Etude de la dynamique non-linéaire des écoulements chauffés et soumis à des champs magnétiques
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Thèse soutenue le 27 novembre 2009: Ecole centrale de Lyon
Nous présentons dans cette étude le développement de la convection à partir de différentes perturbations de l'état conductif d'une couche fluide confinée dans une cavité cylindrique, chauffée par le bas et avec une surface supérieure libre. La discrétisation spatiale du domaine repose sur la méthode des éléments spectraux et les itérations temporelles sont assurées par une méthode splitting.Au déclenchement de la convection, les structures convectives correspondent à des modes de Fourier, et les seuils critiques dépendent du rapport de forme de la cavité, et des nombres de Biotet de Marangoni qui caractérisent la surface libre. Les transitions d'écoulements au-delà du seuil primaire sont caractérisées quantitativement en fonction du nombre de Rayleigh pour différentes valeurs du nombre de Biot et Ma = 0. Les résultats présentés sont obtenus en résolvant l'ensemble des équations non-linéaires de conservation à travers une méthode de continuation. Lorsque la convection se déclenche sous la forme d'un mode axisymétrique m = 0, l'évolution non-linéaire montre la coexistence de différentes structures convectives, des structures axisymétriques avec écoulement montant ou descendant au centre de la cavité et des structures correspondant à des combinaisons de modes qui apparaissent sur des branches secondaires sous-critiques.L'action d'un champ magnétique constant est ensuite étudiée pour des fluides conducteurs dans une même configuration comprenant une surface supérieure libre. Nous montrons l'effet stabilisateur du champ magnétique sur les seuils primaires ainsi que son action sélective sur les différents modes de convection. Nous analysons l'évolution des structures convectives au delà de ces seuils et montrons comment le champ magnétique modifie les transitions entre ces structures.En soumettant le bain fondu à un champ magnétique tournant, le mouvement de rotation du fluide se superpose aux mouvements de convection thermique et on observe une diminution des fluctuations de température et un retard du déclenchement de l'instabilité de Rayleigh-Bénard(lorsque les deux parois haut/bas du bain sont rigides). La rotation influe sur ce déclenchement qui de stationnaire devient oscillatoire, à l'exception du mode m = 0 de Fourier, pour qui la transition reste stationnaire jusqu'à une certaine valeur critique du nombre de Taylor magnétique.La dynamique de l'écoulement axisymétrique de part et d'autre de cette valeur critique sera étudiée en détail.
-Mécanique des fluides numérique
-Convection naturelle
-Magnétohydrodynamique
-Cavité cylindrique
-Analyse des bifurcations
The growth of thermal convection out of different perturbations of the conductive base state is investigated using a spectral element time-stepping code. The fluid is subject to a vertical heat transfer in a cylindrical cavity with an upper free surface corresponding to the so-called Rayleigh-Bénard-Marangoni situation and the heat exchange through the free surface is evaluated via the Biot number. The results of the stability diagrams show that the evolution of the primary thresholds are largely influenced by the Biot number, the Marangoni number, and the aspect ratio of the cavity. Flow transitions are elucidated in quantitative detail as a function of the Rayleigh number for different Biot numbers in the tension free limit Ma = 0. The results shown are obtained by solving the full nonlinear field equations numerically among a continuation method. When an axisymmetric m = 0 Fourier mode is obtained at onset, the non-linear evolution shows the coexistence of different convective structures, the axisymmetric structures with up-ow or down-ow at the center and mixed-mode structures which appear on secondary subcritical branches. The action of a constant magnetic field is then considered for melts in the same type of configuration with an upper free surface. We show the global stabilizing effect of the magnetic field on the primary bifurcation thresholds and the selective effect on the different instability modes. We also analyze the evolution of the convective structures above the thresholds and show how the magnetic field modifies the transitions between these structures. When applying a magnetic body forcing in the azimuthal direction (RMF), one can damp the unavoidable thermal fluctuations inside the melt and delay the transition to the Rayleigh-Bénard instability (for rigid-rigid circular plates at top and bottom). The rotation effect also changes the transitions from steady to oscillatory, except for the m = 0 Fourier mode where the transitionis first steady until a critical Taylor number and then becomes oscillatory. The dynamics of the transitions to the axisymmetric flow, below and above this value of critical magnetic Taylor number, is particularly interesting and will be described.
-Computational fluid dynamics
-Buoyant flow
-Magnetohydrodynamics
-Cylindrical cavity
-Bifurcation analysis
Source: http://www.theses.fr/2009ECDL0024/document
ECOLE CENTRALE DE LYON
- UNIVERSITE DE LYON -
Etude de la dynamique non-lineaire des
ecoulements chau es et soumis a des champs
magnetiques
Anas EL GALLAF
anas.el-gallaf@ec-lyon.fr
12 juillet 2010
Laboratoire de mecanique des uides et d’acoustique
LMFA - UMR CNRS 5509Numero d’ordre : 200924 ANNEE 2009
THESE
presentee devant
L’ECOLE CENTRALE DE LYON
pour obtenir
le titre de DOCTEUR
SPECIALITE MECANIQUE DES FLUIDES
par
Anas EL GALLAF
Etude de la dynamique non-lineaire des
ecoulements chau es et soumis a des champs
magnetiques
Soutenue le 27 novembre 2009 devant la Commission d’Examen
JURY
President: M. B. ROUX
Examinateurs: M. H. BENHADID
M. J-P. GARANDET (Rapporteur)
M. D. HENRY
M. L. MARTIN WITKOWSKI
M. A. MOJTABI (Rapporteur)
M. R. TOUIHRIRemerciements
Ces annees de these ont ete e ectuees au Laboratoire de Mecanique des Fluides et d’Acoustique. A ce
titre, je tiens tout d’abord a remercier Monsieur Michel Lance, directeur du laboratoire, pour m’avoir
accueilli au sein de son laboratoire ainsi que Messieurs Daniel Juve et Jean-Louis Guyader, directeurs
du departement MFAE et de l’ecole doctorale MEGA dans lesquels cette etude a ete menee.
Je tiens a exprimer ma reconnaissance a Monsieur Daniel Henry, directeur de recherche au CNRS, pour
avoir assure la direction scienti que de cette these. Ses conseils avises ainsi que son ouverture d’esprit
ont largement contribue a l’aboutissement de ce travail. J’ai pu par ailleurs apprecier au cours de notre
collaboration ses qualites humaines et ses encouragements constants ont ete d’un grand soutien. Je le
remercie par ailleurs pour la con ance qu’il m’a accordee, sa disponibilite ainsi que l’amitie qu’il m’a
temoignee tout au long de ce travail.
Je remercie chaleureusement Monsieur Hamda Ben Hadid, professeur a l’universite de Lyon, avec qui j’ai
pu partager des longues journees a mettre en place des codes de simulations numeriques pour ce travail.
Son experience a toujours ete la source de conseils eclaires qui m’ont permis d’avancer dans mes recherches.
Mes remerciements vont egalement a Monsieur Ridha Touihri, ma^ tre de conferences a Tunis, pour la
collaboration fructueuse que nous avons eue ensemble au cours de ce travail. Nos discussions au sujet des
instabilites ont ete a la base de developpements prometteurs. En outre, cette collaboration s’est deroulee
dans une ambiance amicale que j’ai particulierement appreciee.
Je remercie Monsieur Bernard Roux, directeur de recherche au CNRS, pour avoir assure la presidence
du jury de cette these. Je remercie vivement Monsieur Jean-Paul Garandet, directeur de recherche au
CEA ainsi que Monsieur Abdelkader Mojtabi, professeur a l’universite de Toulouse, pour avoir accepte
d’^etre rapporteurs et pour avoir porte une attention rigoureuse et critique a ce memoire. Mes souvenirs a
Monsieur Mojtabi remontent a bien longtemps, et sa passion ainsi que son engagement envers les sciences
physiques m’ont toujours pousse a approfondir les concepts physiques de la nature qui nous entoure.4Table des matieres
1 Introduction et motivations 7
2 Elements bibliographiques 13
2.1 Cadre general de l’etude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Apparition et evolution de l’instabilite de Rayleigh-Benard . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Instabilite de Rayleigh-Benard-Marangoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Mecanismes de destabilisation des uides en rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Ecoulements chau es soumis a un champ magnetique tournant . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6 Ecoulements chau es soumis a un champ magnetique constant . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.7 Vers une stabilisation des bains fondus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Equations de conservation 25
3.1 Presentation generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Dynamique des uides conducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.1 Mise sous forme adimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.2 Conditions aux limites de type rigide-rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.3 aux de type rigide-libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Cadre de la theorie MHD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 Description d’un uide conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4.1 Loi d’Ohm generalisee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4.2 Equations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4.3 Equation d’induction et force de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.5 Application a la metallurgie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.5.1 Principes de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.5.2 Equations en brassage circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5.3 Application d’un champ magnetique constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4 Methodes numeriques d’integration 39
4.1 Preambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2 Classe des equations aux derivees partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3 Discretisation du probleme : methodes spectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3.1 Formulation faible et polyn^ omes d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3.2 De nition des elements isoparametriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.4 Les methodes d’integration temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.4.1 Formulation vitesse-pression instationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.4.2 Methode de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.5 Modes normaux, dynamique lineaire et stabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.6 Caracterisation et extraction des modes propres dominants . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.6.1 Les methodes de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.6.2 Processus d’Arnoldi adapte au probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.7 Application a la recherche directe des seuils de bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.8 Variation de l’amplitude de l’instabilite avec la distance au seuil . . . . . . . . . . . . . . 476 TABLE DES MATIERES
4.9 La technique de continuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.9.1 Prediction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.9.2 Correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.9.3 Implementation de la methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.10 Application et validation des methodes numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.10.1 La force de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.10.2 Convection thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.10.3 Le systeme magnetohydrodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.11 Couplages multiphysique et thermomecanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5 Dynamique de la convection en presence d’une surface libre 57
5.1 Preambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2 Stabilite lineaire de l’ecoulement di usif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.2.1 In uence du con nement sur les seuils primaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2.2 des e ets lies a la surface libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.3 Convection non lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.3.1 Diagrammes de bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.3.2 Suivi des seuils secondaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.4 Comparaison des resultats avec le cas rigide-rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6 Dynamique de la convection en presence d’un champ magnetique 81
6.1 Preambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.2 Convection en presence d’un champ magnetique constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.2.1 Evolution des seuils et des structures primaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.2.2 Dynamique des ecoulements stationnaires soumis a un champ magnetique constant
pour un uide avec Pr = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.2.3 des ecoulements soumis a un champ magnetique constant
pour un liquide metallique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.3 Convection en presence d’un champ magnetique tournant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.3.1 Dynamique axisymetrique de la convection sous champ magnetique tournant . . . 95
6.3.2 tridimensionnelle de la convection sous champ magneti
