On the geometry of the spin-statistics connection in quantum mechanics [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Andrés Reyes

OntheGeometryofthe
Spin-Statistics Connection
inQuantumMechanics
Dissertation
zurErlangungdesGrades
,,DoktorderNaturwissenschaften“
amFachbereichPhysik
derJohannesGutenberg-Universita¨t
Mainz
vorgelegtvon
Andre´sReyes
geb. inBogota´
Mainz2006Zusammenfassung
Das Spin-Statistik-Theorem besagt, dass das statistische Verhalten eines Systems von
identischen Teilchen durch deren Spin bestimmt ist: Teilchen mit ganzzahligem Spin
sind Bosonen (gehorchen also der Bose-Einstein-Statistik), Teilchen mit halbzahligem
Spin hingegen sind Fermionen (gehorchen also der Fermi-Dirac-Statistik). Seit dem
urspru¨nglichenBeweisvonFierzundPauliwissenwir,dassderZusammenhangzwi-
schenSpinundStatistik ausdenallgemeinenPrinzipienderrelativistischen Quanten-
feldtheoriefolgt.
Man kann nun die Frage stellen, ob das Theorem auch dann noch gu¨ltig bleibt, wenn
man schwa¨chere Annahmen macht als die allgemein u¨blichen (z.B. Lorentz-
Kovarianz). Es gibt die verschiedensten Ansa¨tze, die sich mit der Suche nach solchen
schwa¨cheren Annahmen bescha¨ftigen. Neben dieser Suche wurden u¨ber viele Jahre
hinwegVersucheunternommeneinengeometrischen Beweisfu¨rdenZusammenhang
zwischen Spin und Statistik zu finden. Solche Ansa¨tze werden haupt-
sa¨chlich, durch den tieferen Zusammenhang zwischen der Ununterscheidbarkeit von
identischen Teilchen und der Geometrie des Konfigurationsraumes, wie man ihn
beispielsweise an dem Gibbs’schen Paradoxon sehr deutlich sieht, motiviert. Ein Ver-
such der diesen tieferen Zusammenhang ausnutzt, um ein geometrisches Spin-
Statistik-Theoremzubeweisen,istdieKonstruktionvonBerryundRobbins(BR).Diese
Konstruktion basiertaufeinerEindeutigkeitsbedingung derWellenfunktion,dieAus-
gangspunkterneuertenInteressesandiesemThemawar.
Die vorliegende Arbeit betrachtet das Problem identischer Teilchen in der Quanten-
mechanik von einem geometrisch-algebraischen Standpunkt. Man geht dabei von
einem Konfigurationsraum Q mit einer endlichen Fundamentalgruppe π (Q) aus.1
˜ ˜ ¨DiesehateineDarstellungaufdemRaumC(Q),wobeiQdieuniverselleUberlagerung
˜ ˜vonQbezeichnet. DieWirkungvonπ (Q)aufQinduziertnuneineTeilungvonC(Q)1
indisjunkte Moduln u¨berC(Q),diealsRa¨umevon Schnitten bestimmter flacherVek-
torbu¨ndel u¨ber Q interpretiert werden ko¨nnen. Auf diese Weise la¨sst sich die geo-
metrische Struktur des KonfigurationsraumsQ in der Struktur des Funktionenraums
˜C(Q) kodieren. Durch diese Technik ist es nun mo¨glich die verschiedensten Ergeb-
nisse, die das Problem der Ununterscheidbarkeit betreffen, auf klare, systematische
Weise zu reproduzieren. Ferner findet man mit dieser Methode eine globale For-
mulierung der BR- Konstruktion. Ein Ergebnis dieser globalen Betrachtungsweise ist,
dass die Eindeutigkeitsbedingung der BR-Konstruktion zu Inkonsistenzen fu¨hrt. Ein
weiterfu¨hrendes Proposal hat die Begru¨ndung der Fermi-Bose-Alternative innerhalb
unseresZugangszumGegenstand.Contents
1 Introduction 1
1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Onthepresentwork . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Quantization on multiply-connected configuration spaces 12
2.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 CanonicalQuantizationfromGroupActions . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.1 Preliminaryremarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.2 FromCCRtogroupactionsandback . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.3 Representationsofthecanonicalgroup . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 G-spaces and Projective Modules 29
3.1 Equivariantbundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Equivarianttrivialbundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 Projective Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4 Decomposition ofC(M) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 The spin zero case 52
24.1 S asConfiguration Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
24.1.1 LineBundlesoverS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.1.2 AngularMomentumcoupledtoaMagneticField . . . . . . . . . 56
24.2 RP asConfigurationSpace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
24.2.1 LinebundlesoverRP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2.2 SU(2)equivariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2.3 TwoIdenticalParticlesofSpinZero . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
iContents
5 Applications to the Berry-Robbins approach to Spin-Statistics 69
5.1 Reviewoftheconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2 Thetransported spinbasisandprojectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.3 Single-valuednessofthewavefunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6 Further developments 85
6.1 SU(2)andSpin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.2 Exchange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
A G-Spaces 95
ii1 Introduction
1.1 Motivation
BeingaconsequenceofthegeneralprinciplesofrelativisticQuantumFieldTheory,the
Spin-Statisticstheoremhasfoundrigorousproofsinthecontextofaxiomatic,aswellas
ofalgebraicQuantumFieldTheory[Fie39,Pau40,LZ58,SW00,DHR71,DHR74,GL95].
Inspiteofmanyefforts,thishasnotbeenthecaseinnonrelativisticQuantumMechan-
ics. Aproof of the Spin-Statistics theorem, which does notrely asheavily on concepts
ofrelativisticQuantumFieldTheory(QFT) astheestablishedones,issomethingdesir-
able,forseveralreasons. Therearemanyexamplesofphenomenatakingplaceoutside
therelativisticrealm(onecouldthinkofBose-EinsteinCondensation,Superconductiv-
ity or theFractional Quantum HallEffectasrelevantones, nottomentionthestriking
consequences of Pauli’s Exclusion Principle as the prediction of “exchange” interac-
tions, or the explanation of the periodic table) which depend essentially on the Spin-
Statistics relationforitsdescription.
Furthermore,aproofbasedonassumptionswhicharedifferentfromthestandardones
couldalsobeofbenefitfortheunderstandingofQFTitself. Forinstance,aproofwhich
does not make use of the full Lorentz group could provide hints towards the under-
standing of Spin-Statistics in more general situations, such as theories where a back-
∗groundgravitational fieldispresent ,ortheoriesonnon-commutative space-times.
The idea that the observed correlation between Spin and Statistics may, perhaps, be
derivedwithoutmakinguseofrelativisticQFTisnotanewone. Muchworkhasbeen
devotedtothepointof viewthat quantum indistinguishability,ifcorrectly incorporated
into quantum theory, might lead to a better understanding of Spin-Statistics. Most
of the work in this direction is based on formulations where the quantum theory of a
systemofindistinguishableparticlesisobtainedfromaquantizationprocedure,whose
startingpointisaclassicalconfiguration space.
Inoneof thefirst works of this kind,LaidlawandDeWittfound out[LD71]thatwhen
applyingthepathintegralformalism toasystem consistingof afinitenumberofnon-
relativistic, identical spinless particles in three spatial dimensions, the topology of
the corresponding configuration space imposes certain restrictions on the propagator.
Fromthis,theywereabletodeducethatonlyparticlesobeyingFermiorBosestatistics
∗Although it is possible to generalize the proofs on Minkowski space to curved background space-
times[Ver01],hereweareinterestedinalternativeapproaches,ofgeometricnature.
11 Introduction
are allowed (this Fermi-Bose alternative is an input in the standard proofs of axiomatic
QFT).
Leinaas and Myrheim considered a similar situation in [LM77], in an analysis that
wasmotivatedbytherelevanceofindistinguishability toGibbs’paradox. Theyrepro-
duced the results of [LD71] by obtaining the Fermi-Bose alternative in three dimen-
sionalspaceforspinlessparticles. But,inaddition,theyalsofoundthatinoneandtwo
dimensionsthestatistics parametercould,inprinciple,takeinfinitelymanyvalues. In
thatsamework, theyremarkedthattheirresultscouldprovideageometricalbasisfor
aderivationoftheSpin-Statistics theorem.
Alotofworkbasedonthiskindof“configurationspaceapproach”hasbeendonesince
then, in an effort to find a simpler proof of the Spin-Statistics theorem, in comparison
totherelativistic,analyticones.
Usually,suchattemptsarebasedonthepointofviewthat,innonrelativisticQuantum
Mechanics, indistinguishability, together with the rotational properties of the wave
function describing a system of identical particles, are the physical concepts lying at
thecore ofthe problem. Thereare severalreasons that, from atheoretical perspective,
really seem to justify such a standpoint. First of all, spin is an intrinsic property of a
particle which is closely related to spatial rotations: For example, just because of the
definition of spin in terms ofSU(2) representations, the wave function of aparticle of
2S 2Sspin S changes its phase by a factor (−1) under a 2π rotation. The factor (−1) is
indeed a quantity that can be directly measured from the interference pattern (i.e. as
a relative phase) of a two-slit-type experiment with neutrons where one of the beams
is subject to a magnetic field [Ber67, WCOE75]. The change in the sign o