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Frédéric Bertrand

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Motivations Problématique statistique Plans sphériques de force t Bases de Gröbner Exemple d’application
Construction et analyse de plans
d’expérience sphériques isovariants à l’aide
d’outils combinatoires et algébriques
1FRÉDÉRIC BERTRAND
1IRMA, Université Louis Pasteur
Strasbourg, France
Courriel :fbertran@math.u strasbg.fr
JDS07 – Angers – 11 juin 2007Motivations Problématique statistique Plans sphériques de force t Bases de Gröbner Exemple d’application
Sommaire
Motivations
Problématique statistique
Admissibilité et isovariance
Isovariance et surfaces de réponses
Confusions d’effets
Plans sphériques de force t
Déﬁnition et premières propriétés des plans sphériques
Existence de plans sphériques
Estimabilité
Bases de Gröbner
Exemple d’applicationMotivations Problématique statistique Plans sphériques de force t Bases de Gröbner Exemple d’application
Motivations
Le travail réalisé porte sur l’utilisation combinée d’outils
combinatoires et algébriques pour la construction et
l’analyse de plans d’expérience.
Les principaux avantages de cette approche sont sa grande
généralité, son automatisation et l’obtention des
coordonnées exactes des points du plan ainsi que la
détermination complète des confusions d’effets.Motivations Problématique statistique Plans sphériques de force t Bases de Gröbner Exemple d’application
Nous intéresserons ici plus particulièrement à la méthodologie
des surfaces de réponse, à laquelle le lecteur trouvera une
introduction dans Myers et ...

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Sphère D'une ombre à l'autre Polynôme Théorème de Rice Technologies de Stargate Mesures agro-environnementales

oMitavitnosrPboélamituqetstasiituqelPnaspséhrqieusedofcretaBessedrGböenrConstructionetanalysedeplansxEmelped’expériencesphériquesisovariantsàl’aided’outilscombinatoiresetalgébriquesFRÉDÉRICBERTRAND11IRMA,UniversitéLouisPasteurStrasbourg,FranceCourriel:fbertran@math.u-strasbg.frJDS07–Angers–11juin2007’dpalpcitaoin

oMitavitnosrPboélamitMotivationsuqetstasiituqelPnaspséhrqieusedofcretSommaireProblématiquestatistiqueAdmissibilitéetisovarianceIsovarianceetsurfacesderéponsesConfusionsd’effetsaBessedrGböenrxEmepPlanssphériquesdeforcetDéﬁnitionetpremièrespropriétésdesplanssphériquesExistencedeplanssphériquesEstimabilitéBasesdeGröbnerExempled’applicationel’dpalpcitaoin

oMitavitnoLsertParvboaliélamritqéuaeiltsasitséituqperoetPsalsnpséhrqieusedofcretMotivationsru’ltulisitaoinocBmabsisendéeGeörnbreEd’outilscombinatoiresetalgébriquespourlaconstructionetl’analysedeplansd’expérience.expmelLesprincipauxavantagesdecetteapprochesontsagrandegénéralité,sonautomatisationetl’obtentiondescoordonnéesexactesdespointsduplanainsiqueladéterminationcomplètedesconfusionsd’effets.’dpalpcitaoin

oMitavitnosrPboélamituqetstasiituqelPnaspséhrqieusedofcretaBessedrGböenrxEmelpe’dpaNousintéresseronsiciplusparticulièrementàlaméthodologiedessurfacesderéponse,àlaquellelelecteurtrouverauneintroductiondansMyersetMontgomery(2002),etplusspéciﬁquementaucasdesplanssphériquesetàlapropriétéd’isovariancestatistique,introduiteparBoxetHunter(1957).Lesplansdontlespointssupportssontsituéssurunesphèreinterviennentégalement,entreautres,danslesdomainessuivants:1.larégressionsphérique,2.lareconnaissancedeformes,3.lagéostatistique4.l’analysedesaberrationsoptiqueslpcitaoin

oMitavitnosrPboélamituqetstasiituqelPnaspséhrqieusedofcretaBessedrGböenrxEmelpe’dActuellementlaconstructiondeplansd’expérienceeuclidiensreposegénéralementsurlarecherchenumériquedescoordonnéesdespointsduplan.papSicetterésolutionnumériquepeut,deprimeabord,semblersatisfaisantepourl’expérimentateur,ils’avèrequ’ellesouffredecertainsdéfauts.Ellerendàlafoisimpossiblel’obtentiond’uneclassiﬁcationdesplansàuneisométrieorthogonaleprèsetl’analyseexactedesconfusionsd’effetsquiapparaissentnécessairementlorsquenousnousintéressonsàdesplanseuclidiensdepetitetaille.Oruneconnaissanceprécisedesconfusionsd’effetsestimportantepourleplaniﬁcateuretrendenparticulierpossiblel’ajoutdetermescomplémentairesàdesmodèlespolynomiauxquinemodélisentpaslaréponseavecsufﬁsammentdeprécision.ilacitno

oMitavitnosrPboélamituqetstasiituqelPnaspséhrqieusedofcretaBessedGProblématiquestatistiqueörnbrexEmelpe’dpaDéﬁnitionUnplanξ0estditadmissibles’iln’existepasdeplanξtelque:M(ξ0)6M(ξ)etM(ξ0)6=M(ξ),oùM(ξ0)etM(ξ)sontlesmatricesdesmomentsrespectivementduplanξ0etduplanξ.p1.2()Lapropriétéd’admissibilitéd’unplanestuniquementassociéeàsespointssupportetnedépenddoncpasdespoidsduplan.Nousneconsidéreronsdoncquedesplanspourlesquelslespoidssontuniformesetsontparconséquentdesplansexacts.ilacitno

oMitavitnosrPboélamituqetstasiituqelPnaspséhrqieusedofcretaBessedrGböenrxEmelpe’dpalpAdmissibilité,invarianceetmodèlespolynomiauxNousconsidérons:1.unmodèlederégressionpolynomialAdedegréd,2.undomaineexpérimentalcompact.PropositionLamatricedesmomentsd’unplanξdepointssupportsx1,...,xrest:oùM(ξ)=(µα+β)α,β∈A,rXµα(ξ)=xiαξ(xi),α∈N0vet|α|62d.1=i)2.2()3.2(citaoin

oMitavitnosrPboélamituqetstasiituqelPnaspséhrqieusedofcretaBessedrGböenrxEeDéﬁnitionSiunplanξestadmissiblepourunmodèlederégressionpolynomialAdedegrédilestditA−admissible.pmel’dpaDéﬁnitionUnplanestditisovariantpourunmodèlederégressionsipourtoutg∈On,M(ξg)=M(ξ).pemmeLNousconsidéronsunmodèlederégressionpolynomialcompletdedegréd,Ad,etunplanξ.Alors,ilexisteunplanisovariantξequisoitAd−admissibleettelque:M(ξe)>M(ξ).()4.2ilacitno

oMitavitnosrPboélamituqetstasiituqelPnaspséhrqieusedofcretaBessedrGböenrxEmelpe’dNouspouvonscaractériserlesplansAd−admissiblespourundomaineχcompact.Lecasunidimensionnelaététraitéen1959parKiefer.ThéorèmeSoientv=1etχ=[a,b]avec(a,b)∈R2telsquea<b.UnplanξestAd−admissiblesietseulementsi:Card(supp(ξ)∩]a,b[)6d−1.pap)5.2(ilacitno

oMitavitnosrPboélamituqetstasiituqelPnaspséhrqieusedofcretaBessedrGböenrxEmelpe’dThéorèmeSoitv>1,etS⊂χunsegmentnondégénéréinclusdansledomaineexpérimental.SiunplanξestAd−admissible:Card(supp(ξ)∩ri(S))6d−1,oùri(S)estl’intérieurrelatifdusegmentS.pap)6.2(ilacitno

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