Examen Gestion Alternative

ESILV 2008 D. Herlemont Gestion Alternative Examen Gestion Alternative Duree: 2 heures Les documents sont autorises. Calculatrices autorisees 3 pt 1. Attribution des performances On considere un portefeuille et son benchmark dont les caracteristiques sont les suivantes Portefeuille Benchmark x Poids Return Poids Return Actions 0.8 10 0.5 7 Obligations 0.1 3 0.3 3 Il s’agit de performance annuelle. Le cash est valorise au taux sans risque de 1.5% Calculer les performances du portefeuille et celles du benchmark. Decomposer la sur performance du portefeuille vis a vis a du benchmark en terme d’allocation d’actifs ("market timing") et de selection d’actifs ("asset picking") pour chaque classe d’actifs (actions et obligations). Corrige: reponse C La performance globale du portefeuille est de 8.45 La performance du benchmark est de 4.7 La sur performance du portefeuille est de 3.75 Elle se decompose comme suit: Portefeuille Benchmark Ponderations Benchmark Contribution Poids Poids Exces Return Performance Actions 0.8 0.5 0.3 7 2.1 Obligation 0.1 0.3 -0.2 3 -0.6 Cash 0.1 0.2 -0.1 1.5 -0.15 Soit une contribution attribuee a l’allocation d’actifs (market timing) de : 1.35 Portefeuille Benchmark Return Poids Contribution Return Return Exces portefeuille Performance Actions 10 7 3 0.8 2.4 Obligation 3 3 0 0.1 0 Cash 1.5 1.5 0 0.1 0 Soit une contribution attribuee a la selection d’actifs (asset picking) de : 2.4 Daniel Herlemont 13 pt 2. Perte maximale historique On considere un fonds alternatif dont les valeurs (NAV) mensuelles sont les suivantes (en million d’euros): Janvier Fevier Mars Avril Mai Juin Juillet Aout Sept. Oct. Nov. Dec. 100 103 102 101 99 101 98 101 105 104 99 100 Quel est la perte maximale historique (maximum drawdown) sur l’annee. calculer les High Water Mark mensuels. La commission de sur-performance est de 15%, calculer les commissions mensuelles et totale sur l’annee. Corrige: La perte maximale historique est la perte qu’aurait subie un investisseur malachanceux, qui serait rentre a un plus haut et sorti a un plus bas. Le Maximum Drawdown est la perte maximale historique depuis "pic" vers un "creux" (peak to valley). De maniere formelle, soitV (t) la valeur de l’actif au tempst,M(t) le maximum depuis t = 0 M(t) = max V (s) 0 s t Le drawdown courantD(t) est de ni par D(t) =M(t)=V (t) et le maximum drawdown etMDD(t) = max D(s)0 s t Si on mesure le drawdown en %,D (t) = (M(t) V (t))=M(t) etMDD (t) = max D (s)p p 0 s t p En terme de P&L, on peut avoir une autre de nition: D(t) = M(t) V (t) et MDD(t) = max D(s)0 s t Le MDD est 5.71%. En terme de NAV, le MDD est 6 Millions d euros. Le High Water Mark est le maximum cumule et la commission de sur perfornance est calculee sur la di erence entre deux high water mark (M(t) M(t 1)) 15%. Le tableau ci dessous indique les high water mark et la comission en milliers d’euros Janvier Fevier Mars Avril Mai Juin Juillet Aout Sept. Oct. Nov. Dec. HWM 100 103 103 103 103 103 103 103 105 105 105 105 Commission 45 0 0 0 0 0 0 30 0 0 0 Le total de la commission de sur performance est 75 K euros. la remuneration a la performance peut conduire le gerant a prendre trop de risques lorsque le fond se trouve eloigne de son plus haut. A n de reduire cet e et on peut demander au gestionnaire d’investir une part signi cative de sa propre richesse. Ce faisant, le gestionnaire se comportera comme un investisseur. 3 pt 3. Gestion du beta Nous sommes le 22 octobre 2001. En tant que gerant d’un portefeuille actif d’actions francaises (tracking error 6% ; beta 0.9), vous avez realise une surperformance sur votre benchmark (indice CAC40) de 2% year-to-date. L’actif net du portefeuille est de 45M d’euros. Vous decidez de verrouiller cette surperformance jusqu’a la n de l’annee. Vous decidez d’utiliser des futures pour cela. Le future novembre cote 5000 points (1 point de contrat = 10 euros). Combien de futures utiliserez vous ? A l’achat ou la vente ? discutez de la qualite de la couverture. Corrige: Une solution est de ramener le beta du portefeuille a 1. Pour cela on peut acheter des futures (peu onereux, mise en place rapide), mais la couverture sera imparfaite (risque speci que non couvert / seulement le risque de marche), et les echeances des futures pourront ^etre di erentes de l’horizon de couverture. On peut egalement remonter le beta en vendant des titres a beta faible, pour les remplacer par des titres a beta eleve. Les cou^ts de transaction seront plus eleves qu’avec des futures, et le risque speci que ne sera pas couvert. Daniel Herlemont 2Exposition du portefeuille : actif net x beta = 45M x 0.9 = 40.5M Exposition souhaitee : 45M x 1 = 45M Engagement de futures a acheter : 45 - 40.5 = 4.5M Un future couvre : 5000 x 10 = 60 000 Total de futures a acheter : 4.5M / 50 000 = 100 Nota: la seule strategie sure a 100% est de se rebenchmarker, c’esta-d- ire repliquer dans le porte- feuille l’indice de reference. Il faut donc vendre les titres de son portefeuille, et acheter ceux de l’indice en m^eme quantite. Probleme : cou^t eleve de cette couverture (frais de courtage, commis- sions de mouvement, impot^ de bourse), mais couverture parfaite de la surperformance. 5 pt 4. Kelly binomial On considere un modele binomial pour un actif risque: hausse de u% avec une probabilite p, la valeur de l’actif passe a S(1 +u) baisse de d% avec une probabilite q = 1 p la valeur de l’actif passe a S(1 u) On investi avec un levier f constant dans l’actif risque. sur n periodes, on note n le nombre de hausse et n le nombre de baisses. On investit au d levier constant f dans l’actif risque, montrer que la richesse est independante de l’ordre des hausses et des baisses que sa valeur vaut n nV = (1 +fu) (1 fd)n u d En appliquant le principe de Kelly qu’on rappelera, montrer que le levier optimal est pu (1 p)d f = ud Application: on considere un actif (par exemple une action en taux de rendements mensuels) dont les caracteristiques sont p = 0:5, u = 25%, d = 15% un portefeuille d’une valeur initiale de 100KE. Avec un levier de 5 quelle est la valeur probable du portefeuille a l’issue de 12 mois .. que penser des leviers autorises sur les marches ... Quel est le levier optimal de maniere a maximiser le taux de croissance ? Quel est la valeur probable du portefeuille a l’issue des 12 mois si on investi a levier optimal constant. 6 pt 5. Portefeuilles Stochastiques On considere un actif log normal dS(t)=S(t) = dt + dW (t) avec S(0) = 1) et un portefeuille investi dans cet actif risque dans la proportion (t), le reste 1 (t) est investi dans un actif sans risque de valeur constante 1 (taux sans risque nul, si ce n’est pas le cas, on e ectue un changement de numeraire). On considere un portefeuille de 100KEuros. L’actif baisse de 40% Dans un premier temps, on considere une strategie Buy & Hold Quelle est la valeur du portefeuille ? Quelle est la proportion en actif risque Quels sont les avantages et inconvenient de cette strategie Daniel Herlemont 3On considere maintenant une strategie CRP, a proportion constante, avec (t) = 0:5 Le portefeuille est auto nance : de nir ce terme De maniere a garder la proportion initiale de 50% doit on acheter ou vendre l’actif risque et en quelle quantite ? Quels sont les avantages et inconvenient de cette strategie On considere la strategie dite p-weighted dont les poids dans l’actif risque est pS (t) = (1) p1 +S avec p une constante. En utilisant les donnees precedentes, a savoir un portefeuille de 100KEuros, proportions initiales de 50% a t = 0 et baisse de 40% de l’actif risque a t + t, calculer les nouvelles proportions cibles dans la strategie p-weigthed avecp = 0:5. Doit on acheter ou vendre ? en quelle quantite .. comparer a la strategie CRP et au Buy&Hold. Montrer que pourS proche de 1, la quantite a vendre ou acheter est (1 p)(1 S)V=4, avec V la valeur du portefeuille. Discuter du type de la strategie (suivi de tendance, contrarienne, ...), en fonction de la valeur de p. Corrige: a la datet = 0, la valeur investie dans l’actif risque de 50KE. Si l’actif baisse de 20% cette valeur passe a 30KE. La valeur du portefeuille devient 80KE. La proportion en actif risque passe alors a 30/80 soit 37.5%, ce qui est plus faible que la proportion cible de 50%, correpondante a 80 0:5 = 40KE. Il faut donc acheter 10KE d’actif risque. On considere la strategie dont les poids dans l’actif risque est pS (t) = (2) p1 +S Pourp = 0, la proportion est constante (t) = 0:5, il s’agit d’une strategie a proportion constante (CRP). Pourp = 1, (t) =S(t)=(1+S(t)), il s’agit de la strategie Buy & Hold avec une proportion initiale a 50% en actif risque. NotonsV (t) la valeur du portefeuille a la datet. La valeur investie dans l actif risque doit ^etre p pV (t) = (t)V (t) =V (t) S(t) =(1 +S(t) ) A l’issue de la baisse de 40%, la quantite detenue en1 actif risque est de 30KE et la valeur du portefeuille est V (1) = 50 + 30 = 80KE et S(1) = 0:6. 0 0On doit ramener la part investie en actif risque a 80 0:6 :5=(1 + 0:6 :5) = 34:9KE On doit donc acheter pour 34:9 30 = 4:9KE. On voit donc qu’on achete quand l’actif baisse, mais moins que dans le cas du CRP. Dans le cas du B&H, on ne fait rien. Soit (t) la quantite d’actif risque detenu en debut de periode t. Cette quantite est liee a la proportion et la richesse du portefeuille par (t)S(t) = (t)V (t) (3) 1En considerant des petites variations relatives, on en deduit facilement que d dS d dV + = + (4) S V or dV=V = dS=S d’ou l’on deduit d d dS = + ( 1) (5) S 1on omet ici l’indice t pour des raisons de lisibilite Daniel Herlemont 4Par example dans le cas d’un strategie CRP ( constant), d est de signe oppose a dS, si est inferieur a 1: on est contrarien. Pour la strategie p-weighted, on a facilement d p dS = (6) p1 +S S Pour S proche de 1, on a ‘ 1=2 et V=2 puis V=2 et dS =S 1 et 1 d (1 p)(1 S)V (7) 4 On voit donc que la strategie est contrarienne (on vend quand S baisse) pour p< 1 et momentum (on achete quand S monte) pour p> 1. Fin de l’enonce, note sur