Ensemble canonique
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Pr´eparation `a l’Agr´egation de Sciences Physiques Franc¸ois Levrier
ENSP - Montrouge
´Physique Statistique - Corrige du TD 2
Ensemble canonique
18 octobre 2005
I - Statistique sur un nombre fini d’´etats quantiques
1. Chacune des deux particules peut ˆetre dans l’un des trois ´etats individuels |0i, |1i et
|2i, mais le nombre d’´etats quantiques possibles pour l’ensemble des deux particules d´epend
de la statistique consid´er´ee. Dans le cas de la statistique de Maxwell-Boltzmann avec des
particules discernables, le nombre d’´etats quantiques du syst`eme est simplement ´egal au
produit du nombre d’´etats individuels de chaque particule, donc Ω = 9. Lorsque lesMBD
particules sont des indiscernables, il faut prendre en compte le postulat de sym´etrisation.
Les ´etats|ai⊗|bi et|bi⊗|ai sont alors indistincts et ne doivent ˆetre compt´es qu’une fois.
D’autre part, si les particules sont des bosons, les ´etats de la forme|ai⊗|ai sont autoris´es,
d’ou` Ω = 6. Enfin, lorsqu’on consid`ere la statistique de Fermi-Dirac, il faut ´egalementBE
ignorer ces ´etats|ai⊗|ai, ce qui implique que Ω = 3.FD
2. La fonction de partition est d´efinie comme la somme, sur tous les ´etats du syst`eme,
des termes exp(−βE) ou` E est l’´energie du syst`eme dans l’´etat consid´er´e. En utilisant le
d´enombrement de la question pr´ec´edente et en ´ecrivant le tableau des ´energies E,
MBD BE FD
|0i⊗|0i −→ E = 0 1 1 0
|0i⊗|1i −→ E = 2 1 1
|0i⊗|2i −→ E = 2 2 1 1
|1i⊗|1i −→ E = 2 1 1 0
|1i⊗|2i −→ E = 3 2 ...
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ENSP - Montrouge
´Physique Statistique - Corrige du TD 2
Ensemble canonique
18 octobre 2005
I - Statistique sur un nombre fini d’´etats quantiques
1. Chacune des deux particules peut ˆetre dans l’un des trois ´etats individuels |0i, |1i et
|2i, mais le nombre d’´etats quantiques possibles pour l’ensemble des deux particules d´epend
de la statistique consid´er´ee. Dans le cas de la statistique de Maxwell-Boltzmann avec des
particules discernables, le nombre d’´etats quantiques du syst`eme est simplement ´egal au
produit du nombre d’´etats individuels de chaque particule, donc Ω = 9. Lorsque lesMBD
particules sont des indiscernables, il faut prendre en compte le postulat de sym´etrisation.
Les ´etats|ai⊗|bi et|bi⊗|ai sont alors indistincts et ne doivent ˆetre compt´es qu’une fois.
D’autre part, si les particules sont des bosons, les ´etats de la forme|ai⊗|ai sont autoris´es,
d’ou` Ω = 6. Enfin, lorsqu’on consid`ere la statistique de Fermi-Dirac, il faut ´egalementBE
ignorer ces ´etats|ai⊗|ai, ce qui implique que Ω = 3.FD
2. La fonction de partition est d´efinie comme la somme, sur tous les ´etats du syst`eme,
des termes exp(−βE) ou` E est l’´energie du syst`eme dans l’´etat consid´er´e. En utilisant le
d´enombrement de la question pr´ec´edente et en ´ecrivant le tableau des ´energies E,
MBD BE FD
|0i⊗|0i −→ E = 0 1 1 0
|0i⊗|1i −→ E = 2 1 1
|0i⊗|2i −→ E = 2 2 1 1
|1i⊗|1i −→ E = 2 1 1 0
|1i⊗|2i −→ E = 3 2 ...
Pr´eparation`al’Agre´gationdeSciencesPhysiques ENSP Montrouge
Fran¸coisLevrier
PhysiqueStatistiqueCorrig´eduTD2 Ensemble canonique 18 octobre 2005
IStatistiquesurunnombrefinid’e´tatsquantiques 1.Ccuhaitucpxradsueeneddansetreeutˆlespate´siortsednu’lselduvidiints|0i,|1iet |2ibmon’derate´uqstma,leispsuolre’snmelbdeantiquespossiblednepe´dpauxdeesesulicrt delastatistiqueconsid´ere´e.DanslecasdelastatistiquedeMaxwellBoltzmannavecdes particulesdiscernables,lenombred’e´tatsquantiquesdusyst`emeestsimplement´egalau produitdunombred’´etatsindividuelsdechaqueparticule,doncΩMBDLorsque les= 9. particulessontdesindiscernables,ilfautprendreencomptelepostulatdesym´etrisation. Les´etats|ai ⊗ |biet|bi ⊗ |aiisrolatnosdoneettsnctiisnderocpm´tvineˆttefois.esqu’une D’autrepart,silesparticulessontdesbosons,lese´tatsdelaforme|ai ⊗ |aisutorontas,is´e d’o`uΩBE6=,nolE.fintue´agelemtnFermiDirac,ilfasaleitatqitsedeuqursnc’osionerd` ignorercese´tats|ai ⊗ |ai, ce qui implique que ΩFD= 3. 2.itiopartondenctiaLofme,udystse`see´atstrtsuslousolae,mmceinemmotsenfie´d des termes exp(−βE)o`uEestl’´entlesy`tmedereigdesucoatidnsslanet’´litunasi´re´nE.e d´enombrementdelaquestionpre´ce´denteeten´ecrivantletableaudes´energiesE, MBD BE FD |0i ⊗ |0i −→E1 10= 0 |0i ⊗ |1i −→E=12 1 |0i ⊗ |2i −→E= 212 1 |1i ⊗ |1i −→E= 201 1 |1i ⊗ |2i −→E= 312 1 |2i ⊗ |2i −→E= 401 1 onobtientlesfonctionsdepartitionsuivantes,de´pendantdelastatistiqueconside´r´ee, 2 34 23 42 3 ZMBD= 1 + 2ξ+ 3ξ+ 2ξ+ξ ZBE= 1 +ξ+ 2ξ+ξ+ξ ZFD=ξ+ξ+ξ . Onapose´ξ= exp (−β,n’´rlriecretuan.D)ruoppmisefiilMaxwellBoltzmanlssaatittsqieued onpeutintroduireleseffetsd’indiscernabilite´endivisantlafonctionZMBD’o`u2!,dpar
1 2 34 ZMB+ 2= 1ξ+ 3ξ+ 2ξ+ξ , 2
ce qui ne redonne pas la fonction de partition de la statistique de BoseEinstein, du fait de l’existenced’e´tatso`ulesparticulessontdanslemeˆme´etatindividuel.Ceuxciexistentdans lesdeuxstatistiques,etontlemeˆmenombreder´ealisationsdanslesdeuxcas,nombrequi
nedoitpasˆetremodife´parlefacteurdeGibbs.Onretrouvelefait,note´auTD1,quela division parNt´libinaerscdiin’ledtnemetcerrocmptendconere!rticulesuqleseapqeeuolsr occupentdes´etatsquantiquesindividuelsdistincts. 3.eparnn´eyennlamo´drepenosee´e´dene´eL’etnieigrodtseenrrgnesmieroacopsceuqi,s X X 1 1∂Z1ξ ∂Z∂Z ∂ξ U=PlEl=Elexp (−βEl) =−=−=. Z Z∂β Z∂ξ ∂βZ ∂ξ l l Enfonctiondelastatistiqueconside´r´ee,onaalors 2 3 ξ2 + 6ξ+ 6ξ+ 4ξ UMBD=UMB=,pour la statistique de MaxwellBoltzmann, 2 34 1 + 2ξ+ 3ξ+ 2ξ+ξ 2 3 ξ1 + 4ξ+ 3ξ+ 4ξ UBE=,pour la statistique de BoseEinstein, 2 3 4 1 +ξ+ 2ξ+ξ+ξ 2 ξ1 + 2ξ+ 3ξ UFD=,pour la statistique de FermiDirac. 2 3 ξ+ξ+ξ Danslalimitedeshautestemp´eratures,soitpourβ→0 et doncξ→1, on a limUMB= limUBE= limUFD= 2 . ξ→1ξ→1ξ→1
Onl’interpre`tedelafa¸consuivante:Laprobabilit´ePltatedahce´euqlependantientind´vede delatemp´erature,etlafonctiondepartitiontendverslenombred’e´tatsaccessiblesΩ. L’nergieinternetenddoncverslavaleurmoyennedes´energiesaccessibles,quiestlameˆme quellequesoitlastatistiqueconsid´er´ee. ` Abassetemp´erature,soitβ→ ∞et doncξ→tnaviusstnereff´ditsenemrtpoomedcso,an0 la statistique, puisque
limUMB= limUBE= 0et limUFD= . ξ→0ξ→0ξ→0
Danslesdeuxpremierscas,lesdeuxparticulessontdansl’´etatd’e´nergienulle,alorsque danslecasdefermions,l’unedesparticulesestdansl’´etat|0itta´el’nseda’raetult|1i.
II Pression de sublimation d’un corps pur
Description du gaz 1.nsit´ed’,queladenuperaite´atst’dnaOejd´a,e´1DTuaca`luclrbilelucessamedemdans une boˆıte de volumeVenne´tsodfonce,endel’tionene´eigr, par 3/2 3/2 V mm 1/2 1/2 ρ() ==AV avecA= 2 32 3 2π~2π~
2.La fonction de partitionzenua`ee´icossaseazegedulicrtpacalculeenutilisatnaledsntie´ d’e´tatscidessus,commeuneinte´gralequiestlalimitecontinuedelaformuleclassiquede sommationsurlese´tatsdiscrets,soit Z ZZ ∞ ∞∞ 2AV 2 −β1/2−β2−x2 z=ρ()ed=eAV d=x edxen posantβ=x . 3/2 0 0β0 Cetteint´egralepeutsecalculerparint´egrationparpartie,etellevautπ/P.4ocrae´snneuqt,
2 AV πV2π~ z= == laavec Λlongueur d’onde thermique de de Broglie. 3/2 3 2βΛmkBT 3.e´’lnorticecxereCl’amommeoprune,t´cderpe´nctilafoulercalcssanoititrapedno`aeei´oc l’ensemble desNgraitucelpuantlegasconstitvuopdrioli,ztuafesrlta´eno´erembivantssutla statistiqueapproprie´e.Orlecalculexactdanslecasge´ne´ralestimpossible,danslecadredu formalismecanonique,dufaitdel’indiscernabilite´desparticules.Unepossibilite´decalcul approch´econsiste`autiliserl’approximationdeMaxwellBoltzmann.Pourcela,onpartdu casou`lesNgosselucirecsidtnrtpa´teee´ora`ds1ees,enablcnumtdonNgfonction de. La partitionassocie´e`acesyst`emeestalorsdonn´eeparlasomme X (d) exp ( Zg=−βEl), l o`ul=λ1⊗. . .⊗λNgatetcrmicoosqupie´dngis´nuessy`tdesuteelme,eλiontlstatses´e individuelsdechaqueparticule.Commed’autrepartl’e´nergieEletse´agemm`alesola des´energiesindividuellesdesparticules,puisquelegazestsuppose´parfait,onpeutalors factoriser X X (d)Ng Z(= exp−β)×. . .×) =z , g λ1exp (−βλNg λ1λN g laderni`ere´egalite´exprimantlefaitquetouteslesparticulesontlamˆemefonctiondepartition individuelle.L’approximationdeMaxwellBoltzmannprendencomptel’indiscernabilite´en divisant par le facteurNg!e,´`jd’altdiaemnoc,mo Ng z Zg=. Ng! Ceciestjustifi´esilaprobabilite´quedeuxparticulessoientdanslemeˆme´etatquantique individuelesttre`sfaible.CelaseralecassilenombremoyenNλucelraitdpeatetn´suansd donne´λpemeˆmiultselusee´atseaptrcint1.Or,letitdevatseenec,rbmodaenesntinntepd´ e´gala`Ngiofaborpalseqt´libiarepunu’elositucsnectiadat,st´etoit Ng β −λ Nλ=NgPλ=e . z Cenombreestpetitdevantund`eslorsquecetteconditionestre´alise´epourl’e´tatfonda mental,quiestlepluspeuple´,etdontl’e´nergieestnulle, 3 NgNgΛ N0= =1. z V
