Etude cinétique d'un gaz à plusieurs composantes.
104
pages
Français
Documents
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres
104
pages
Français
Documents
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres
Etude cinétique d’un gaz à plusieurs composantes.
Stéphane BRULL
Institut des mathématiques de Toulouse.
17 novembre 2008.
Stéphane BRULL (Institut des mathématiques de Toulouse.) Etude cinétique d’un gaz à plusieurs composantes. 17 novembre 2008. 1 / 67 Sommaire
1 Rappels sur l’équation de Boltzmann.
2 Etude d’un système d’équations cinétiques pour un gaz à deux composantes
situé entre deux parois.
3 Effet fantôme pour un système cinétique pour un gaz à deux composantes.
4 Perspectives.
Stéphane BRULL (Institut des mathématiques de Toulouse.) Etude cinétique d’un gaz à plusieurs composantes. 17 novembre 2008. 2 / 67 Rappels sur l’équation de Boltzmann.
Stéphane BRULL (Institut des mathématiques de Toulouse.) Etude cinétique d’un gaz à plusieurs composantes. 17 novembre 2008. 3 / 67 Equation de Boltzmann.
f(t,x,v) : densité de distribution→ nombre de particules qui à l’instant t
possèdent la position x et la vitesse v.
∂f
(t,x,v)+v·∇ f(t,x,v) = Q(f,f)(t,x,v).x
∂t
Stéphane BRULL (Institut des mathématiques de Toulouse.) Etude cinétique d’un gaz à plusieurs composantes. 17 novembre 2008. 4 / 67 Opérateur de collision.
Z Z
0 0Q(f,f) = B(v−v ,ω)[f(t,x,v )f(t,x,v )−f(t,x,v)f(t,x,v )]dωdv ,∗ ∗ ∗∗
3 2
R S
(1)
où
0 0v = v−hv−v , ωiω, v = v +hv−v , ωiω,∗ ∗ ∗
2 3et ω parcourt la sphère unitéS deR .
B(v−v ,ω)→ Noyau de collision.∗
Stéphane BRULL (Institut des mathématiques de Toulouse.) Etude cinétique d’un gaz à plusieurs composantes. 17 novembre 2008. 5 / 67 Terme de gain Terme ...
Voir
Stéphane BRULL
Institut des mathématiques de Toulouse.
17 novembre 2008.
Stéphane BRULL (Institut des mathématiques de Toulouse.) Etude cinétique d’un gaz à plusieurs composantes. 17 novembre 2008. 1 / 67 Sommaire
1 Rappels sur l’équation de Boltzmann.
2 Etude d’un système d’équations cinétiques pour un gaz à deux composantes
situé entre deux parois.
3 Effet fantôme pour un système cinétique pour un gaz à deux composantes.
4 Perspectives.
Stéphane BRULL (Institut des mathématiques de Toulouse.) Etude cinétique d’un gaz à plusieurs composantes. 17 novembre 2008. 2 / 67 Rappels sur l’équation de Boltzmann.
Stéphane BRULL (Institut des mathématiques de Toulouse.) Etude cinétique d’un gaz à plusieurs composantes. 17 novembre 2008. 3 / 67 Equation de Boltzmann.
f(t,x,v) : densité de distribution→ nombre de particules qui à l’instant t
possèdent la position x et la vitesse v.
∂f
(t,x,v)+v·∇ f(t,x,v) = Q(f,f)(t,x,v).x
∂t
Stéphane BRULL (Institut des mathématiques de Toulouse.) Etude cinétique d’un gaz à plusieurs composantes. 17 novembre 2008. 4 / 67 Opérateur de collision.
Z Z
0 0Q(f,f) = B(v−v ,ω)[f(t,x,v )f(t,x,v )−f(t,x,v)f(t,x,v )]dωdv ,∗ ∗ ∗∗
3 2
R S
(1)
où
0 0v = v−hv−v , ωiω, v = v +hv−v , ωiω,∗ ∗ ∗
2 3et ω parcourt la sphère unitéS deR .
B(v−v ,ω)→ Noyau de collision.∗
Stéphane BRULL (Institut des mathématiques de Toulouse.) Etude cinétique d’un gaz à plusieurs composantes. 17 novembre 2008. 5 / 67 Terme de gain Terme ...
Etude cinétique d’un gaz à plusieurs composantes.
Stéphane BRULL
Institut des mathématiques de Toulouse.
17 novembre 2008.
Stéphane BRULL (Institut des mathématiques de Toulouse.) Etude cinétique d’un gaz à plusieurs composantes. 17 novembre 2008. 1 / 67 Sommaire
1 Rappels sur l’équation de Boltzmann.
2 Etude d’un système d’équations cinétiques pour un gaz à deux composantes
situé entre deux parois.
3 Effet fantôme pour un système cinétique pour un gaz à deux composantes.
4 Perspectives.
Stéphane BRULL (Institut des mathématiques de Toulouse.) Etude cinétique d’un gaz à plusieurs composantes. 17 novembre 2008. 2 / 67 Rappels sur l’équation de Boltzmann.
Stéphane BRULL (Institut des mathématiques de Toulouse.) Etude cinétique d’un gaz à plusieurs composantes. 17 novembre 2008. 3 / 67 Equation de Boltzmann.
f(t,x,v) : densité de distribution→ nombre de particules qui à l’instant t
possèdent la position x et la vitesse v.
∂f
(t,x,v)+v·∇ f(t,x,v) = Q(f,f)(t,x,v).x
∂t
Stéphane BRULL (Institut des mathématiques de Toulouse.) Etude cinétique d’un gaz à plusieurs composantes. 17 novembre 2008. 4 / 67 Opérateur de collision.
Z Z
0 0Q(f,f) = B(v−v ,ω)[f(t,x,v )f(t,x,v )−f(t,x,v)f(t,x,v )]dωdv ,∗ ∗ ∗∗
3 2
R S
(1)
où
0 0v = v−hv−v , ωiω, v = v +hv−v , ωiω,∗ ∗ ∗
2 3et ω parcourt la sphère unitéS deR .
B(v−v ,ω)→ Noyau de collision.∗
Stéphane BRULL (Institut des mathématiques de Toulouse.) Etude cinétique d’un gaz à plusieurs composantes. 17 novembre 2008. 5 / 67 Terme de gain Terme de perte.
+ −Q(f,f) = Q (f,f)−Q (f,f),
avec
Z Z
+ 0 0Q (f,f) = B(v−v ,ω)f(t,x,v )f(t,x,v ),dωdv∗ ∗∗
3 2
R S
et
Z Z
−Q (f,f) = B(v−v ,ω)f(t,x,v)f(t,x,v )dωdv .∗ ∗ ∗
3 2
R S
Stéphane BRULL (Institut des mathématiques de Toulouse.) Etude cinétique d’un gaz à plusieurs composantes. 17 novembre 2008. 6 / 67 Conditions de bord.
Données au bord rentrantes.
f(t,x,v) = f (t,x,v), t≥ 0, x∈ ∂Ω, hv,n (x)i < 0,b ext
où f est une fonction donnée au bord.b
Maxwell diffuses.
s
!3Z 222πm m mv0 0 0f(t,x,v) = hv ,n (x)if(t,x,v )dv exp(− ),ext
RT 0 2πRT 2πRT0 hv ,n (x)>0i 0 0ext
(x∈ ∂Ω,hn (x),vi < 0) ,ext
où T est la température du bord ∂Ω, R est la constante des gaz parfaits et m est0
la masse d’une molécule de gaz.
Stéphane BRULL (Institut des mathématiques de Toulouse.) Etude cinétique d’un gaz à plusieurs composantes. 17 novembre 2008. 7 / 67 Conditions de bord.
Données au bord rentrantes.
f(t,x,v) = f (t,x,v), t≥ 0, x∈ ∂Ω, hv,n (x)i < 0,b ext
où f est une fonction donnée au bord.b
Maxwell diffuses.
s
!3Z 222πm m mv0 0 0f(t,x,v) = hv ,n (x)if(t,x,v )dv exp(− ),ext
RT 0 2πRT 2πRT0 hv ,n (x)>0i 0 0ext
(x∈ ∂Ω,hn (x),vi < 0) ,ext
où T est la température du bord ∂Ω, R est la constante des gaz parfaits et m est0
la masse d’une molécule de gaz.
Stéphane BRULL (Institut des mathématiques de Toulouse.) Etude cinétique d’un gaz à plusieurs composantes. 17 novembre 2008. 7 / 67 Etude d’un système d’équations cinétiques pour un gaz
à deux composantes situé entre deux parois.
Stéphane BRULL (Institut des mathématiques de Toulouse.) Etude cinétique d’un gaz à plusieurs composantes. 17 novembre 2008. 8 / 67 Le problème étudié
On considère l’équation de Boltzmann stationnaire pour un gaz à deux
composantes pour la géométrie d’un barreau.
∂
ξ f (x,v) = Q(f ,f +f )(x,v)A A A B
∂x
∂
ξ f (x,v) = Q(f ,f +f )(x,v),B B A B
∂x
3x∈ [−1,1],v∈R .
Les solutions de l’équation sont étudiées sous la contrainte :
Z Z1
β
(1+|v|) f (x,v)dxdv = M ,A A
3−1 Rv
Z Z1
β
(1+|v|) f (x,v)dxdv = MB B
3−1 Rv
Du point de vue numérique. [Sone, Aoki, Doi, 1992].
Stéphane BRULL (Institut des mathématiques de Toulouse.) Etude cinétique d’un gaz à plusieurs composantes. 17 novembre 2008. 9 / 67
