La théorie variationnelle des rayons complexes version Fourier : application aux problèmes tridimensionnels de vibro-acoustique, The variational theory of complex rays Fourier version : application to 3D coupled vibro-acoustics

`THESE DE DOCTORAT
´ ´DE L’ECOLE NORMALE SUPERIEURE DE CACHAN
Pr´esent´ee par
Louis KOVALEVSKY
pour obtenir le grade de
DOCTEUR
´ ´DE L’ECOLE NORMALE SUPERIEURE DE CACHAN
Domaine :
´ ´ ´MECANIQUE ET GENIE MECANIQUE
Sujet de la th`ese :
La th´eorie variationnelle des rayons complexes version
Fourier
Application aux probl`emes tridimensionnels de vibro-acoustique.
Soutenue `a Cachan le 9 juin 2011 devant le jury compos´e de :
Marc BONNET ENSTA-ParisTech Rapporteur
Christian CLERC Vibratec Examinateur
Wim DESMET Katholieke Universiteit Leuven Rapporteur
Jean Louis GUYADER INSA Lyon Examinateur
`Pierre LADEVEZE ENS de Cachan Directeur de th`ese
Robin S. LANGLEY University of Cambridge Examinateur
Herv´e RIOU ENS de Cachan Encadrant de th`ese
Bernard TROCLET EADS ASTRIUM Examinateur
LMT-Cachan
ENS Cachan/CNRS/UPMC/PRES UniverSud Paris
61, avenue du Pr´esident Wilson
94235 CACHAN CEDEX
tel-00624377, version 1 - 16 Sep 2011tel-00624377, version 1 - 16 Sep 2011`a Marie.
tel-00624377, version 1 - 16 Sep 2011tel-00624377, version 1 - 16 Sep 2011Aucoursdecestroisann´eesdeth`ese,jemesuisrenducomptequelarecherche´etaitavant
tout une aventure humaine. Je profite donc de cette page pour remercier chaleureusement...
...ceuxquim’ontfaitdocteur:Jean-LouisGuyader,pr´esidentdujurybienveillant;Marc
Bonnet,rapporteurenthousiaste,pourses´eclairagesetcommentairesconstructifsaussibien
autourd’uncaf´eaucoursdemath`esequedanssonrapportfinal;WimDesmet,rapporteur,
poursonenthousiasmeetsacuriosit´e`aproposdemestravaux;RobinLangley,examinateur,
pour m’avoir ouvert les portes de l’universit´e de Cambridge et accept´e de juger mon travail
malgr´elabarri`eredelalangue;ChristianClerc,examinateur,poursonpragmatismevis`avis
desapplications;BernardTroclet,examinateur,poursavisionsurlesperspectivespossibles
de ces travaux.
... ceux qui avaient pr´epar´e le terrain : Pierre Ladev`eze, directeur de th`ese clairvoyant,
dont les orientations et commentaires m’ont permis d’apprendre la rigueur n´ecessaire `a un
chercheur; Herv´e Riou, encadrant de th`ese, dont les id´ees, la culture et la pr´esence ont
constitu´e un soutien inestimable.
... ceux qui ont rendu ma scolarit´e si agr´eable Danielle, Panpan, Tonton, JPP, et Eric.
...ceuxquiontcontribu´e`alabonneambiancedubureau:Bibou,Nico,Flavoun,Bastiou,
Camillou, Reno, Manue, Balnouin, Dom, Andr´ea.
...ceuxquicontribuent`alabonneambianceducentredecalcul:Frisou,toujourspr´esent
pour refaire le monde autour d’un caf´e; Arnaud, qui prend grand soin du cluster; Pierre et
monsieur Z`ebre, pour leur bonne humeur et leur disponibilit´e.
...ceuxquicontribuentaubonfonctionnementet`alabonneambiancedulabo:Boubou,
pournosessaissurlesondesdechoc;Xavier,etsonpetitpainaulait;ettantd’autres.Une
pens´ee toute particuli`ere pour Lydia et Fran¸coise qui se plient en quatre pour simplifier les
tˆaches administratives.
... ma famille et mes amis pour leur soutien sans faille. En particulier mon grand p`ere,
pour ses´eclaircissements sur le monde de la recherche et ses relectures attentionn´ees.
... Am´elie pour son soutien, sa patience et ses encouragements.
tel-00624377, version 1 - 16 Sep 2011tel-00624377, version 1 - 16 Sep 2011R´esum´e
La Th´eorie Variationnelle des Rayons Complexes (TVRC) est une m´ethode ondulatoire
adapt´ee`alar´esolutiondeprobl`emesdevibrationsdansledomainedesmoyennesfr´equences.
Elle utilise une formulation faible du probl`eme qui permet d’utiliser n’importe quelles fonc-
tions de forme qui v´erifient l’´equation d’´equilibre `a l’int´erieur du sous domaine. Ainsi la so-
lution peutˆetre approxim´ee par une r´epartition int´egrale d’ondesplanes, cette approche est
particuli`erementefficaceenmoyennefr´equenceetconduitauntr`esbontauxdeconvergence
de la m´ethode. Dans les travaux pr´ec´edents, l’amplitude des ondes planes ´etait discr´etis´ee
parunefonctionconstanteparmorceaux.Danscetteth`ese,unenouvelleformedediscr´etisa-
tionestpropos´ee,bas´eesurless´eriesdeFourier.L’extensionauxprobl`emestridimensionnels
estdirectegrˆace`al’utilisationdesharmoniquessph´eriques.Cettenouvelleapprochepermet
d’am´eliorer l’efficacit´e et la robustesse de la m´ethode grˆace notamment `a un sch´ema d’in-
t´egration semi-analytique. Cette nouvelle version de la TVRC est alors capable de traiter
des probl`emes d’une complexit´e industrielle, et de r´esoudre des probl`emes `a des fr´equences
relativement´elev´ees.
tel-00624377, version 1 - 16 Sep 2011tel-00624377, version 1 - 16 Sep 2011Abstract
The Variational Theory of Complex Rays (VTCR) is a wave-based computational ap-
proachdedicatedtotheresolutionofmedium-frequencyproblems.Itusesaweakformulation
oftheproblemwhichenablesonetouseanytypeofshapefunctionwithinthesubstructures
provided that it verifies the governing equation. Thus, the solution can be approximated
using plane waves, which is very interesting in the medium-frequency vibration domain and
also leads to a strong convergence of the method. In the previous works, this was shown in
the case of acoustic problems in which the amplitudes of the plane waves were calculated
as wavebands. In this thesis, we propose a new approximation of these amplitudes based on
Fourierseries.Theextensionto3Dproblemsisstraightforwardthankstotheuseofspherical
harmonics.Weshowthatthisapproachincreasestherobustnessofthemethodasithandles
problems of industrial complexity, makes it more efficient numerically thanks to analytical
integration and extends its applicability to somewhat higher frequencies.
tel-00624377, version 1 - 16 Sep 2011Table des mati`eres
Table des mati`eres i
Table des figures v
Introduction 1
1 Probl`emes de r´ef´erence et notations 7
1.1 Probl`eme de r´ef´erence en vibro-acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Probl`eme d’acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2 Probl`eme de plaques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Un ´etat de l’art 11
2.1 Les m´ethodes polynomiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.1 La m´ethode des´el´ements finis et ses extensions . . . . . . . . . . . . 12
2.1.2 Les m´ethodes de type´el´ements de fronti`ere . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.3 M´ethodes bas´ees sur la partition de l’unit´e . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Les m´ethodes ondulatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.1 Ultra Weak Variational Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2 Les T-elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.3 Discontinuous Enrichment Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.4 Wave Boundary Element Method (WBEM) . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.5 Wave Based Method (WBM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Les m´ethodes´energ´etiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.1 Statistical Energy Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.2 Hybrid FE-SEA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.3 M´ethode SEA-like . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.4 Statistical modal Energy distribution Analysis . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.5 Wave Intensity Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.6 M´ethodes de diffusion de l’´energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.7 M´ethode´energ´etique simplifi´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.8 M´ethode de trac´e de rayons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.9 M´ethodes de l’enveloppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.10 M´ethodes asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
La th´eorie variationnelle des rayons complexes version Fourier i
tel-00624377, version 1 - 16 Sep 2011