Contrôle optimal par simulation aux grandes échelles d'un écoulement turbulent, Optimal control of turbulent channel flow using Large Eddy Simulations

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THÈSE
présentée en vue de l’obtention du grade de
DOCTEUR DE L’INSTITUT NATIONAL
POLYTECHNIQUE DE LORRAINE
Spécialité : Mécanique et Énergétique
par
Ali EL SHRIF
CONTRÔLE OPTIMAL PAR SIMULATION
AUX GRANDES ECHELLES D’UN ECOULEMENT
DE CANAL TURBULENT.
Direction de Thèse : Salaheddine Skali-Lami - Laurent Cordier
Soutenue le 10 juillet 2008 devant la Commission d’Examen
— JURY —
C. AIRIAU Professeur UPS - IMFT, Toulouse Rapporteur
J.-P. BRANCHER Professeur INPL - LEMTA, Nancy Examinateur
P. COMTE Professeur ENSMA - LEA, Poitiers Rapporteur
L. CORDIER Chargé de recherche CNRS - LEA, Poitiers Co-directeur de thèse
A. KOURTA Professeur Polytech Orléans - PRISME Examinateur
S. SKALI LAMI Maître de conférences (HDR) ESSTIN - LEMTA, Nancy Directeur de thèse
S. TARDU Maître de conférences (HDR) UJF - LEGI, Grenoble Examinateur“Without an inexpensive method for reducing the cost of flow computations,
it is unlikely that the solution of optimization problems involving the three
dimensional, unsteady Navier-Stokes system will become routine.”
Max Gunzburger (2000).i
Remerciements
L’étude présentée ici a été effectuée au Laboratoire d’Energétique et de Mécanique
Théorique etAppliquée(LEMTA) del’InstitutNational Polytechnique deLorraine (INPL)
sous la direction de Messieurs S. Skali-Lami et L. Cordier.
J’aimerais remercier tout spécialement S. Skali-Lami maître de conférences à l’ESSTIN
et chercheur au LEMTA pour avoir assuré la direction de cette étude. Je tiens également
à remercier L. Cordier, chargé de recherche au CNRS et travaillant actuellement au La-
boratoire d’Etudes Aérodynamiques de Poitiers, pour m’avoir confié cette étude lorsqu’il
était maître de conférences à l’EEIGM (INPL) et chercheur au LEMTA. Je le remercie
encore pour ses conseils, ses encouragements ainsi que de m’avoir fait bénéficier de ses
compétences scientifiques qui m’ont été d’une aide inestimable pour la réalisation de ce
travail. Je le remercie également pour l’aide accordée durant la rédaction de ce mémoire.
La nature de ma thèse m’a transmis la conviction en la capacité de l’homme d’être capable
en partant de modèles théoriques de simuler les phénomènes physiques et de les contrôler.
J’adresse mes respectueux remerciements à Monsieur J.-P. Brancher, Professeur au
LEMTA. J’ai été très sensible à l’honneur qu’il m’a fait en acceptant de présider le jury de
cette thèse. Je tiens aussi à exprimer ma profonde reconnaissance à Monsieur P. Comte,
Professeur ENSMA (LEA université de Poitiers), et à Monsieur C. Airiau, Professeur UPS
(IMFT Toulouse), qui m’ont fait le privilège de rapporter sur ce travail. Je les remercie
profondément pour toutes les remarques et les suggestions qu’ils m’ont formulées et qui
m’ont été d’une très grande utilité.
J’adresseaussimesremerciements àMonsieurS.Tardu,Maîtredeconférencesàl’UJF-
LEGIGrenoble,etàMonsieurA.Kourta, ProfesseuràPolytech Orléans(PRISME)d’avoir
accepté de faire partie du jury, d’avoir jugé ce travail et communiqué leurs remarques per-
tinentes.
Mes remerciements sont aussi adressés à Monsieur O. Botella, maître de conférences
(LEMTA - Nancy) pour l’aide qu’il m’a accordé durant la phase de programmation. Je
remercie mes collègues chercheurs pour leur gentillesse et les moments agréables que nous
avons pu savourer ensemble, soit dans l’ordre alphabétique R. Arieby, M. Bergmann, F.
Candelier, A. Esmael, M. Haboussi, Y. Lebranchu, J. Moujel, N. Rolland et S. Ramezani.
Je ne voudrais pas manquer d’effectuer la tâche impossible qui est de remercier toutes
les secrétaires du laboratoire, notamment Mme Catherine Denis et Mme Edith Lang pourii
leur efficacité et leur gentillesse.
Je tiens aussi à remercier le gouvernement Lybien pour l’aide financière qu’il m’a ac-
cordé en m’octroyant une bourse. Enfin, je remercie toute ma famille pour son aide inesti-
mable, en particulier Muna car sans son soutien, sa patience et son dévouement, ce travail
n’aurait pas pu être achevé.
EL SHRIF Ali. Nancy, Juillet 2008.Table des matières
1 Introduction 1
1.1 Le contrôle d’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Contrôle passif et contrôle actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Contrôle d’écoulement et réduction de modèles . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Réduction de modèle par simulation aux grandes échelles . . . . . . . . . . . 5
1.5 Contrôle optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6 Configuration de l’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.7 Organisation du document . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Simulation aux Grandes Echelles du canal turbulent non contrôlé 13
2.1 Configuration d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Equations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.1 Mise en équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.2 Adimensionnement du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2.1 Adimensionnement des équations de Navier-Stokes . . . . . 16
2.2.2.2 Grandeurs en unités de paroi . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Simulations aux grandes échelles (LES) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.1 Principe général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.2 Opérateur de filtrage et séparation d’échelles . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.3 Equations filtrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.4 Fermeture par hypothèse de Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.5 Modèle de Smagorinsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.6 Procédure dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Méthodes de résolution numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.1 Récapitulation du modèle LES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.2 Discrétisation temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.2.1 Discussion sur la stabilité du schéma numérique . . . . . . 29
2.4.2.2 Schéma d’intégration temporelle . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.2.3 Linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.2.4 Méthode à pas fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.3 Discrétisation spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.3.1 Maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.3.2 Localisation des inconnues . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.3.3 Filtres discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.3.4 Discrétisation des dérivées spatiales . . . . . . . . . . . . . 39
2.4.3.5 Résolution de l’équation de Poisson . . . . . . . . . . . . . 41
2.4.4 Condition initiale et conditions aux limites. . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4.4.1 Condition initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4.4.2 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
iiiiv TABLE DES MATIÈRES
2.4.4.3 Gestion de la périodicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4.4.4 Terme de forçage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5 Simulations numériques à Re = 180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45τ
2.5.1 Caractéristiques des simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5.1.1 Résolutions spatiale et temporelle . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5.1.2 Calcul des statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5.1.3 Génération numérique de la transition . . . . . . . . . . . . 50
2.5.1.4 Caractérisation d’un régime turbulen