Étude d'ondes non linéaires hydrodynamiques : approches théorique et expérimentale, Study of nonlinear hydrodynamical waves : theory and experiments
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Thèse soutenue le 29 janvier 2008: INPL
Cette thèse est dédiée à l'étude d'ondes non linéaires dans des écoulements en rotation. Dans une première partie, je me suis intéressé aux ondes de Rossby apparaissant par instabilités de thermoconvection dans une coquille sphérique en rotation représentant un modèle simplifié de noyau planétaire tellurique, et ce pour deux types de forçage: un chauffage interne correspondant à une activité radioactive du noyau et un chauffage différentiel lié à la différence de température entre les frontières interne et externe. Selon le théorème de Proudman-Taylor, l'écoulement possède une faible dépendance en la coordonnée axiale à cause de la rotation rapide. Cela permet de simplifier les modèles 3D en des modèles quasi géostrophiques 2D reposant sur une intégration axiale. Cette thèse présente la première comparaison systématique entre modèles 2D et 3D (Simitev, U-Glasgow) concernant des ondes de Rossby faiblement non linéaires. En 2D l'équation de Landau régissant l'amplitude de l'onde critique est calculée; l'amplitude de la convection et celle des écoulements zonaux ainsi prédites se comparent assez bien aux résultats 3D. L'existence d'une bifurcation sous-critique est établie à très bas nombre d'Ekman en chauffage interne et en chauffage différentiel, à condition dans ce dernier cas que le nombre de Prandtl soit petit. La seconde partie est une étude expérimentale de l'écoulement d'eau et de ses premières instabilités dans un canal annulaire creusé dans un plateau éventuellement en rotation surmonté d'un couvercle tournant. Trois cas sont étudiés: le cisaillement pur correspondant à la rotation du couvercle seul, la corotation rapide et la contrarotation pure. Le seuil d'instabilité détecté par mesures globales (visualisations par caméra vidéo) et locales par Vélocimétrie Laser Doppler se caractérise par des ondes spiralées. Dans le cas de la contrarotation pure, des structures localisées dans l'espace-temps peuvent coexister avec les ondes. Une comparaison est effectuée avec des calculs numériques (Serre, CNRS-Marseille). Un accord relativement bon est obtenu pour l'écoulement de base (vitesse azimutale) et la première instabilité (nombre de Reynolds, nombre d'onde et fréquence angulaire critiques)
-Instabilités hydrodynamiques
-Physique non linéaire
A first part is devoted to the study of the Rossby waves that appear in a rotating spherical shell representing the core of a terrestrial planet by thermal instabilities for two heating types. Internal heating is driven by radioactive sources and differential heating is driven by a difference of temperature between the internal and external frontiers. According to the Proudman-Taylor theorem, the flow depends only weakly on the axial coordinate because of the high rotation rate. Thus the 3D models can be simplified into quasi-geostrophic 2D models \textit{via} an axial integration. I present the first systematic comparison between 2D and 3D models (Simitev, U-Glasgow) for weakly nonlinear Rossby waves. In 2D the Landau equation that controls the amplitude of the critical wave is calculated. Predicted convection' amplitude and zonal flows agree rather well with the 3D results. The existence of a subcritical bifurcation is established at very low Ekman numbers with internal and differential heating; in this latter case, the Prandtl number also has to be small for the bifurcation to be subcritical. The second part is an experimental study of water flows and its first instabilities in an annular channel digged in a plate which may rotate, and which is sheared by a rotating lid. Three cases are studied: a pure shear where only the lid turns, a rapid corotation and a pure contrarotation. The onset of instability is studied with global measurements (using a video camera) and local ones (Laser Doppler Anemometry) and is characterized by spiralling waves. In the case of contrarotation, patterns localized in space and time may coexist with the waves. The comparison of these results with numerical ones (Serre, CNRS-Marseille) is done and shows a rather good agreement for the basic azimutal flow and the first instability (critical Reynolds number, wavenumber and angular frequency)
-Hydrodynamic instabilities
-Nonlinear Physics
Source: http://www.theses.fr/2008INPL005N/document
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AVERTISSEMENT
Ce document est le fruit d’un long travail approuvé par le jury de
soutenance et mis à disposition de l’ensemble de la communauté
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Contact SCD INPL : scdinpl@inpl-nancy.fr
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Ann´ees universitaires 2004-2007
Institut National Polytechnique de Lorraine
´Ecole doctorale EMMA
´Formation M´ecanique - Energ´etique
´LEMTA - UMR 7563 CNRS, Nancy - Universite
Th`ese de doctorat
´enM´ecanique - Energ´etique
pr´esent´ee par
Yannick LEBRANCHU
´Etude d’ondes non lin´eaires hydrodynamiques :
approches th´eorique et exp´erimentale
Directeurs de th`ese : Jean-Pierre BRANCHER & Emmanuel PLAUT
Soutenance publique pr´evue le 29 janvier 2008
`Jury de these :
Rapporteurs : Philippe CARDIN Directeur de recherche CNRS, LGIT, Grenoble
Fran¸cois CHARRU Professeur, IMFT, Toulouse
´Examinateurs : Eric SERRE Charg´e de recherche CNRS, LMSNMGP, Marseille
Jean-Pierre BRANCHER Professeur, LEMTA, Vandœuvre-l`es-Nancy
Ch´erif NOUAR Directeur de recherche CNRS, LEMTA, Vandœuvre-l`es-Nancy
Emmanuel PLAUT Maˆıtre de conf´erence, LEMTA, Vandœuvre-l`es-Nancy
´President du Jury : Ch´erif NOUAR
Vandœuvre-l`es-Nancy, le 22 f´evrier 2008Table des mati`eres
Introduction g´en´erale - Motivations 9
I Partie th´eorique 15
1 Introduction : des ondes de Rossby thermiques 19
1.1 Contexte plan´etologique - Difficult´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2 Les ondes de Rossby thermiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3 Mod`eles Boussinesq tridimensionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 Mod`eles Boussinesq bidimensionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5 Approche exp´erimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6 Plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Nomenclature de la partie th´eorique 29
2 Mod`eles de thermoconvection 31
´2.1 Equations mod`eles tridimensionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
´2.2 Equilibre g´eostrophique - Contrainte de Proudman-Taylor . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Adimensionnement des ´equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4 Mod`ele g´eostrophique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5 Mod`eles quasi g´eostrophiques bidimensionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5.1 Mod`eles de vitesse verticale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5.2 Mod`ele de perturbation en temp´erature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
´2.5.3 Equations des mod`eles quasi g´eostrophiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
´• Equation de la vorticit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
• Moyenne axiale de la composante azimutale de l’´equation de Navier-Stokes 38
´• Equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6 Conditions limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.6.1 Conditions limites pour la perturbation en temp´erature . . . . . . . . . . . . 43
2.6.2 Conditions limites pour la fonction courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.7 R´egularit´e du mod`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3 Analyse lin´eaire 47
3.1 Principes de l’analyse lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Th´eories asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.1 Th´eories asymptotiques locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.2 Th´eories asymptotiques globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.3 Structure spiral´ee des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3 R´esultats de l’analyse de stabilit´e num´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3.1 Nombre de Prandtl unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3.2 P =0,1 et P =10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3`4 TABLE DES MATIERES
3.4 Comparaison aux th´eories asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.4.1 Th´eorie asymptotique locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.4.2 Th´eorie asymptotique globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4 Analyse faiblement non lin´eaire 73
4.1 Structure de la solution faiblement non lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2 Modes 0 calcul´es par ´elimination quasi statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2.1 Mode 0 de vitesse : ´ecoulement zonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2.2 Mode 0 de temp´erature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3 Modes 2 calcul´es par ´elimination quasi statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.4 R´etroaction sur le mode 1 : ´equation d’amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4.1 Principe de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.5 R´esultats non lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.5.1 R´esultats en chauffage interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.5.2 R´esultats en chauffage diff´erentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.5.3 Bifurcation sous-critique - analyse des m´ecanismes . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.5.4 Comparaison des mod`eles 2D et 3D sur le mode 0 de vitesse. . . . . . . . . . 86
4.5.5araison des mod`eles avec et sans pompage d’Ekman sur le mode 0 de
vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5 Conclusion-Perspectives 97
II Partie exp´erimentale 101
6 Introduction `a la partie exp´erimentale 105
6.1 Contexte et motivations de l’´etude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.2 Bibliographie : ´ecoulements mod`eles entre plans infinis . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.3 Bibliographie : ´ecoulements au-dessus d’un disque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.4 Bibliographie : ´ecoulements entre deux disques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
´6.4.1 Ecoulements de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.4.2 Premi`eres instabilit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.5 Bibliographie : cas de la configuration annulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.6 Plan de cette partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Nomenclature 119
7 Mise au point de l’exp´erience 121
7.1 Principe et dimensionnement de cette exp´erience hydrodynamique . . . . . . . . . . 121
7.2 Choix des moteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.3 Syst`eme de commande et de r´egulation des moteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.4 Mesures des vitesses de rotation par compteurs - tests . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
´7.4.1 Etalonnage des codeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
´7.4.2 Etalonnage tension-vitesse des codeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.5 Circuit permettant de commander une contra-rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.6 Traceur pour la visualisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.7 Imagerie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.7.1 Traitement des images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7.8 Mesure de la temp´erature par thermocouple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.9 V´elocim´etrie Laser Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.9.1 Principe de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Yannick Lebranchu`TABLE DES MATIERES 5
7.9.2 Analyse spectrale des signaux de v´elocim´etrie Laser Doppler . . . . . . . . . 140
7.9.3 Platines de translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140<
