cours-agreg-reduit
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espace probabilis´e : (Ω,F,P) I. Probabilit´es conditionnellesΩ : ensembleP : mesure de probabilit´e (c’est-`a-dire P(Ω) = 1), 1. D´efinitionla tribu des ensembles mesurables ´etant F.D´efinition.Soit A et B deux ´ev´enements, avec P(B) > 0. LaOn se place toujours dans (Ω,F,P), mˆeme si ceprobabilit´e conditionnelle de A sachant B estn’est pas pr´ecis´e.P(A∩B)defP(A|B) = .´ev´enement = ensemble mesurable. P(B)variable al´eatoire (v.a.) : fonction mesurableX:Ω → E (souvent E = R avec tribu bor´elienne :on parle de v.a. r´eelle)Exemple. Bill arrive en retarden cours la moiti´e dutemps,etnevientpasunefoissur4enmoyenne.Lecours commence sans lui. Quelle est la probabilit´equ’il vienne aujourd’hui?A : Bill vient en coursB : Bill n’est pas l`a au d´ebut du cours.P(A∩B) 1/2P(A|B)= = =2/3.P(B) 1/2+1/41Si X est une variable al´eatoire, on peut consid´erer 2. Formule des probabilit´es totalesdes ´ev´enements de la forme {X ∈A}.Soit (B ) une famille finie ou d´enombrablei i∈IExemple : on lance un d´e. X est le r´esultat ob- d’´ev´enements formant une partition de Ω, avectenu. Y vaut “pair” ou “impair” selon la parit´e du P(B )>0 pour tout i. Alorsi Xr´esultat.P(A)= P(A|B )P(B ).i ii∈IP(X =6,Y =pair) 1P(X =6|Y =pair)= =P(Y =pair) 3 Formule surtout utilis´ee quand Ω est fini ou d´enombrable.Exemple. L’examenestunQCM.LecandidatalechoixentreP(X =6|Y =impair)=0 n r´eponses. On suppose que s’il ne connaˆıt pas la r´eponse, ilr´epond au hasard.´ev´enement A : ...
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espaceprobabilis´e:(ΩF P) Ω: ensemble P-dirt-`ae:muresepedaborilib(e´tse’cP(Ω) = 1), latribudesensemblesmesurables´etantF. On se place toujours dans(ΩF P)sice,mˆeme n’estpaspre´cis´e.
e´ve´nement=ensemblemesurable.
variableal´eatoire(v.a.):fonctionmesurable X: Ω→E(souventE=R ´liavec tribu b : ne ore en onparledev.a.r´eelle)
SiXrevanetuese´taioerirbaellaonsid´er,onpeutc dese´v´mentsdelaforme{X∈A}. ene
Exemple:onlanceunde´.Xseuse´reltob-ltat tenu.Yrio”“tapapri“umivauuel”slaonripaedt´ resultat. ´ P(X= 6|Y= pair) =P(X= 6 Yp=ia)r31 = P(Y= pair)
P(X= 6|Y= impair) = 0
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I.Probabilite´sconditionnelles
1.De´finition
De´finition. ´ ´ SoitAetBdeux evenements, avecP(B)>0. La probabilite´conditionnelledeAsachantBest P(A|B)d=efP(AP(B∩)B)
Exemple.tareenveriarllBi´eduioitlsmaocrudrne temps, et ne vient pas une fois sur 4 en moyenne. Le courscommencesanslui.Quelleestlaprobabilit´e qu’il vienne aujourd’hui ?
A: Bill vient en cours B:lliBse’nsaptcuuoubdtdue´`laars. 12 P(A|B) =P(AP(B∩)B)12 + 14 23 = =
2.Formuledesprobabilite´stotales
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Soit (Bi)i∈Iueblno´erambinfieduoeafenllim d’e´ve´nementsformantunepartitiondeΩ,avec P(Bi)>0 pour touti. Alors P(A) =XP(A|Bi)P(Bi) i∈I
Formulesurtoututilis´eequandΩeste.arlbonbmdue´nfioi
Exemple.est un QCM. Le candidat a le choix entreL’examen ni,lnoesr´eponses.Onsoppuuqesi’secenlnaontpˆılaasepr´ re´pondauhasard. ´ ´ ntAl:´rtadidnusdjonep.te eveneme e ca evenementBaltıpe´roctaˆanncaleidnd:onse. ´ ´ On aB⊂A. Calculonslaprobabilite´P(A)rocelrape´vresbostiequce(-recteur) en fonction deP(B). P(A) =|P({Az|B)}P(B) +|P(A{|zBc)}P(Bc) =1 =1n =P(B (1) + 1−B(B)) n =P(B)(1−1n) + 1n
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3. Formule de Bayes
Formule de Bayes “de base” : P(A|B) =P(BP|A()BP)(A) Ilsuffitd’´ecrireP(A|B)P(B) =P(A∩B) =P(B|A)P(A). P(Arto´ebaab)i:lpirideprioA. P(A|Bedpoeat´liriioerst)abibp:orAsachantB.
FormuledeBayes“am´elior´ee”: Soit (Aj)j∈Iune partition de Ω, etBnu´ve´menene.t On supposeP(B)>0 etP(Aj)>0 pour toutj∈I. Alors = P(Ai|B)Pj∈PI(BP(|ABi|)APj)(APi()Aj) Formule pr´ec´edente avecP(B) =Pj∈IP(B|Aj)P(Aj).
II.Ind´ependance
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1.D´efinitionsdel’ind´ependance Intuitivement,AetBepenind´ssildantaostn connaissance deBne donne pas d’information sur A,esc’ea`-trid-P(A|B) =P(Aui´equiv).Cequa`ta P(A∩B) =P(A)P(B).
Ex:sionlanceunde´etunepie`ce,les´ev´enements “obtenir6”et“obtenirface”sontinde´pendants.
De´finition.Soit (ΩF P) un espace probabilise. ´ – Deux evenementsA Bsont ditsdne´inastepdnsi ´ ´ P(A∩B) =P(A)P(B). On noteA⊥B.
– SiAi∈ Fs(ntmene´eevde´’imllalaf,Ai)i∈Iest diteepe´dnindantesi pour tout sous-ensemble fini {i1 in}deI, Pk\n=1Aik=kYnP(Aik) =1
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Exemple:“fauxpositifs”enme´decine. On a un test pour savoir si quelqu’un a une maladie donne´e. – S’il est malade : test positif dans 99,9% des cas. –S’ilestsain:test´egatifdans99,5%d n es cas.
On suppose que la maladie touche une personne sur 10 000. On teste quelqu’un, le test est positif. Quelleestlaprobabilit´equ’ilsoitmalade? A : la personne est malade. B : le test est positif. P(A|B) =P(PB|A()BP)(A)≃002 | {z } 0999×00001 0999×00001+0005×09999
Contre-exemple. SoitΩ ={1 8}etPt´libibarmfonieu.eorpal
24 SOonitaAP=(A{)1=2P(3B)4},=BP=(C{4)5=126.7},C={68}. P(A∩B∩C) =P({4}) =18=P(A)P(B)P(C). MaisP(A∩B) =186=P(A)P(B) =41. Donc(A B C)tponinasesn.stnpe´dadne
Contre-exemple. SoitΩ ={1 4}etPilibaborofinue´tel.rpma SoitA={12},B={13},C={14}. On aP(A) =P(B) =P(C) = 12.
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P(A∩B) =P({1}) = 14 =P(A)P(B)doncA⊥B. De mˆeme, A⊥CetB⊥C, autrement ditA B Costn`2a2ind´ependants.
P(A∩B∩C) =P({1}) = 146=P(A)P(B)P(C) doncA B C.ostnennd´epasiantspend
De´finition. Soit (ΩF Pnesp)utilibee´specaaborXides v.a. d´efiniessurΩa`valeursdansEi(Ei´etadnetnmiu la tribuGi). La famille de v.a. (Xi)i∈Iesteadtnepenind´si pour tousAi∈ Gi,i∈I’del´ve´menestneaf,lilam ` (Xi∈Ai)i∈Ie´epdnnaetc,e’ts--aideropreustind tout sous-ensemble fini{i1 in}deI n PXik∈Aik1≤k≤n=YP(Xik∈Aik) k=1 ˆ Remarque.LesXieemrlsumerteˆtnevsinfie´dedoi espace Ω sinon l’expression de gauche n’a pas de sens.
P(Xik∈Aik1≤k≤n) =P({ω∈Ω;Xik(ω)∈Aik1≤k≤n})
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Pourmontrerl’ind´ependanced’unefamilleinfinie (Xk)k≥1suffit de tester que pour tout, il n≥1 : n P(Xk∈Ak1≤k≤n) =YP(Xk∈Ak) k=1 pour tousAk∈ Gk1≤k≤n. Preuve . Supposonsqu’onal’e´galit´eci-dessusetmontrons l’inde´pendancedes(Xk)k≥1. SiJest un sous-ensemble fini deN∗, il existentel queJ⊂ {1 n}. On poseAi=Eisi i∈ {1 n} \J ¸ f. On montre ens e , uitedaconsimilaire`ala preuvepre´ce´dente,que P(Xi∈Ai i∈J) =P(Xi∈Ai1≤i≤n) =YP(Xi∈Ai)ypot(h)ese`h 1≤i≤n =YP(Xi∈Ai) i∈J cequimontrel’ind´ependance.✷
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Pourmontrerl’ind´ependanced’unefamillefiniede v.a.X1 Xn, il est inutile de prendre un sous-ensemble d’indices, il suffit de tester que : n P(Xk∈Ak1≤k≤n) =YP(Xk∈Ak) k=1 pour tousAk∈ Gk1≤k≤n. Remarque.enementurdes´evsprteriopetCsuafopes´te´tsee ´ (voirle1ercontre-exempledonne´pre´ce´demment). Preuve . Supposonsqu’onal’e´galite´ci-dessusetmontrons l’ind´ependancedesXi. SoitJun sous-ensemble fini de {1 n}. On poseAi=Eisii6∈J. P(Xi∈Ai i∈J) =P(Xi∈Ai1≤i≤n) =YP(Xi∈Ai)th`ehypo(es) 1≤i≤n Or YP(Xi∈Ai) =YP(Xi∈Ai)×1 1≤i≤n i∈J DoncP(Xi∈Ai i∈J}=YP(Xi∈Ai).✷ i∈J
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SiXitnocetneedrr`sce,etpeonseutseuten.v.aid regarderles´ev´enementsdelaforme{Xi=ai}, car tout´eve´nement{Xi∈Ai}est une union disjointe detels´eve´nements.
Exemple .Olnna.e´equilibrceund´e´X= 0luse´relisstteta pair,X= 1sion.nY= 0e´uslirespledultiestmltate3, Y= 1sinon. Pour montrer queX⊥Ysuffitdeconsid´ererli, P(X= 0 Y= 0),P(X= 0 Y= 1),P(X= 1 Y= 0)et P(X= 1 Y= 1).
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