Géométrie quantique dans les mousses de Spins : de la théorie topologique BF vers la relativité générale, Quantum geometry in Spin foams : from the topological BF theory towards general relativity

Université de la Méditerranée - Aix-Marseille II
Faculté des Sciences
Thèse
Présentée par
Valentin Bonzom
Pour obtenir le grade de
Docteur de l’université de la Méditerranée
École doctorale : Physique et Sciences de la matière
Spécialité : Physique des particules, Physique mathématique
Géométrie quantique dans les mousses
de spins
De la théorie topologique BF vers la relativité générale
Soutenue le 23 septembre 2010, devant la commission d'examen composée de
Mr Alejandro Perez Président du Jury
Mr Carlo Rovelli Directeur de thèse
Mr LaurentFreidel Rapporteur
Mlle Bianca Dittrich Rapporteur
Mr Etera Livine Examinateur23
Remerciements
C'est un grand plaisir de remercier l'ensemble des personnes que j'ai pu cotoyer et qui m'ont
entouré durant ces trois années.
Je doisremercieren premierlieu EteraLivine, qui fut mondirecteur ocieuxdurantune bonne partie
de la thèse : toujours disponible, toujours prêt à discuter tout sujet scientique et à proposer quatre
projets derecherchesimultanés! Jele remerciepour sonaideindispensable. Luiet CarloRovellim'ont
de plus laissé une totale liberté aussibien de penser que dans mon mode de travail.C'est quand même
agréable de faire ce que l'on a vraiment envie de faire!
Je remercie l'ensemble du CPT et du groupe de gravité quantique pour son accueil et son ambiance
collaborative, pêle-mêle Carlo, Francesca, Eugenio, Antonino, Claudio, Elena et Roberto, toujours
compréhensifs à l'heure des pauses café, et plus particulièrement Simone Speziale avec qui j'ai le
plaisir de travailler régulièrement, et dont l'aide me fut précieuse.
L'accueil fut toujourschaleureuxauprèsde BiancaDittrich et de Daniele Oriti,qui furent les premiers
à m'extirper de mon hermitage. J'espère pouvoir rendre un jour toutes les invitations que j'ai eu le
plaisirderecevoirdeleurpart.JeremercieaussiLaurentFreideletLeeSmolinpourleurenthousiasme
lors de ma visite hivernale.
Finalement, ça ne se voit pas sur les équations, mais trois ans de thèse, c'est trois ans dans la vie,
avec une implication quotidienne. Content, pas content, trois fois par jour. Une pensée profonde pour
celle qui m'a supporté tout en m'encourageant sans relâche!45
Résumé
Géométrie quantique dans les mousses de spins
De la théorie topologique BF vers la relativité générale
Lagravitéquantiqueàbouclesafourniun cadred'étude particulièrementbien adaptéauxthéories
dejaugedéniessansmétriquexeetinvariantesousdiéomorphismes.Lesexcitationsfondamentales
de cette quantication sont appelées réseaux de spins, et dans le contexte de la relativité générale
donnent un sens à la géométrie quantique au niveau canonique. Les mousses de spins constituent
une sorte d'intégrale de chemins adaptée aux réseaux de spins, et donc destinée à permettre le calcul
des amplitudes de transition entre ces états. Cette quantication est particulièrement ecace pour
les théories des champs topologiques, comme Yang-Mills 2d, la gravité 3d ou les théories BF, et des
modèles ont aussi été proposés pour la gravité quantique en dimension 4.
Nousdiscutonsdanscettethèsediérentesméthodespourl'étudedesmodèlesdemoussesdespins.
Nous présentons en particulier des relations de récurrence sur les amplitudes de mousses de spins. De
manière générique, elles codent des symétries classiques au niveau quantique, et sont susceptibles
de permettre de faire le lien avec les contraintes hamiltoniennes. De telles relations s'interprètent
naturellement en termes de déformationsélémentaires sur des structures géométriquesdiscrètes, telles
que simplicielles. Une autre méthode intéressante consiste à explorer la façon dont on peut réécrire
les modèles de mousses de spins comme des intégrales de chemins pour des systèmes de géométries
sur réseau, en s'inspirant à la fois des modèles topologiques et du calcul de Regge. Cela aboutit à une
vision très géométrique des modèles, et fournit des actions classiques sur réseau dont on étudie les
points stationnaires.
Mots clé : relativité générale,théorie des champstopologique, gravitéquantique, moussesde spins,
réseaux de spins.
Quantum geometry in spin foams
From the topological BF theory towards general relativity
Loop quantum gravity has provided us with a canonical framework especially devised for back-
groundindependent and dieomorphism invariantgaugeeldtheories.In this quantizationthe funda-
mental excitations are called spin network states, and in the context of general relativity, they give a
meaningtoquantumgeometry.Spinfoamsareasortofpathintegralforspinnetworkstates,supposed
to enable the computations of transition amplitudes between these states. The spin foam quantization
has proved very ecient for topological eld theories, like 2d Yang-Mills, 3d gravity or BF theories.
Dierent models have also been proposed for 4-dimensional quantum gravity.
In this PhD manuscript, I discuss several methods to study spin foam models. In particular, I
present some recurrence relationson spin foam amplitudes, which generically encode classicalsymme-
tries at the quantum level, and are likely to help ll the gap with the Hamiltonian constraints. These
relationscan be naturallyinterpreted in terms of elementarydeformationsof discrete geometricstruc-
tures, like simplicial geometries. Another interesting method consists in exploring the way spin foam
models can be written as path integrals for systems of geometries on a lattice, taking inspiration from
topological models and Regge calculus. This leads to a very geometric view on spin foams, and gives
classical action principles which are studied in details.
Keywords: general relativity, topological eld theory, quantum gravity,spin networks, spin foams.
Centre de Physique Théorique de Luminy - UMR 62076Table des matières
Introduction 11
I Théorie BF et relativité générale classiques 17
1 Théorie BF 19
1.1 Équations classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2 En dimensions 2 et 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Relativité générale à la Palatini et Plebanski 25
2.1 L'action de Holst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 L'action de Plebanski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Calcul de Regge 29
II Géométrie dans l’approche canonique 33
4 Description hamiltonienne 35
4.1 Théorie BF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2 Relativité générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5 Quantifier des théories de jauge 43
5.1 Les réseaux de spins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2 Opérateurs géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2.1 Géométrie quantique : Aires, volumes, longueurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2.2 Le tétraèdre quantique et les opérateurs d'angles . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6 Géométries sur un graphe fixé 55
6.1 Géométries tordues et à la Regge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.2 La contrainte de courbure nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.3 Contraintes hamiltoniennes en calcul de Regge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
III Les mousses de spins : introduction et premiers calculs 69
7 Les mousses de spins 71
7.1 Dynamique des réseaux de spins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.2 Modèle pour la théorie BF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.2.1 En deux dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798 TABLE DES MATIÈRES
7.2.2 Modèle de Ponzano-Regge, en 3d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.2.3 Modèle d'Ooguri, en 4d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
8 Calculer avec les mousses de spins 87
8.1 Les fonctions de corrélations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.2 Corrélations entre deux longueurs dans un modèle en 3d . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8.2.1 Présentation du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
8.2.2 Développement asymptotique aux grandes distances . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.3 Développement asymptotique du 6j isocèle . . . . . . . . . . .