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Hydrologie s tatistique 2007-2008 M. A babou Idris Abdou Yohan Allouche Renaud Champredonde HYDROLO GIE STA TISTIQUE ENSEEIHT -- Hydraulique et Mécanique des Fl uides 3Hy SE , Mastère Hy (2007-08) Contrôle d' Hydrologie Statistique 1/27Hydrologie s tatistique 2007-2008 M. A babou Table des m atières : Exo 1. Exercice de reconstitution de données par régression linéaire (pluies mensuelles à Mens et Roissard, bassin du Drac, Alpes) .................................................3 TD 1 : Hydrologie statistique – analyse univariee – gumbel & poisson : Crues annuelle & crues extrêmes de la Garonne à Toulouse. ...................................................10 Extension du TD ..............................................................13 TD2 : Exercice 2 : A.C.P. (Analyse en Composantes Principales) ....................................................................................16 TD3 - Bureau d’Etudes « Hyd.Stat.», Jan .2007. Analyse statistique de données de pluies & de débits.................22 2 /27Hydrologie s tatistique 2007-2008 M. A babou Exo 1. Exercice de reconstitution de données par régression lin éaire (pluies m ensuelles à Mens et Roissard, bassin du Drac, Alpes) Reconstitution des pluies mensuelles de Mens à partir de celles de Roissard: ● Ma rs 1946: vérifier et compléter la réponse du polycopié, si possible en refaisant vous-mê me le calcul de reconstitution, et donner aussi l'intervalle de confiance à 90% (à partir d'une table de la F de répartition de Gauss); ● Ma rs 1940: procéder de même.. obtenir (i) la pluie reconstituée, et (ii) l'intervalle de confiance à 90 Pluies mensuelles observées sur deux stations de jaugeages dans les Alpes. Le tableau de pluies mensuelles fourni sur ces deux stations alpines comportent des données manquantes en mars 1946 et 1940 à la station de Me ns. Illustration 1: H istogramme de M ens e t R oissard e n f onction du t emps a) Si on avait pas la deuxième station on aurait corréler Y(t ) de mens avec le temps b) Ici comme on a une deuxième station (Roissard) on profite pour faire une estimation aléatoire. Me ns étant conditionné par R oissard on calque en terme de pluviométrie l’évolution de la station de Me ns sur celle de R oissard. Ainsi on estime que quand la pluviométrie est importante sur R oissard, elle l’est aussi sur Me ns et vice versa. Ce qui nous donne de tendance. 3/27Hydrologie s tatistique 2007-2008 M. A babou Illustration 2: T endance de s pl uviométries de M ens e t R oissard a) Analyse des données par ext rapolation graphi que H istogramme de M ens e t Roi ssard e n fonc tion du t emps : Histogramme données Roissard 200 15 0 100 5 0 0 Années 4/27 8192 1929 1930 1931 1932 1933 1934 1935 1936 1937 1938 1939 1941 1942 1943 1944 1945 1947 1976 Pluviométrie en mmHydrologie s tatistique 2007-2008 M. A babou Histogramme données Mens Histogramme données Mens - Roissard 160 140 120 100 80200 60 180 40 20160 0 140 120 S érie1 100 Années S érie2 80 60 40 20 0 Années Regression linéaire de Mens / Roissard y = 0,7367x + 3,2264 16 2 R = 0,586114 12 10 S érie1 8 Linéaire (S érie1)6 4 2 0 0 5 10 15 Racine (pluvio Mens) a) S i on a vait pa s la de uxième station on a urait c orréler Y (t ) de m ens a vec le temps b) Ic i c omme on a une de uxième station (Roi ssard) on profi te pour fa ire une e stimation aléatoire M ens é tant c onditionnée pa r Roi ssard on c alque e n t erme de pl uviométrie l’é volution de la station de M ens sur c elle de Roi ssard. A insi on e stime que qua nd l a pl uviométrie e st importante sur Roi ssard, e lle l’e st a ussi sur M ens e t vi ce ve rsa. Ce qui nous donne de tendance. 5/27 1928 1929 1930 1931 1928 1932 19331929 19341930 1935 1931 1936 1932 1937 1933 1938 1934 1939 19411935 1942 1936 1943 1937 1944 1938 1945 1939 1947 1940 1976 1941 1942 1943 1944 1945 1946 1947 1976 Pluviométrie en mm Racine (pluvio Roissard) Pluviométrie en mms s s s r r s s s Hydrologie s tatistique 2007-2008 M. A babou b) R ésolution anal ytique : L e travail c onsiste à la re constitution de s donné es de pl uies à M ens à pa rtir de c elle de Roi ssard à la même pé riode de l’a nnée. D ’a bord on a nnule les de ux poi nts m anquants e t on a pplique l’a nalyse sur l es poi nts c onnus. Com me on c onnaît les donné es sur l a station N °2 a lors on fa it la ré gression l inéaire de X1/X2. S oit Y = X1= √ (P1) : va riable à e xpliquer (M ens) X = X2= √ (P2) : va riable e xplicative (Roi ssard) On t race le tableau de s pl uviométries donné Y =√(P1) Y = a X +b = 0.974*X – 0.800 a = * ( 1 / 2) b = E(Y ) – E(a X) = my – a *m x e X = sqrt(P2) P1(m m)= [0.974 s qrt(P2) – 0.800] ² A .N P our P _Roissard = 60 mm on a P_M ens = 45,49 mm P _Roissard = 50 mm on a P_M ens = 37,05 m m M éthode On pre nds l’a pproximation G aussienne la m eilleure M oments de M ens X = √ P1 : m1 = 6.7 e n √ m m e t 1 = 2.9 en √ m m M oments de Roi ssard Y = √ P2 : m2 = 7.7 e n √ m m e t 2 = 2.8 en √ m m a = * ( 1 / 2) = 0.974 e t b = E(Y ) – E(a X) = my – a *m x = -0.8 √ m m L a droi te de ré gression i ntroduit une e rreur ( di te d’e stimation) Par dé finition ^ Y = a X + b e st la m oyenne c onditionnée sachant que ^ Y = E (Y/X) : théorème de Ba yes e t c ’e st le m eilleur e stimateur ( M in e ²) si X, Y Gaussien. 6/27r £ r £ s Þ s ‡ s s r s e s s s e s s £ r s Hydrologie s tatistique 2007-2008 M. A babou E rreur e = Y - ^Y e st une V.A e = √ (1 - ) * y _x; y = 0.94 ( M ens – Roi ssard ) rms = e / y = √ (1 - ²) A.N rms = 0.34 Root m eans square e rror E rreur re lative à la norm alisation Intervalle d e confiance h achurée à I90% d irectement l ié à e : L ’obj ectif e st de c aractériser une intervalle de c onfiance a utour de la m oyenne telle que la va riable aléatoire a it une proba bilité P = 90% d’a ppartenir à c ette intervalle à pa rtir d’une table de la la fonction de ré partition F (u) d’une va riable ga ussienne c entrée ré duite [N (0,1)] Table de la FdR de Gauss F(0) F(0.25) F(0.52) F(0.84) F(1.28) F(1.64) F(2.32) F(2.57) 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95 0.99 0.995 L ’i ntervalle à 90% de Probabilité (I90 %) est : Proba ( U 1.64) = 0.95 Proba ( U -1.64) = 0.05 pa r s ymétrie de la loi D onc Proba (-1.68 U 1.64 ) I90 % = [-1.68 ; +1.68 ] pour l a va leur a léatoire c entrée ré duite N(0,1) Or X = mx + x*U U = 1.64 pour I90 % = ^ Y +U * e On obt ient donc la va riable a léatoire X ga ussienne N[mx, x^2] L ’obj ectif e st de gé nérer un de s poi nts ( étoiles bl eues) qui a ppartienne à l’i ntervalle I90% qu’on va corréler pa r e pui s re constituer Y n : Yn_ r econstitué = a X n +b + (e * G) G e st une ré plique d’ une V.A N [0,1] N[0,1] : Générateur d’une V.A ga ussienne ré duite Ce tte m éthode e st intéressante c ar x e t interviennent al ors q ue la p remière mé thode (dite d e glissement) introduit b eaucoup d ’e rreur (notamment d ans le calcul d e var iance). 7/27Hydrologie s tatistique 2007-2008 M. A babou Y =√ (P1) e X = √ (P2) 8/27Hydrologie s tatistique 2007-2008 M. A babou Figure 1 . Tableau p luies me nsuelles d e mar s avril à M ens & R oissard (BV d u Drac, Alpes) Pluies Mens uelles en 2 s tations d' un B assin V ersant du D rac ( de 1928 à 1947, et en 1976) S1 Mens S2 R oissard Années Mars Avril Mars Avril 1928 61 84 44 132 1929 7 65 3 79 1930 109 53 135 115 1931 90 40 116 57 1932 59 67 101 89 1933 33 21 83 44 1934 74 135 88 130 1935 41 18 91 131 1936 56 132 64 132 1937 143 56 188 78 1938 3 19 3 7 1939 53 91 86 92 1940 37.05 x 50 112 1941 45 83 55 117 1942 19 23 40 42 1943 8 25 12 35 1944 19 30 20 30 1945 19 17 18 18 1946 45.49 x 60 44 1947 103 35 134 31 1976 57 60 62 65 9/27a b b b b a b b a a s b b a a Hydrologie s tatistique 2007-2008 M. A babou HYDROLOGIE STATISTIQUE – TD1: ANALYSE UNIVARIEE – GUMBEL & POISSON : CRUES ANNUELLE & CRUES EXTREMES DE LA GARONNE A TOULOUSE 1.Quelle est la variable hydrologique étudiée (expliquez le terme crue)? La variable hydrologique étudiée est la hauteur d'eau. En utilisant la courbe de tarrage on peut obtenir facilement les débits. 2. Utilisez l a F dR pr oposée pour obt enir l a cr ue annuel le cent ennale (expliquez). Question subsidiaire: est-ce une loi de Gumbel ? (paramètres=?) Pour c ela il c onvient a u pré alable de dé terminer s ’i l s’a git d’une loi de Gumbel e t s’i l en e st le c as, d’i dentifier l es pa ramètres [ , ] qui c aractérisent la loi de Gumbel. a) La r eprésentation gr aphique laisse (à pri ori) à pe nser qu’i l pourra it s’a gir d’une loi de Gumbel. En e ffet nous a vons là : une re présentation à l’e nvers du gra phe de la FdR: H =f [ F dR (H) ] O n l it sur l ’a xe de s ordonné es la ha uteur e t sur l ’a xe de s a bscisses la FdR(H ). On c onstate é galement que c es de ux a xes ont subi une transformation qui re ste à déterminer. b) Pour c onfirmer qu’i l s’a git bi en d’une loi de Gumbel nous propos ons la m éthode qui consiste à tester 3 poi nts a ppartenant à la séquence de s ha uteurs tracés. Si ces trois points sont a lignés pa r s uite de la transformation a lors nous pourrons a ffirmer qu’i l s’a git d’une loi de Gumbel. Au pré alable il c onvient de c aractériser l a transformation e ffectuée sur l es a xes. En fa isant l’hypot hèse que la sus transformation e st une re lation a ffine (type y= a x +b) lorsque F(H ) est une loi de Gumbel ère 1 Etape : Détermination d es p aramètres [ , ] Re marque [ , ] sont e n m ètre c ar l a ha uteur H e st e n m