Quelques notions d'irrégularité uniforme et ponctuelle : le point de vue ondelettes, Different concepts of uniform and pointwise irregularity : the wavelet point of view

THESE
presentee par
Marianne CLAUSEL
pour obtenir le grade de
DOCTEUR DE L’UNIVERSITE PARIS XII
Specialite : Mathematiques
Sujet :
Quelques notions d’irregularite uniforme et
ponctuelle : le point de vue ondelettes
Soutenue le 27 novembre 2008 devant le jury compose de
M.Patrice Abry Examinateur
Mme Anne Estrade Examinatrice
M. Yanick Heurteaux Rapporteur
M.Jacques Istas
M.Stephane Ja ard Directeur de these
M.Yves Meyer ExaminateurRemerciements
Je tiens tout d’abord a adresser mes plus vifs remerciements a mon directeur de these
Stephane Ja ard pour son aide sur le plan scienti que mais aussi pour sa gentillesse et sa
disponibilite. Je lui suis tres redevable du temps qu’il a consacre a me faire pro ter de son
experience. Ce travail doit beaucoup a ses conseils avises mais bien plus encore a ses encoura-
gements et a son soutien sans faille qui ne se sont jamais dementis durant ces quatre annees.
Je souhaite aussi adresser un grand merci a mes deux rapporteurs que sont Yanick
Heurteaux et Jacques Istas. Leur lecture attentive et leurs remarques judicieuses m’ont ete
tres utiles et m’ont suggere plusieurs prolongements a mes travaux.
Je suis extr^emement honoree, qu’avec autant de bienveillance, Yves Meyer ait accepte
d’^etre mon president de jury de these. Les ondelettes sont au coeur de ce travail et je suis
tres attee qu’Yves Meyer ait bien voulu s’y interesser.
Je suis aussi tres heureuse de pouvoir compter Anne Estrade parmi les membres de
mon jury. La deuxieme partie de cette these, sur les champs aleatoires gaussiens, lui doit
enormement. Qu’il me soit donc permis de la remercier, ainsi bien sur^ que Laure Coutin,
pour le temps qu’elles m’ont consacre toutes deux sans compter. Je suis donc tres contente
qu’Anne Estrade puisse assister a ma soutenance de these et voir ainsi l’aboutissement de
mon travail.
En n je remercie beaucoup Patrice Abry, d’avoir repondu si volontiers a mon invitation.
J’avais dej a eu l’occasion de le rencontrer au SCAM et je suis tres heureuse qu’il fasse partie
de mon jury.
Ce travail de these a ete aussi pour moi l’occasion de rencontres et de collaborations
fructueuses. C’est ainsi pour moi un tres grand plaisir d’adresser de chaleureux remerciements
a Beatrice Vedel. J’ai adore nos disputes joyeuses sur msn pour boucler nos intros et encore
plus apprecie les soirees crepes et la decouverte des rivages vannais sous le vague pretexte
d’un article a peau ner. J’espere que cela n’est que le debut de nombreux articles et surtout
de nombreuses soirees decoulant naturellement du besoin de les rediger. Je remercie aussi Sa-
muel Nicolay avec qui j’ai decouvert les joies de l’analyse multifractale faible et des fonctions
de Weierstrass. Grace a lui j’ai appris qu’on pouvait encore envisager de recruter dans une
equipe de foot Fabien Barthez (ce qui est exceptionnel).
Le SCAM{dont j’ai vu la naissance au debut de ma these{a ete aussi l’occasion pour
moi d’assister a de nombreux exposes passionants et aussi de nombreux echanges. Je tiens a
en remercier les organisateurs : Jean-Marie Aubry et Stephane Seuret{que je remercie aussi
pour ses conseils mathematiques (et autres) ainsi que son aide qu’il ne m’a jamais menagee.
Je remercie aussi les gens dont j’ai eu l’occasion de faire la connaissance au SCAM : bien sur^
Antoine Ayache{qui a temoigne beaucoup d’interet pour mes travaux et m’a donne de nom-
breuses idees toutes judicieuses, Pierre Bertrand dont les travaux communs avec Jean Marc
Bardet ont ete pour moi source d’inspiration avec j’ai pu avoir des echanges extr^emement
interessants, Alexandre Brouste, Yann Demichel (compagnon de piscine a bulles, adepte par
ailleurs de la dimension de bo^ te), Chlotilde Melot (’grande soeur’ que je remercie tout par-4
ticulierement) et bien sur^ Pierre Chainais qui a ete une mine d’idees et m’a apporte mains
eclairages sur mon travail, il a par ailleurs participe a ma these en realisant pour moi des
simulations numeriques de lms aleatoires. Je remercie aussi la communaute du Brownien
Fractionnaire : Jean-Marc Bardet, Serge Cohen et Celine Lacaux notament.
Je veux en outre remercier le personnel scienti que et administratif du Laboratoire
d’Analyse et de Mathematiques Appliquees de l’Universite Paris 12, notamment Frank Pa-
card et Colette Guillope, qui ont toujours fait en sorte que je dispose d’excellentes conditions
de travail. Je remercie aussi entre autres Benoit Daniel, Chlotilde Fermanian, Cyril Odasso,
Frederic Charve, Julien Bremont, Laurent Mazet, Rejeb Hadiji, Jacques Printems{qui a par-
ticipe a l’elaboration de cette these en simulant mes champs aleatoires exotiques{ et bien sur^
Marguerite Zani future maman a qui je souhaite tout le bonheur possible. En n je remer-
cie tres vivement tous ceux avec qui j’ai partage le bureau des thesards et pu avoir moults
discussions chaleureuses et passionnees : Arnaud et Aurelia membres de la ’famille multifrac-
taliste’ qui ont tous deux investi maintenant le sud de Paris et qui je l’espere n’oublieront
pas leurs attaches cristoliennes, Anna, Fehti (tunisien adorable ayant migre pour trouver des
italiennes avant le retour au bercail), Abdelattif (grand organisateur de pot qui nous manque
bien sur^ ! !), Boris (avec qui j’ai eu de franches rigolades et dont une phrase mythique restera
toujours dans la memoire d’Olivier), Habib, Vidian, Saida (avec qui j’ai toujours ete tres
heureuse de discuter), Pieralberto (italien chaleureux comme il se doit) et Zaynab.
Je souhaiterais aussi pro ter de cette petite occasion qui m’est donnee pour remercier
tres chaleureusement mes collegues du departement Mesures Physiques de l’IUT de Creteil
avec en tout premier lieu Christian Cuesta, qui en tant que directeur de l’IUT m’a per-
mis de faire cette these dans les meilleures conditions possibles et notament de bene cier
d’amenagement de services. Je tiens aussi a cet egard a remercier Benedicte Faure chef du
departement MP qui m’a aide au mieux a combiner enseignement et recherche.
Mais aussi et bien evidemment, je ne saurais oublier tous mes autres collegues gr^ ace a
qui j’ai un vrai et reel plaisir a enseigner en Mesures Physiques : Benjamin (petit carcassonais
a qui je souhaite longue vie chez nous), Cecile-Marie (co-bureau absolument adorable ayant
pour seul defaut de parler anglais : frequent chez les anglicistes), Charles a( qui je passe le
bonjour ainsi qau’ a son ls Noah), Christine, Claude, Do na (pilier du departement sans qui
rien ne serait..), Francoise (avec qui j’ai vecu la grande aventure inoubliable de l’alternance),
Frederic (collegue et bien sur^ avant tout ami que je retrouve toujours avec enormement de
plaisir dans la salle cafe m^eme en cas de panne de cafe a la pause), Gilles a( qui je fais deux
vraies bises sur les deux joues), Gerard (qui a toujours suivi mon travail avec inter^et et qui en
tant que co-TD m’a toujours le un coup de main en cas de pepin), Lassaad, Laurent (dont
j’apprecie et l’accent du sud et le foie gras qu’il ramene a Noel), Laurent (Allibert), Jean-Noel,
Jean-Pierre (autre accent du sud d’une region particulierement bien choisie..), Michele (qui
m’avait vu debuter ma these et qui etait vraiment une tres bonne copine), Nicolas, Regis
(autre co-bureau causant lui analyse de Fourier et signal), Vincent (petit nouveau a qui je
souhaite la bienvenue) et Yann (dit le Chimiste{autres surnoms disponibles : se renseigner{qui
lui aussi je l’espere va rester un bon moment dans le departement).
Un grand merci aussi a ma famille et a mes amis qui ont tous suivi ma these du debut a
la n et m’ont tous temoigne a leur maniere leur inter^et pour mon travail de recherche : mes
parents, mes beaux-parents, Bruno, Marie, Elsa, ma grand mere mais aussi Rabbia, sihing
emerite et Nadia qui m’a beaucoup touchee en venant a ma these.
En n et avant toute chose, ces dernieres lignes sont pour mon mari Olivier, qui a tou-
jours ete present a mes c^otes que ce soit dans les petits ou dans les grands moments de la vie.5
Ce travail n’aurait aucun sens sans son a ection et sa con ance indefectible. Cette these lui
est dediee ainsi qu’ a notre ls, le petit Romain.Table des matieres
1 Introduction 12
2 Une notion d’irregularite uniforme 20
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Notion de regularite H olderienne uniforme forte . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.1 De nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.2 Regularite H olderienne forte et ondelettes . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Fonctions uniformement irregulieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
p2.3.1 Une notion d’irregularite uniforme dans le cadre L . . . . . . . . . . 28
12.3.2 Une d’irre dans le cadre L . . . . . . . . . . 30
d2.3.3 Resultats d’inclusions entre les ensembles I (R ) . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Criteres ondelettes d’irregularite uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.1 Deux criteres ondelettes plus generaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4.2 Optimalite des hypotheses et de la correction logarithmique dans les
criteres ondelettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.3 Preuve des criteres ondelettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5 Quelques exemples classiques de fonctions uniformement irregulieres . . . . . 52
2.5.1 Fonctions de type Weier