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actante,
t
(P
2
plus
.
non
de
linéaires
des
Dans
il
le
e
premier
t
du
hapitre,
t
on
de
a
oin
étudié
unique
quelques
tel
métho
.
des
t
de
t
résolution
tel
de
résolution
sys-
tèmes
xe
linéaires
traction
en
dimension
Newton.
nie.
t
L'ob
qui
est
on
main
tout
tenan
par
t
fonction
de
alors
dév
elopp
esp
er
non
des
er
métho
.
des
xe
de
our
résolution
de
(2.0.1)
systèmes
métho
non
oin
linéaires,
p
toujours
de
en
p
dimension
de
nie.
métho
On
yp
se
Les
donne
p
est
2.1.1
xe
te
Soit
ergen
.
v
oint
existe
la
y
A
h
p
Cauc
qu'il
de
e
est
et
et
on
p
que
herc
la
he
métrique
1.
e
dans
Soit
:
le
que
(2.0.1)
trer
à
solution
p
de
de
:
faut-il
mon
oin
a
.
v
103
On
la
.
appro
our
hée
p
système
par
:
dénie
les
suite
des
la
p
et
t
Soit
:
(2.0.1)
oin
Au
xe
Chapitre
I
et
on
oin
a
xe
étudié
monotonie
des
les
métho
des
des
t
de
e
résolution
2.1
du
métho
système
de
(2.0.1)
oin
dans
xe
le
P
t
particulier
de
suite
traction
la
si
de
De
e
vérie
genc
xe
onver
p
un
et
,
de
dénit
,
fonction
e
lors
Existenc
.
:
our
1
que
e
existe
Etap
le
:
tel
Démonstration
,
ontr
.
quand
une
alors
,
,
On
et
eut
.
remarquer
On
sur
v
a
omplet,
main
si
tenan
seulemen
t
si
étendre
ac
le
un
xe)
hamp
t
d'étude
système
au
linéaire
revien
où
donc
,
trouv
n'est
un
pas
oin
forcémen
xe
t
oin
ane.
On
qu'un
étudiera
p
deux
t
familles
existe.
de
.
métho
2.1
des
p
et
Chapitre
Systèmes
N N Ng∈C(IR ,IR ) x IR
N
x∈ IR
g(x) = 0.
Ng(x) = Ax−b A ∈ M (IR) b ∈ IRN
g
N N N Ng ∈ C(IR ,IR ) f ∈ C(IR ,IR ) f(x) =
x +g(x) g(x) = 0 f(x) = x
Résoudre
f
Théorème E d
E f : E → E
k∈]0,1[ d(f(x),f(y))≤kd(x,y) x,y∈E
x¯ ∈ E f(x¯) = x¯
(0) (n+1) (n) (n)x ∈E x =f(x )∀n≥ 0 x →x¯ n+∞
x¯
(0) (n) (n+1) (n)x ∈ E (x ) x = f(x )n∈IN
n≥ 0
(n)(x ) Ensi
Unicité
vérier).
alors
le
,
our
passan
p
Comme
ème
du
or
Soit
thé
de
du
on
ation
donc
démonstr
quand
la
donc
e
2.1,
endr
Sous
epr
est
est
et
p
:
oin
p
t
Etap
xe
limite
de
dans
(r
est
.
fonction
P
a
ar
y
h
yp
si
othèse,
or
on
hyp
sait
2.2
que
ossible
p
,
our
Alors
tout
donc
a
actante
qui
ontr
ts
et
2
est
déduit
fois
l'égalité
n
à
que
.
tel
a
existe
tin
il
te,
ar
Comme
p
2.
actante"
ontr
i.e.
Cauc
suite
104
othèse
6
l'hyp
donc
emplaçant
ème
r
thé
en
othèses
xe
les
oint
1.
p
.
du
sauf
ème
imp
or
thé
le
;
aliser
.
génér
et
eut
t
p
on
On
donc
2.
satisfon
lentement).
,
assez
xes
al
oin
génér
des
en
Soit
ge
:
onver
e
que
de
en
métho
,
ette
dans
la
fait,
t
de
En
si
quand
(même
aussi
e
on
P
ue,
ar
elle
sur
tractan
air
t
,
est
on
la
obtien
.
t
dans
que
donc
liné
on
moins
est
au
:
donc
,
est
h
e
de
genc
est
onver
La
quand
a
L
(n)lim x =x¯ f
n→+∞
n≥ 1,
(n+1) (n) (n) (n−1) (n) (n−1)d(x ,x ) =d(f(x ),f(x ))≤kd(x ,x ).
n
(n+1) (n) n (1) (0)d(x ,x )≤k d(x ,x ), ∀n≥ 0.
n≥ 0 p≥ 1
(n+p) (n) (n+p) (n+p−1) (n+1) (n)d(x ,x ) ≤d(x ,x )++d(x ,x )
pX
(n+q) (n+q−1)≤ d(x ,x )
q=1
pX
n+q−1 (1) (0)≤ k d(x ,x )
q=1
(1) (0) n p−1≤d(x ,x )k (1+k +...+k )
nk(1) (0)≤d(x ,x ) −→ 0 n→ +∞ k< 1.
1−k
(n)(x )n∈IN
(n+p) (n)∀ε> 0, ∃n ∈ IN; ∀n≥n , ∀ p≥ 1 d(x ,x )≤ε.ε ε
(n)E x −→x¯ E n→ +∞
f
(n)f(x )−→f(x¯) E n+∞
(n+1) (n)x =f(x ) x¯ =f(x¯).
x¯ y¯ f x¯ =f(x¯) y¯=f(y¯)
d(f(x¯),f(y¯)) =d(x¯,y¯)≤kd(x¯,y¯) k< 1
x¯ =y¯
Remarque
(n+1) (n)d(x ,x¯) = d(f(x ),f(x¯)) ≤
(n+1)d(x ,x¯)(n) (n)kd(x ,x¯); x = x¯ ≤ k (< 1).(n)d(x ,x¯)
f
(n)n> 0 f =f◦f◦...◦f| {z }othèses
eut
question
qui
et
vien
sur
t
donné
alors
en
naturellemen
ontr
t
ec
est
.
:
que
que
L
faire
e
si
tel
La
on
n'est
lors
pas
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et
t
p
sur
tractan
théorème
te
l'algorithme
?
de
Soit
.
suite
si
En
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suite
v
eut
est
suite
qui
la
et
si
que
te
de
tractan
p
Il
t
.
telle
a
que
On
trer
est
norme
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On
la
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donc
Démonstration
et
r
:
tel
a
suite
on
que
(2.1.3),
dé
et
pr
.
alors
On
ar
aimerait
si
déterminer
:
les
la
sur
aussi
(2.1.2)
on
p
(2.1.4)
our
onstruisant
que
de
othèses
eut
soit
our
et
t
les
(2.1.3)
tractan
fonction
te.
Plus
si
yp
ème
t
L
si
donc
h
seul
6
ave
aux
que
grâce
v
,
relaxation)
on
désigne
dénit
ar
Donc
mon
la
norme
la
v
de
.
dénition
Soit
par
2.3
alors,
du
,
.
Soit
elaxation
.
de
que
est
tel
le
,
(2.1.5)
et
la
on
tel
remarque
que
de
existe
é
est
o
solution
e
du
.
système
(2.1.5),
(2.0.1)
la
si
p
et
est
seulemen
eet
t
(2.1.5)
si
suivante
qu'il
manièr
est
de
p
ette
oin
e
t
é
xe
(2.1.2)
de
p
Or
te,
que
tractan
:
la
t
.
(2.0.1)
On
solution
aimerait
obtenir
dans
p
,
p
a
(2.1.3),
v
(2.1.2)
oir
hyp
des
sous
er
p
A
our
la
que
montr
est
est
soit
actante
ermet
t
2.3
or
tractan
e
te.
.
que
existe
2.3
un
(P
un
oin
2.4
t
xe
quand
de
tel
105
traction
f
N Ng ∈ C(IR ,IR ) f(x) = x +g(x)
g f
généralemen ω = 0 f (x) =x+ωg(x) xω
x f (x)ω
fω
Théorème
N N N|.| IR g∈C(IR ,IR )
N2∃α> 0 (g(x)−g(y))(x−y)≤−α|x−y| ,∀x,y∈ IR ,
N∃M > 0 |g(x)−g(y)|≤M|x−y|,∀x,y∈ IR .
2α
f 0<ω<ω 2M
N (n)x¯∈ IR g(x¯) = 0 x −→x¯ n+∞
(n+1) (n) (n) (n+1)x =f (x ) =x +ωg(x )ω
Remarque
2αω∈]0, [2M
<
