1 MMD cours polyc
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Eléments de cours de MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS ET DENSES Yann VAILLS Professeur Bibliographie : • Ondes élastiques dans les solides, application au traitement du signal, E. DIEULESAINT et D. ROYER, ed. Masson (1996) • Physique des solides, Neil-W Ashcroft, N-David Mermin ed. EDP Sciences (2002) th• Introduction to Solid State Physics, Charles Kittel 7 edition John Wiley & Sons, Inc. 1996 ou éditions françaises plus anciennes • Mécanique des milieux déformables, équations générales, solides élastiques, fluids, turbomachines, Mostafa FOURAR et Claude CHEZE, Ellipses (2002) • Résistance des matériaux, Pierre AGATI, Frédéric LEROUGE et Marc ROSSETO, DUNOD (1999) • Mécanique des matériaux solides, Jean LEMAITRE et Jean-Louis CHABOCHE, DUNOD (1996) Ce document est une copie du diaporama projeté en cours. Les explications orales données lors des leçons ne sont donc pas rédigées ici. Mécanique des milieux continus et denses - Elasticité, ondes élastiques Yann VAILLS – date de dernière mise à jour : 14/07/2010 Ce cours est disponible à l’adresse suivante : http://www.cemhti.cnrs-orleans.fr/?nom=Vaills 1/75 Ce cours est construit en trois parties. La première, intitulée « VECTEURS – TENSEURS-PROBLEMES RELATIFS AUX CHANGEMENTS DE REPERES – SYMETRIES », introduit la notion mathématique de tenseurs, qui permet de représenter des grandeurs ou propriétés physiques, et de les relier entre elles. La deuxième partie, ...
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Eléments de cours de
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS ET DENSES
Yann VAILLS Professeur
Bibliographie: • Ondes élastiques dans les solides, application au traitement du signal, E. DIEULESAINT etD.ROYER,ed.Masson(1996)• ed.minScieEDP(02cnse20)idolsesdueiqyshPMeravidN-Doft,hsrcW-AeNlise, • Introduction to Solid State Physics, Charles Kittel 7thWhneyilS&s,oncnI.detioinoJ 1996ou éditions françaises plus anciennes • déformables, équations générales, solides élastiques, fluids,Mécanique des milieux turbomachines, Mostafa FOURAR et Claude CHEZE, El)0220es(ips Résistance des matériaux, Pierre AGATI, Frédéric LEROUGE et Marc ROSSETO, • DUNOD(1999)• Mécanique des matériaux solides, Jean LEMAITRE et Jean-Louis CHABOCHE, DUNOD (1996)
Ce document est une copie du diaporama projeté en cours. Les explications orales données lors des leçons ne sont donc pas rédigées ici. Mécanique des milieux continus et denses - Elasticité, ondes élastiques Yann VAILLS date de dernière mise à jour : 14/07/2010 Ce cours est disponible à l’adresse suivante : http://www.cemhti.cnrs-orleans.fr/?nom=Vaills 1/75
Ce cours est construit en trois parties. La première, intitulée «VECTEURSTENSEURS-PROBLEMESRELATIFSAUXCHANGEMENTSDEREPERESSYMETRIES », la notion introduit mathématique de tenseurs, qui permet de représenter des grandeurs ou propriétés physiques, et de les relier entre elles. La deuxième partie, intitulée «PROPRIETESMECANIQUESDELAMATIERE-ELASTICITESTATIQUE-ELASTICITEDYNAMIQUE », traite des déformations élastiques statiques et dynamiques de la matière considérée comme milieu continu. Les vibrations de la matière qui sont abordées sont celles qui apparaissent en proximité du centre de la 1èrezone de Brillouin. Dans une troisième partie, intitulée «VIBRATIONSATOMIQUES,PHONONS », la lapproche des phénomènes de vibration dans matière est élargie en prenant en compte la discontinuité de la matière qui apparait en prenant en compte laspect atomique. Cette échelle de description généralise et donc incluse les résultats obtenus dans lapproche continue.
Mécanique des milieux continus et denses - Elasticité, ondes élastiques Yann VAILLS date de dernière mise à jour : 14/07/2010 Ce cours est disponible à l’adresse suivante : http://www.cemhti.cnrs-orleans.fr/?nom=Vaills 2/75
VECTEURS TENSEURS-
CHANGEMENTS DE REPERES - SYMETRIES
PROBLEMES RELATIFS AUX I. Loi de Curieou : « Comment trouver un lien élémentaire entre cause et effet » « Dans un processus physique la symétrie des effets est supérieure à la symétrie des causes : on ne peut pas perdre de symétrie au cours dun processus physique. »
Exemples (développés en séance) : • la loi de :Réflexion dun rayon lumineux sur un miroir Curie montre que le rayon réfléchi est dans le plan défini par le rayon incident et la normale au miroir • champ magnétique sur un fil parcouru parLaction dun un courant électrique : la loi de Curie montre que le fil est soumis à une force qui se trouve dans le plan perpendiculaire au champ magnétique • La loi de Curie monte que leffet piézoélectrique ne peut avoir lieu que dans des milieux dont le groupe de symétrie ne contient pas de centre dinversion A partir de ce point le problème posé est celui de la traduction mathématique de la relation entre causes et effets.
Dans les milieux anisotropes une causeCappliquée suivant une direction donne naissance à un effet(C)E, en général non parallèle à la cause.
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Illustration : dans un milieu non ordonné on a une relation scalaire entre champ électrique appliqué et densité de r courant induite :j= γE. Par contre dans les milieux r anisotropesjretEne sont généralement pas parallèles.
jr⎛=⎜⎜⎜jj123=γ⎞⎟⎟⎠⎟Er⎡γ=γ⎢⎢⎢γ1211γγγ2122γγγ3123⎤⎥⎥⎛•⎜EE21⎞⎟⎝ ⎣333231⎜⎜⎦⎥⎝3⎠⎟⎟
La notion de«tenseur » donc dès que lon veut apparaît établir desrelations linéaires entre etcauses C effetsE dans les milieux anisotropes. SiC etE des grandeurs vectorielles, en se limitant au sont domaine linéaire la relation entre les composantesC1C2 et C3 causes et desE1E2 etE3 des effets fait intervenir9 cfficients Aji
CiouEjetAijsont de natures différentes : • Ci ouEj sont desgrandeurs physiques, elles caractérisent létat du milieu physique, elles peuvent être nulles ou non • Ajices coefficients caractérisent unepropriété du matériau, ils ne peuvent pas être tous nuls.
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Quelques exemples de tenseurs :
• tenseur de rang 0 (scalaire) : - densité, chaleur spécifique (propriétés) - température (grandeur détat du milieu) • tenseur de rang 1 (vecteur) : - pyroélectricité (propriétés)
champ électrique, force (grandeurs détat du -milieu) • tenseur de rang 2 : permittivité diélectrique Di=εijEj• tenseur de rang 3 : piézoélectricité Dk=dijkSji• tenseur de rang 4 : élasticité Tij=CikjlSkl
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II. Coordonnées covariantes et contravariantes Soient une espace vectoriel E et deux bases dans cet espace {i}eti3,1=2,iej=∑ajiei' )=aijei'
en notation dEinstein (sommation sur les indices répétés)
e1
e2
e3
=
e1'
e2'
j
e3'
⎜⎛⎜a112 a1 ⎝⎜a13
1 a2 2 a2 3 a2
1 a3 2 a3 a3⎟⎟⎟⎠⎞3
Indice de ligne
Indice de colonne
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Sommation sur les lignes
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Problème de la transformation des vecteurs et de leurs coordonnées dans un changement de repère :
colonnes
aji=bij
et
soit V∈E ,V= αjejeVt= βiei' doncαjej=V= βiei'= αjaijei' Remarque:pourreprésenterlesvecteursonutiliseicilanotation : appelé«bra»iglrseuetsnepuorelsevtc appelétek»tnanedplesoureursvectnoencloorev,sp« langlais«tkeacbr»: signifiant « crochets ».
Sommation sur les
b2 2 b2 3 b2
b3⎞⎛⎟β b23⎜⎜⎟⎜⎝⎠⎞⎟⎟β2⎠⎟b33β3⎟
On a donc : αβ =ajde même doùβ =ajbkβdonc aijbkj= δik
on pourra donc écrire : α ⎞ ⎛b1 ⎛⎜α2⎟=⎟b21 ⎜⎝⎜α3⎟⎠⎜⎝⎜⎜b31
=bβ
α
ej αj
ej
α
i' = ajei
=bjβi i
c airavon
cont
' ei
βi
varian
e' i
=bijej
i i β =ajαj
En physique dans 95% des cas on travaille avec des repères orthonormés. Dans ce cas la matrice de changement de base est unitaire, et on a :
− B=bj=A
=A
=ai
soit : ai
=bjdoù :
= ej=ajiei' ei' aijej α =jβ β =jα on change alors de notation en amenant les deux indices en bas, lindice de ligne devenant le premier des deux :
' ej=ajiei =
j
ij
i
' ei=aijej
i=
ij
j
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III. Notion
Indice de ligne
ij
Indice de colonne
III .1. Transformation des composantes dun tenseur
Soient deux repères orthonormés munis des deux bases suivantes(i)eiSoient deux vecteurs et leurs coordonnées dans les deux repères : (i)e(i)(i)e(i)
i=1,2,3
ces deux vecteurs représentent des grandeurs physiques reliées entre elles par une propriété traduite par un tenseur T.On peut écrire les relations suivantes : pi=Tijqj p etk=Tklql
1 p2 soit : p3
⎢⎡1112 =⎢⎢TT1321TT2322 ⎣
13⎥⎤1 232 TT33⎥⎥⎦qq3
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1 ' p2 et :' p3
=⎢⎢⎡T'1112 ⎢⎣T'13
12 T'22 T'23
1 T'32q'2 T'3331⎥⎥⎥⎦⎤q'3
orpk=akipi=akiTijqjde plusqj=aljql donc
soit :
pk=aikajlTjiql=Tklql
et Tkl=akialjTjipar ailleursxk=akixietyl=aljyj
Tlk=aikajlTij
doncxkyl=akialjxiyj
Ce qui démontre que les composantes dun tenseur de rang 2 se transforment comme un produit de 2 composantes de vecteur. On admettra que cette propriété des tenseurs de rang 2 se généralise aux tenseurs de rang nsoit :les composantes dun tenseur de rang n se transforment comme le produit de n composantes de vecteurs.Ainsi on écrira :
Aijk=ailajmankAnml Ceci provient de ce quun tenseur de rang n peut être considéré comme le produit tensoriel de n tenseur de rang 1. Mécanique des milieux continus et denses - Elasticité, ondes élastiques Yann VAILLS date de dernière mise à jour : 14/07/2010 Ce cours est disponible à l’adresse suivante : http://www.cemhti.cnrs-orleans.fr/?nom=Vaills 10/75
III .2. Eléments de symétrie des cristaux et composantes indépendantes des tenseurs (réduction des tenseurs) Akjisont les composantes, dans un repèrexO1x2x3dun tenseur traduisant une propriété donnée dun certain cristal. A ijksont les composantes de ce tenseur dans le même repère et pourune orientation nouvelle du cristal obtenue en appliquant une opération de symétrieS, au appartenant groupe de symétrie ponctuelle du cristal. Il revient au même dappliquerS-1au système daxes en laissant le cristal dans son orientation initiale. = matrice de changement de repère associée àS-1,
[a] on a :
Aijk=apiaqjakrArpqS une opération de la classe de symétries ponctuelles étant du cristal, la nouvelle orientation est indiscernable de celle de départ donc : Aijk=A.jik Ainsi linvariance des propriétés physiques au cours des opérations de symétries impose des relations entre les termes des tenseurs, réduisant le nombre des termes indépendants.
.kji.
.piqjrk..rpq.
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