
BCA
=
CAB
.
On obtient donc la double égalité :
ABC
=
BCA
=
CAB
ABC
+
BCA
+
CAB
= 180° donc 3
ABC
= 180 par conséquent :
ABC
=
180
3
= 60°
Propriété : dans un triangle équilatéral, les trois angles ont la même mesure : 60°.
B
C
A
40 °
70 °
3 cm
M
P
N
sommet principal
base principale
II. Synthèse des constructions
Méthode 1
: Construire un triangle connaissant les longueurs des côtés
Exemple
:
Construis le triangle NUL tel que NU = 14 cm ; UL = 13 cm et LN = 11,6 cm.
Méthode 2
: Construire un triangle connaissant
un angle et les longueurs de ses côtés adjacents
Exemple
: Construis un triangle BAS tel que AB = 10,4 cm ; BS = 8 cm et
ABS
= 99°.
Méthode 3
: Construire un triangle connaissant
deux angles et la longueur de leur côté commun
Exemple
: Construis le triangle GAZ tel que AZ = 11,2 cm ;
GAZ
= 100° et
AZG
= 31°.
On trace un angle de
sommet B mesurant 99°.
On
effectue
une
figure
à
main
levée
en
respectant
la
nature
des
angles.
On place le point A
à 10,4 cm du point B.
B
S
A
S
B
9
9
°
1
0
,
4
c
m
8
cm
S
B
A
On construit un segment
[SB] de 8 cm de longueur.
On effectue
une
figure
à
main
levée.
On construit un angle de
sommet A mesurant 100°.
L'intersection des côtés
des angles est le point
G.
A
31°
100°
G
Z
11,2 cm
A
Z
Z
A
G
On trace un segment [AZ]
de longueur 11,2 cm.
On construit un angle de
sommet Z mesurant 31°.
1
1
,
6
c
m
1
3
c
m
N
U
L
14 cm
On effectue une figure à
main levée.
On construit un segment
[NU] de 14 cm. On trace
un
arc
de
cercle
de
centre N et de 11,6 cm
de rayon.
On
trace
un
arc
de
cercle de centre U et de
13
cm
de
rayon.
L'intersection
des
arcs
est le point L.
N
N
U
U
L
