1S2-cours-suites
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SuitesnumériquesExempleintroductif:Onconsidèrelesnombresentiersimpairssucecssifs:1,3,5,7,9,11....eCommentnommerle22 nombreimpairdecetteliste?lecentième?Définitionnaïve:Unesuitenumériqueestunesuite,illimitéedenombres.Exemples:• 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6¢¢¢ (suitedesentiersnaturels)• 0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14¢¢¢ (suitedesentierspairs)• 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256¢¢¢ (suitedespuissancesde2)• 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144(suitedeFibonacci)I SuitesnumériquesI.1 GénéralitésConsidéronsparexemplelasuitedesnombres0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14¢¢¢.Ilfautpouvoirdonnerunnomàchacundestermesdecettesuite.Ondonneunnomgénéralàlasuite,parexempleu etchaquetermeestrepéréparu(0),u(1),u(2),....Définition:Une suite numérique u est une fonction numérique, définie surN ou sur une partie deN et àvaleursdansR.N→Ru: .n7!u(n)Notation: Letermegénéralu(n)senoteu .nL’ensembledestermesdelasuitesenote(u ) .n n∈NAttentionAttentionànepasconfondrelesdeuxnotations:• u estletermederangn.n• (u ) estl’ensembledestermesdelasuite.n n∈NExemples:n1. Soit(u )lasuitedéfinieparu =2 −1pourtoutnn n1p2. Soit u lasuitedéfinieparu = n−4pourtoutnÊ4.( )n nNousallonsvoirqu’ilyadeuxfaçonsdedéfinirunesuite:I.2 DéfinitionexpliciteUnesuiteestdéfiniedefaçonexplicitelorsqueletermegénéralu estexpriméenfonctionden.nExemples:21. Soitlasuite(u )définiepar:u =n +5n+3.n n p22. Soitlasuite u définiepar:u = n +5.( )n ne3. Soitlasuite(u )définiepar:u estlan décimaledeπ.n nMême si l’on ne connaît pas encore ...
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Suites numériques
Exemple introductif : On considère les nombres entiers impairs sucecssifs : 1, 3, 5, 7, 9, 11 . . .. e Comment nommer le 22 nombre impair de cette liste ? le centième ?
Définition naïve: Une suite numérique est une suite, illimitée de nombres.
Exemples : •0 ; 1 ; 2 ; 5 ; 63 ; 4 ; ∙ ∙ ∙(suite des entiers naturels) •1412 ; 8 ; 10 ; 4 ; 6 ; 0 ; 2 ; ∙ ∙ ∙(suite des entiers pairs) •8 ; 4 ; 1 ; 2 ; 25616 ; 32 ; 64 ; 128 ; ∙ ∙ ∙(suite des puissances de 2) •144 (suite de Fibonacci)34 ; 21 ; 89 ; 55 ; 5 ; 3 ; 13 ; 8 ; 1 ; 1 ; 2 ;
I
I.1
Suites numériques
Généralités
Considérons par exemple la suite des nombres 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14∙ ∙ ∙. Il faut pouvoir donner un nom à chacun des termes de cette suite. On donne un nom général à la suite, par exempleuet chaque terme est repéré paru(0),u(1),u(2), . . ..
Définition : Une suite numériqueuest une fonction numérique, définie surNou sur une partie deNet à valeurs dansR. N→R u: . n7→u(n) Notation :Le terme généralu(n) se noteun. L’ensemble des termes de la suite se note (u) . n n∈N
Attention Attention à ne pas confondre les deux notations : •unest le terme de rangn. •(un)n∈Nest l’ensemble des termes de la suite. Exemples :
n 1. Soit (un) la suite définie parun=2−1 pour toutn
1
2. Soit (un) la suite définie parun=
I.2
n−4 pour toutnÊ4.
Nous allons voir qu’il y a deux façons de définir une suite :
Définition explicite
Une suite est définie de façon explicite lorsque le terme généralunest exprimé en fonction den.
Exemples : 2 1. Soit la suite (un) définie par :un=n+5n+3. p 2 2. Soit la suite (un) définie par :un=n+5. e 3. Soit la suite (un) définie par :unest landécimale deπ. Même si l’on ne connaît pas encore toutes les décimales deπ, cette suite est explicite, car les décimales deπsont bien définies. Quandunesuiteestdéfiniedefa¸onexplicite,onpeutcalculerdirectementletermeden’importequel rang.
I.3
Définition par récurrence :
Une suite (un) est définie par récurrence lorsque chaque terme est défini en fonction du terme précédent ou des termes précédents, et par la donnée du ou des premiers termes. Exemples :
u0=1 1 •Soit (un) définie par : un+1=pour toutn 1+un •suite de Fibonacci : ½ u0=u1=1 . un+2=un+un+1 u0=2 •2 un+1= 3+un Calculer les trois premiers termes. Estil facile de calculer le termeu25?u100? Le problème des suites définies par récurrence est que pour calculer le terme de rangp, il faut connaître tous les termes précédents ! Pour certaines suites définies par récurrence, on essaye de se ramener à une définition explicite, mais ce n’est pas toujours facile ou possible ! ½ u0=6 Exemple :. un+1=2un−5 n Soit (vn) définie par :vn=5+2 . En calculant les premiers termes de chacune de ces deux suites, on constate que l’on trouve les mêmes
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termes. Peuton en déduire que tous les termes coïncident ? Bien évidemment, non ! Ce qui se passe sur quelques termes ne permet pas de généraliser.
II
II.1
Représentation graphique des termes d’une suite
Suite définie de façon explicite
On aun=f(n) oùfest une fonction. On représente les points de coordonnées (n;f(n)).
II.2
Suites définies par récurrence
Soit une suite définie paru0et la relationun+1=f(un), oùfest une fonction. ³ ´ −→−→ •On trace un repèreO;i;j, puis la droiteD, d’équationy=x(première bissectrice). •On trace la représentation graphique de la fonctionfdans le même repère. •On placeu0sur l’axe des abscisses et le pointM0(u0; 0) sur l’axe des abscisses. •On veut représenteru1; par définition,u1=f(u0). On trace en pointillés le segment parallèle à l’axe des ordonnées, joignantM0au point de la courbrCfde même abscisse, puis en pointillés le segment joignant ce point au point de même ordonnée de la droiteD. Ces deux points ont pour ordonnéeu1. CommeDa pour équationy=x, ce dernier point a pour abscisseu1, que l’on place sur l’axe des abscisses et on noteM1le point de coordonnées (M1; 0). •On recommence la construction précédente avecu1, puisu2, etc. Exemple : 1 Soit la suite (un) définie paru0=etun+1=2un−1. 2
~ ju0u1u2u3u4 0~ i 2 Autre exemple(à faire sur papier quadrillé) :u0=3 etun+1= 1+un
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III
~ j
0
u1 ~ i
u3u4u2
Variations et bornes
u0
Définitions Soit (un)n∈Nune suite. •Suite croissante :(un) est croissante si, pour toutn,un+1Êun. •Suite décroissante :(un) est décroissante si, pour toutn,un+1Éun. •Suite constante :(un) est constante si, pour toutn,un+1=un. •Suite monotone :(un) est monotone si elle est croissante ou décroissante. Elle est strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante. •Suite majorée :(un) est majorée parMs’il existe un réelM, tel que, pour toutn,unÉM. Mest alors un majorant de la suite. Il n’est pas unique, puisque tout nombre supérieur à un majorant est aussi un majorant. •Suite minorée :(un) est minorée parms’il existe un réelm, tel que, pour toutn,unÊm. mest alors un minorant de la suite. Il n’est pas unique, puisque tout nombre inférieur à un minorant est aussi un minorant. •Suite bornée :(un) est bornée si elle est minorée et majorée Exemples : 1 1. Soitunla suite définie par :un=1−. Pour toutn,un<1 donc la suite (un) est majorée par 1. n+1 De même,un>0 donc (un) est minorée par 0. µ ¶ µ ¶ 1 1 1 1 1 Pour toutn,un+1−un=1− =1− = − = >0. n+2n+1n+1n+2 (n+1)(n+2) Pour toutn,un+1Êun, donc la suite (un) est croissante. 1 1 ′ Autre méthode :un=f(n) avecf(x)=1−(x∈R). SurR,fest dérivable etf(x)= >0. 2 x+1 (x+1) La fonctionfest strictement croissante sur [0 ;+∞[. Pour toutn∈N, on a doncf(n+1)Êf(n), c’estàdireun+1Êun, donc la suite est croissante. ½ u0= −5 2. Soit (un) la suite définie par : . un+1=un+n Pour toutn∈N,un+1−un=nÊ0 donc (un) est croissante. Nous allons maintenant étudier deux types de suites particulières, que l’on rencontre souvent.
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IV
IV.1
Suites arithmétiques
Définition
Définition Une suite (un) est arithmétique s’il existe un réelrtel que, pour toutn,un+1=un+r. Par conséquent :un+1−un=r; la différence entre deux termes consécutifs est constante. rest appeléraisonde la suite. Exemples : •la suite des entiers naturels •la suite des entiers pairs (ou impairs) •la hauteur dont on s’élève en grimpant un escalier Remarque :le terme « arithmétique » vient de ce que chaque terme est la moyenne arithmétique du un−1+un+1 terme qui le précède et de celui qui le suit :un=. 2
IV.2
Écriture explicite des termes
Théorème Soit (un) une suite arithmétique de premier termeu0et de raisonr. Pour toutn∈N, on :un=u0+nr. Plus généralement : pour toutp,un=up+(n−p)r
Démonstration(pas très rigoureuse, tant que l’on n’a pas vu les démonstrations par récurrence) On a successivement : u1=u0+r u2=u1+r=(u0+r)+r=u0+2r u3=u2+r=(u0+2r)+r=u0+3r . . . un−1=u0+(n−1)r un=un−1+r=(u0+(n−1)r)+r=u0+nr
Sinon,un=u0+nretup=u0+pr; par soustraction, on a :un−up=(n−p)rdoncun=up+(n−p)r.
IV.3
Variations
Théorème : Soit (un) un suite arithmétique de raisonr. •Sir=0, la suite (un) est constante. •Sir>0, la suite (un) est croissante. •Sir<0, la suite (un) est décroissante. Démonstration : un+1−un=rd’où le résultat.
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IV.4
Somme des premiers entiers naturels
Théorème Pour toutn∈N, notonssnla sommesn=1+2+3+ ∙ ∙ ∙ +n. n(n+1) On a :sn=. 2 Démonstration : On écritsnà l’endroit puis à l’envers et on ajoute terme à terme. sn=1+2+3+ ∙ ∙ ∙ +(n−1)+n sn=n+(n−1)+(n−2)+ ∙ ∙ ∙ +2+1. En additionnant, on trouve : 2sn=(n+1)+(n+1)+ ∙ ∙ ∙+(n+1)=n(n+1) (car il y antermes égaux àn+1 ). n(n+1) Par conséquent :sn=. 2
IV.5
Sommes des termes consécutifs d’une suite arithmétique
Théorème : n X Soit (un) une suite arithmétique de raisonret soitSn=u0+u1+u2+ ∙ ∙ ∙ +un=ui. i=1 n(n+1)u0+un Alors :Sn=(n+1)u0+retSn=(n+de termes multiplié par la demi1) (nombre 2 2 sommes des termes extrêmes). µ ¶ up+un up+up+1+ ∙ ∙ ∙ +un=(n−p+1) (nombre de termes multiplié par la demisommes des 2 termes extrêmes). Démonstration : Sn=u0+u1+u2+ ∙ ∙ ∙ +un−1+un=u0+(u0+r)+(u0+2r)= ∙ ∙ ∙ +(u0+(n−1)r)+(u0+nr) n(n+1) =(u0+u0+ ∙ ∙ ∙u0)+(1+2+ ∙ ∙ ∙ +n)r=(n+1)u0+r 2 Autre formule : On écrit là encoreSnde deux façons différentes (à l’endroit puis à l’envers). Sn=u0+(u0+r)+(u0+2r)+ ∙ ∙ ∙ +(un−1+(n−1)r)+(u0+nr). Sn=un+(un−r)+(un−2r)+ ∙ ∙ ∙ +(un−(n−1)r)+(un−nr). On ajoute terme à terme : 2Sn=(u0+un)+ ∙ ∙ ∙ +(u0+un)=(n+1) (u0+un) (car il y an+1 termes dans la sommeSn). u0+un D’où :Sn=(n+1) 2 µ ¶ up+un La formuleup+up+1+ ∙ ∙ ∙ +un=(n−p+démontre de la même façon ; le nombre de1) se 2 termes estn−p+1.
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V
V.1
Suites géométriques
Définition
Définition Une suite (un) est géométrique s’il existe un réelqtel que, pour toutn,un+1=q un. qest appeléraisonde la suite.
Exemples : 0 1n •la suite des puissances de 2 : 2 , 2 ,∙ ∙ ∙, 2∙ ∙ ∙est une suite géométrique de raisonq=2 •la population d’une ville augmente chaque année de 1,5 % ; elle est donc multipliée chaque année par µ ¶ 1, 5 le nombre (coefficient multiplicateur) 1+ =on obtient une suite géométrique de raison1, 015. 100 q=1, 015 Remarque :le terme « géométique » vient de ce que chaque terme est la moyenne géométrique du terme qui le précède et de celui qui le suit :un=un−1×un+1.
V.2
Écriture explicite des termes
Théorème Soit (un) une suite géométrique de premier termeu0et de raisonq. n Pour toutn∈N, on :un=u0q. n−p Plus généralement : pour toutp,un=upq
Démonstration(pas très rigoureuse, tant que l’on n’a pas vu les démonstrations par récurrence) On a successivement : u1=q u0 ¡ ¢ 2 u2=u1×q=u0×q×q=u0q ¡ ¢ 2 3 u3=u2×q=u0×q=u0×q . . . n−1 un−1=u0×q ¡ ¢ n−1n un=un−1×q=u0×q×q=u0×q
n p n−p n−p Sinon,un=u0q=u0q×q=upq.
V.3
Variations
Théorème : Soit (un) un suite géométrique de raisonq. •Siq=1, la suite (un) est constante. •Siq>1, la suite (un) est croissante siu0>0 et dé croissante siu0<0. •Si 0<q<1, la suite (un) est décroissante siu0>0 et croissante siu0<0. Démonstration : n n−1n−1 un+1−un=u0q−u0q=u0q(q−1) qui est du signe deu0(q−1) d’où le résultat.
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V.4
Somme des premières puissances d’un nombreq
Théorème Soitqun nombre non nul. 2n Pour toutn∈N, notonssnla sommesn=1+q+q+ ∙ ∙ ∙ +q. •Siq=1,sn=n+1. n+1n+1 q−1 1−q •Siq6=1,sn= = q−1 1−q Démonstration :
p •Siq=1, c’est évident, puiqueq=1 pour toutp. •On écritsnune première fois puis de nouveau en la multipliant parqet on soustrait terme à terme. 2n−1n sn=1+q+q+ ∙ ∙ ∙ +q+q 2 3n n+1 q×sn=q+q+q+q+q. n+1 En soustayant, on trouve :q sn−sn=q−1 (car les autres termes s’annulent deux par deux). n+1n+1 q−1 1−q n+1 Par conséquent :sn(q−1)=q−1 d’oùsn=, que l’on peut aussi écrire . q−1 1−q
V.5
Sommes des termes consécutifs d’une suite géométrique
Théorème : n X Soit (un) une suite géométrique de raisonqet soitSn=u0+u1+u2+ ∙ ∙ ∙ +un=ui. i=1 n+1 1−q Alors :Sn=u0 1−q n−p+1 1−q up+up+1+ ∙ ∙ ∙ +un=up 1−q Démonstration : n+1 ¡ ¢1−q n2n Sn=u0+u1+u2+ ∙ ∙ ∙ +un−1+un=u0+u0q+ ∙ ∙ ∙ +u0q=u01+q+q+ ∙ ∙ ∙ +q=u0. 1−q n−p+1 ¡ ¢1−q n−p2n−p up+up+1+ ∙ ∙ ∙ +un=up+upq+ ∙ ∙ ∙ +upq=up1+q+q+ ∙ ∙ ∙ +q=up. 1−q Exemples : 16 16 3−1 3−1 2 15 1. 1+3+3+ ∙ ∙ ∙ +3= = =21 523 360 3−1 2 20−11+1 10 5−1 5−1 11 12 20 11 11 2. 5+5+ ∙ ∙ ∙ +5=5=5=119 209 277 343 750 5−1 4
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