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Mathématiques Lycée Ressources pour la classe de seconde - Probabilités et Statistiques – Ce document peut être utilisé librement dans le cadre des enseignements et de la formation des enseignants. Toute reproduction, même partielle, à d'autres fins ou dans une nouvelle publication, est soumise à l'autorisation du directeur général de l'Enseignement scolaire. Juin 2009 eduscol.education.fr/ D0015 Table des matières Table des matières .................................................................................................................. 2 I. Introduction ..................... 3 II. Des statistiques aux probabilités ............................................................................ 5 1. Statistique descriptive, analyse de données ........ 5 1.1. Résumé des notions abordées au collège .................................................................... 5 1.2. Analyse de données ........................................ 5 1.3. Fréquences cumulées croissantes ................................................................................. 6 2. Probabilité sur un ensemble fini ............................ 7 2.1. Résumé des notions abordées en troisième ................................................................ 7 2.2. Distribution de probabilité sur un ensemble fini, probabilité d'un événement .... 7 2.3. Modélisation, modélisations ? ...................................................... 7 3. Calculs de probabilités ............................................................................ 8 3.1. Réunion et intersection de deux événements ............................................................. 8 3.2. Tableaux croisés .............................................. 9 3.3. Arbres des possibles ....................................................................... 9 3.4. Arbres pondérés ............ 11 3.5. Exemples d’algorithmes : marche aléatoire et temps moyen . 12 III. Échantillonnage ........................................................................................................ 14 1. Fluctuation d’échantillonnage ............................................................. 14 1.1. Notion d'échantillon ..................................... 14 1.2. Intervalle de fluctuation ............................... 15 2. Applications de la fluctuation d’échantillonnage ............................................................. 17 2.1. Prise de décision à partir d’un échantillon ................................ 17 2.2. Estimation d’une proportion ....................................................... 18 IV. Repères pour l’évaluation ................................ 20 Direction générale de l'enseignement scolaire Probabilités et Statistiques 2/21  I. Introduction L’enseignement de la statistique et des probabilités constitue un enjeu essentiel pour la formation du citoyen, lui donnant des outils pour comprendre l’information chiffrée, décider et choisir de façon éclairée et participer au débat public. Il est par ailleurs très utile aux autres disciplines qui s’appuient fréquemment sur des modèles statistiques ou probabilistes. Le rapport de la commission de réflexion sur l’enseignement des mathématiques exprimait en ces termes l’enjeu de cet enseignement : « l’objectif d’une initiation aux probabilités et à la statistique au niveau collège et lycée est d’enrichir le langage, de repérer des questions de nature statistique, de définir des concepts qui fonderont un mode de pensée pertinent, rassurant, remarquablement efficace ». Les programmes du collège ont inscrit l’étude des séries statistiques avec des indicateurs de position et de dispersion. Des notions de probabilité sont abordées en classe de troisième à partir de situations familières permettant, entre autres, de rencontrer des probabilités qui ne soient pas uniquement définies à partir de considérations intuitives de symétrie mais qui prennent appui sur l’observation d’épreuves répétées et la stabilisation des fréquences. Classe de sixième Classe de cinquième Classe de quatrième Classe de troisième Organisation Organiser des données en Repérage sur une droite Moyenne pondérée. Caractéristiques de position : et gestion de choisissant un mode de graduée et dans le plan. médiane, quartiles. données représentation adapté. Classes, effectifs, fréquences. Approche de caractéristiques Lire et compléter une Tableaux de données : de dispersion : étendue. graduation sur une demi- lectures, interprétation, Notion de probabilité droite graduée. élaboration, Lire et interpréter des représentations graphiques. informations à partir d’une représentation graphique. En conséquence, il s’agit de veiller à bien inscrire l’enseignement de la classe de seconde en continuité avec celui du collège. Cela vaut autant pour la seconde générale et technologique que pour la voie professionnelle dont les programmes en vigueur à la rentrée 2009 font une 1part importante aux probabilités et à la statistique . Il conviendra notamment d’éviter des révisions systématiques et de proposer des situations permettant le réinvestissement des notions abordées dans les classes précédentes. Le travail statistique sur données réelles, brutes ou préalablement traitées avec l’aide incontournable de l’outil informatique, est de nature à favoriser la prise d’initiative et la conduite de raisonnements pour interpréter, analyser ou comparer des séries statistiques sur des sujets en prise avec l’actualité des élèves. Pour reprendre le rapport de la commission de réflexion sur l’enseignement des mathématiques, « le matériau brut travaillé par la statistique est constitué de données expérimentales, les outils théoriques utilisés sont essentiellement la géométrie et l’algèbre linéaire pour la statistique exploratoire et les probabilités pour la statistique inférentielle et l’outil matériel est l’ordinateur ». Ainsi les outils de statistique descriptive travaillés au collège pourront être efficacement sollicités lors de l’exploration de fichiers comportant des données réelles afin d’exhiber des 1 BO spécial n°2 du 19/02/2009 Direction générale de l'enseignement scolaire Probabilités et Statistiques 3/21 régularités, des dominantes ou des caractéristiques que la masse de données ou le nombre de variables étudiées ne livrent pas facilement. Cette pratique de fouille de données (statistique exploratoire, data mining) est de nos jours essentielle tant les données disponibles sont nombreuses et constituent des repères indispensables pour les entreprises ou les politiques publiques dans leurs choix stratégiques et décisionnels. Histogrammes, représentations graphiques, calculs de moyennes, de médianes, de quartiles sont autant d’outils que les élèves pourront utiliser pour faire émerger des questions sur les données, dégager des problématiques d’étude ou résumer l’information essentielle, d’autant plus que les outils informatiques accessibles aux élèves permettent de travailler sur des gros fichiers. Les premiers éléments de probabilité ont été abordés au collège essentiellement dans des situations de jeux (lancers de dés ou de pièces, loteries, tirages dans des urnes). Cela a permis une première approche de quelques lois de probabilité qui seront progressivement décontextualisées au lycée en vue de fournir des modèles pour d’autres champs d’application, tant dans les domaines scientifiques (sciences physiques et chimiques, sciences de la vie et de la terre, sciences de l’ingénieur, etc.) que dans les sciences économiques et sociales. Ainsi les élèves ont été familiarisés, par des lancers de pièces équilibrées, avec la loi uniforme sur {0 ; 1} qui permettra, par exemple, d’aborder de nombreux sujets (sex-ratio, parité). De même le tirage dans une urne composée de boules de deux couleurs différentes, dans des proportions p et (1 - p), fournit une première approche de la loi de Bernoulli, qui s’ouvrira sur des applications aux sondages (estimations à la sortie des urnes les soirs d’élection), au contrôle de qualité des productions industrielles (maîtrise statistique des processus de production) ou aux diverses estimations sur échantillon. Toutes ces questions relèvent de la statistique inférentielle, qui fonde ses résultats sur des considérations probabilistes et permet l’induction à partir de données observées. Les questions de fluctuation d’échantillonnage constituent un axe important de la formation du futur citoyen, qui aura ainsi été sensibilisé au lycée à la nécessaire prudence à avoir avant d’interpréter une évolution ou d’effectuer des comparaisons. En effet toute évolution de moyenne ou de proportion, toute comparaison d’échantillons doit être nuancée et relativisée au regard des variations liées à la fluctuation d’échantillonnage. Afin d’entrer vraiment dans une démarche statistique en lien avec les concepts probabilistes, on gagnera à utiliser, comme fil rouge, un fichier de données réelles pour mettre en œuvre 2ou pour illustrer les différentes notions inscrites au programme . En procédant ainsi, on limite le temps d’appropriation des données et les élèves peuvent plus rapidement se concentrer sur les outils mathématiques, la situation étudiée devenant familière. Par ailleurs, c’est en ayant recours à des données réelles que l’on développe les capacités d’observation et de raisonnement des élèves : comprendre la nature des données, repérer l’organisation d’un tableau, imaginer et réaliser des représentations ou des calculs adaptés, comprendre un graphique sont autant d’occasions de raisonner et d’exercer l’esprit critique. Dans les exemples développés dans ce document, on a tenu à souligner ces différents aspects de la formation, montrant l’ampleur et l’ambition des raisonnements conduits, ainsi que la place légitime de cet enseigne