Physique Statistique
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Paris 7 Physique Statistique
PH 402
EXERCICES
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Feuille 2 : Densit´es d’´etats d’une particule quantique
1 Densit´e d’´etats d’une partiqule “libre”
1. Calculer la densit´e ´energ´etique des ´etats stationnaires d’une partiqule “libre”, “non relativiste”, de
masse m, spin nul, dont les d´eplacements sont restreints `a un segment de longueur L. Comparer avec
la densit´e d’´etats ...
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PH 402
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Feuille 2 : Densit´es d’´etats d’une particule quantique
1 Densit´e d’´etats d’une partiqule “libre”
1. Calculer la densit´e ´energ´etique des ´etats stationnaires d’une partiqule “libre”, “non relativiste”, de
masse m, spin nul, dont les d´eplacements sont restreints `a un segment de longueur L. Comparer avec
la densit´e d’´etats ...
Paris 7 PH 402 –
PHYŝIQUe STaTIŝTIQUe EXERCICES Feuille2:Densite´sd’e´tatsd’uneparticulequantique
1ILRb”eT´ŝIeNDaTeT’´edaeNU’dŝ“eLUQITR 1.aCcllure´e´energladensite´sestatite´deuqreai’usdatstnnioilrblu“etrqienapiviselatnonre”,“ed,”et massemiert`stnsnuaemgecelantmeonssestrntdelongueurips,epd´estlon,dulnnL. Comparer avec ladensit´ed’´etatsdansunesituationencoreplusartificielle:lapartiqulesede´placesurunedroite infinie,quasilibrementa`celapr`esquel’onimposea`safonctiond’onded’ˆetrep´eriodiqueavecla pe´riodeL. 2.emacpl´entsotsenniertsersenua`sttsde´etaemeplamˆuqelraiteldsodtnu´refda’cnesrietctaDnegularie d’aireS? .lovedeuqide`pipeeumete´obıˆusend”na´el´rallhepatanct´si’´edatetelsdrapauqitl“elerbiDneV? .sontmeomCapenqitrpstnuruonedulpiesseelrse´tnomid´fir´ec´edesultatsps? .lp)exemere´me,fn´eliel’hurl’umpoerarzagedsnosid(d’asecsledomatunanDanednvsuumole ordinairementquotidien(disons1litre),a`tempe´raturedesaison(estimerl’´energiemoyenneεde l’atome),estimerlenombred’´etatsstationnairesd’´energiecompriseentreεet 1,01ε. (Patrimoine −1−1 culturel de la physicienne standard : volume molaire d’un gaz parfait≈22 l,R≈8,K ,3 J mole 23−34 NA≈6×10 ,h¯≈10 SI.)
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DeNŝITe´d’e´TaTŝd’UNeaRTIQULeReLaTIVIŝTe Onconsid`ereunepartiqule“libre”relativistedansuneboıˆtee´tanche.Dansun´etatpropredela quantite´demouvement~p, la fonction d’onde correspondant est encore de la forme exp(i~p∙~r/h¯) et 2 2 2 2 4 l’´energievautε=c p+m csnedalreluclaC.rnontalesivi.”etti“elamiefilre´ir.Envtatsd’´eit´e
PaRTIQULedeŝIN1/2eNR´eŝeNced’UNcHaMMagN´eTIQUe −→ Unepartiqulecharge´edespin1/2´evoluedansunchampmagn´etiqueBuniforme et constant, dans uneboıˆtee´tanche.L’´energied’une´tatstationnaireapourexpression 2 p ε=¨µB, 2m −→ selonquesonmomentmagne´tiqueestdansun´etatpropreparall`eleouantiparalle`lea`B. Calculer les densit´esd’e´tatscorrespondantesρ±(εsiupedaltisnote´leta)ρ(ε).
DeNŝIT´ed’´eTaTŝ´eLecTRONIQUeŝdaNŝUNcRIŝTaL Une´lectronestmobiledansuncristal`aunedimensiondelongueurL, comportantN-satome´sqeiuid tants.Ladistanceentredeuxatomesconse´cutifsesta=L/N. Dans l’approximation dite des “liaisons fortes”—applicableaucaso`ulese´lectronsrestentfortementli´esauxnoyaux—,onmontrequela relationentrel’e´nergieetlenombred’ondedel’e´lectronestdonn´eepar
ε=Wcoska,
−π/a < k < π/a.
Les conditions aux limites imposent par ailleursk=n2π/L, ounest un entier surnaturel. Calculer ladensit´ed’´etatsρ(εorecspredaone.ntrbouacrlceratt,enortcele´’led)
5ŝdeNeD´TIŝ´’deTaTeNaRTIQULeŝ Onconside`reunsyst`emedeNseefnee´mrplequtiarserbil“srapzag(”)etdfaitrnabisce)!s,el(sip,nnass dans une boˆıte de volumeV. −→ 1.reuqu’´nMnortionnaireetatstatractseeme`tsysudnvrupa´eisert´acruceetKenpsdu’a3ace`N −→ dimensions,de´finiparsescomposantesK= (k1x, k1y, . . . , kN z). 2.rertnoMmoneleuqledu3dunoanriseodtnelombred’´etatsstatiN−vecteur d’onde est dans le domaine (K, K+ dK) est donn´e par · ¸ N V 3N−1 N(K,dK) =S3N(1)KdK, 3 (2π)
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Paris7,Phy.Stat.2:densite´sd’e´tats.
o`uS3N3enunon´eitredereyaedalps`hstl’aire(1)eNdimensions. .dnEude´(ensdasteeinmadoleltnodserigrene´’tsst´etannaiatioeuelriqeer’donbmE, E+ dE) est donn´epar µ ¶ N S3N(1) 2m N N−1 Ω(E,dE) =VEdE. 3N2 2(2π)h¯
.egraint´esl’rentsaGsueleddedentlacualncEe´ffidsere`inamxu Z Z +∞+∞ −(x+x+∙∙∙+x) 1 n In= dx1. . .dxne , −∞ −∞ montrerquel’expressiondel’airedelasphe`rederayonunit´eenndimensions est n/2 π Sn(1) = 2. Γ(n/2)
.Endude´lerineda´tis’´edatetsρ(Egezaapfria,tiasniquesonexpressioanpporhce´denalsecasec)d NÀ1.
