Modélisation et optimisation de dispositifs non-linéaires d’amortissement de structures par systèmes piézoélectriques commutés, Modeling and optimisation of non-linear vibration damping by switch shunting of piezoelectric elements
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Thèse soutenue le 27 mars 2009: CNAM
Afin de réduire les vibrations d'une structure, on utilise des éléments piézoélectriques connectés à des circuits électriques passifs. L'objectif est de se rapprocher de l'efficacité du contrôle actif sans en supporter la complexité et la consommation. On considère d'abord l'association d'une résistance (qui a un effet similaire à un amortissement visqueux) et éventuellement d'une inductance (permettant de réaliser un oscillateur accordé) aux éléments piézoélectriques. Ces systèmes ont des propriétés intéressantes, mais sont peu efficaces à moins d'un accord très précis de l'inductance. Afin d'obtenir des performances élevées sans accord précis, on étudie un circuit à commutation, qui se ferme et s'ouvre à des instants bien précis. L'effet de la charge, qui freine la structure, s'apparente à un frottement sec. En synchronisant les commutations sur les vibrations, le système est auto-adaptatif et peut être auto-alimenté. Les fortes non-linéarités entraînent une excitation haute fréquence de la structure qui peut rendre la synchronisation problématique. Deux modèles électromécaniques (analytique et éléments finis) réduits sont proposés, permettant de décrire la dynamique du système complet de manière précise et de mettre en valeur le couplage entre un mode de vibration et le circuit électrique. Ce couplage est déterminant pour la réduction de vibrations. Une étude de l'influence de divers paramètres permet d'optimiser les éléments piézoélectriques, les circuits, et les instants de commutation. Ces résultats sont vérifiés expérimentalement. On constate un bon accord avec la théorie ; la difficulté de synchroniser correctement la commutation est aussi constatée.
-Amortissement
-Shunt
-Non-linéaire
-Commutation
-Piézoélectrique
-Vibration
-Ssdi
-Structure
In order to reduce the vibrations of a mechanical structure, one can use piezoelectric elements connected to passive electrical circuits. The goal is to achieve the same efficiency as active vibration control without the associated complexity and energy consumption. First the use of a resistor (with an effect similar to viscous damping) and eventually of an inductor (allowing the creation of a tuned resonator) for the circuit is considered. These systems have interesting properties, but are not very efficient, except in the case of a finely tuned inductor. In order to obtain good performance without requiring a precise tuning, a switching circuit is considered. The switching process is synchronized on the vibrations, and the effect of the free electric charge (similar to a dry damping) reduces the vibrations. This system is self-adaptive and can be self-powered. However, the strong non-linearities create a high frequency excitation which may disturb the switch timing. Two different reduced electromechanical models (analytical and finite element) are proposed, allowing a description of the whole system dynamics with accuracy and to emphasize the coupling between one vibration mode and the circuit. This coupling is found to be decisive for the performance in vibration reduction. A study of the influence of various parameters allow the optimisation of the piezoelectric elements, electric circuits and switch timing. These results are experimentally tested and a good agreement with the predictions is obtained ; the difficulty of switch timing is also noticed.
-Damping
-Piezoelectric
-Non-linear
-Vibration
-Shunt
-Switch
Source: http://www.theses.fr/2009CNAM0633/document
Conservatoire National des Arts et Métiers
Thèse
Spécialité : Mécanique
présentée par
JulienDucarne
pour obtenir le grade de Docteur
Modélisation et optimisation de dispositifs
non-linéaires d’amortissement de structures
par systèmes piézoélectriques commutés
Soutenue le 27 Mars 2009,
devant le jury composé de :
Louis Jézéquel École Centrale, Lyon Président
Étienne Balmès ENSAM Paris Rapporteur
Joël Pouget CNRS, UPMC Rapporteur
Paolo Ermanni ETH Zurich Examinateur
Jean-Paul Grellier DGA Examinateur
Daniel Guyomar INSA Lyon Examinateur
Jean-FrançoisDeü CNAM Paris Co-encadrant de thèse
Olivier Thomas CNAM Paris Co-encadrant de thèse
Roger Ohayon CNAM Paris Directeur de thèse
tel-00464513, version 2 - 8 Sep 2010Remerciements
Ce document de thèse présente des travaux réalisés au Cnam Paris d’Octobre 2005 à
Mars 2009 sous la direction de Roger Ohayon et la supervision attentive d’Olivier Thomas et
Jean-François Deü, quiont toujours sume guider en melaissant de bonnesmarges de liberté.
Qu’ils soient remerciés pour m’avoir permis de réaliser ce travail, en montant tout d’abord le
projet avec la DGA, puis en me suivant dans chacune des étapes, des congrès internationaux
àla rédaction. Cette thèsea été renduepossiblegrâce àuneboursedela Délégation Générale
de l’Armement (dans le cadre du contrat numéro 05.43.063.00 470 7565), que je remercie. Je
remercie d’ailleurs Jean-Paul Grellier, de la DGA, qui a fait l’honneur d’être présent pour le
jury.
Je remercie également Étienne Balmès et Joël Pouget, rapporteurs, pour leur lecture atten-
tive. Enfin je remercie Louis Jezéquel d’avoir présidé le jury et Paolo Ermanni d’être venu
spécialement de Suisse pour assister à la soutenance.
Durant mon travail j’ai eu de nombreux échanges avec l’équipe du LGEF Lyon en général,
en particulier Daniel Guyomar, présent dans le jury, mais aussi Claude Richard et Élie Le-
feuvre qui a réalisé un des circuits utilisés; je les remercie pour ce qu’ils m’ont apporté. Je
remercie également Mickaël Lallart pour les discussions d’électronique et Gaël Sebald pour
ses réflexions sur l’énergie électrique lors d’ICAST 2008. De manière générale je remercie
l’équipe qui m’a accueilli lors de mon passage à Lyon.
J’ai aussi eu l’occasion d’être accueilli par toute l’équipe du laboratoire MAE, dirigée par le
professeur Wei-Hsin Liao à Hong-Kong, pour un séjour très enrichissant. Je les remercie ici
de m’avoir accueilli.
Plus près de Paris, je remercie Laurent Prévond et les techniciens de la chaire d’électrotech-
niqueduCnamquim’ont aidéàréaliser quelquescircuits etont réalisé lacarte del’inducteur
synthétique. Enfin, à la chaire de mécanique, je remercie bien sur toute l’équipe du LMSSC,
Fred et Lionel, Antoine, Walid, Romain et Aurélien, Monica et Eleonora et les différents
élèves ingénieurs qui se sont succédés dans notre bureau. Grâce à eux j’ai pu travailler dans
la bonne humeur, au sein d’une équipe soudée et efficace.
Finalement je remercie chaleureusement mes amis et ma famille qui m’ont apporté un sou-
tien sans faille même au plus fort de la rédaction, quand je n’ai pas toujours pu leur rendre
l’attention qu’ils m’ont portée.
Paris, le 9 Avril 2009
i
tel-00464513, version 2 - 8 Sep 2010ii
tel-00464513, version 2 - 8 Sep 2010Sommaire
1 Introduction 1
1.1 Cadre de l’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Catégories de dispositifs anti-vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Dispositifs piézoélectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 Shunts piézoélectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.4 Shunts à commutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.5 Projet DGA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Travail présenté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Objectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Organisation du document . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
I Modèle électromécanique
2 Matériau piézoélectrique 11
2.1 Effet piézoélectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Grandeurs électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1 Dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2 Dans un matériau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.3 En résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Isolants et conducteurs en électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.1 Formulation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.2 Conducteurs en équilibre électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.3 Condensateur plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Piézoélectricité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.1 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.2 Principales catégories de matériaux piézoélectriques . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.3 Spécificités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5 Piézoélectricité linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5.1 Loi de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6 Modélisation d’un milieu piézoélectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.7 Coefficients de couplage électromécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.7.1 Coefficients de couplage matériau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
iii
tel-00464513, version 2 - 8 Sep 2010Sommaire
3 Modélisation semi-analytique d’une poutre avec éléments piézoélectriques 39
3.1 Formulation générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.1 Géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.2 Hypothèses mécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.3 Hypothèses électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1.4 Réduction de la loi de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1.5 Grandeurs généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.6 Cas particulier d’une structure symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.7 Équations d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2 Poutre symétrique munie de deux pastilles piézoélectriques . . . . . . . . . . 47
3.2.1 Grandeurs généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.2 Équations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.3 Adimensionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3 Réduction modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3.1 Calcul des modes propres en court-circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.2 Projection modale du système couplé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4 Coefficient de couplage effectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4.1 Projection modale du système circuit ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4.2 Coefficient de couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4.3 Troncature modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4 Modélisation éléments finis adaptée aux cas de shunts 57
4.1 Étude bibliographique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2 Modélisation d’un milieu piézoélectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2.1 Formulation variationnelle en terme de déplacement et potentiel (u ,ψ) . . . . 59i
4.3 Structure élastique avec éléments piézo
