Approximation du temps local et intégration par régularisation, Approximation of the local time and integration by regularization
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Thèse soutenue le 16 octobre 2007: Nancy 1
Cette thèse s'inscrit dans la théorie de l'intégration par régularisation de Russo et Vallois. La première partie est consacrée à l'approximation du temps local des semi-martingales continues. Si X est une diffusion réversible, on montre la convergence d'un premier schéma d'approximation vers le temps local de X, en probabilité uniformément sur les compacts. De ce premier schéma, on tire deux autres schémas d'approximation du temps local, l'un valable pour les semi-martingales continues, l'autre pour le mouvement Brownien standard. Dans le cas du mouvement Brownien, une vitesse de convergence dans L^2(Omega) et un résultat de convergence presque sûre sont établis. La deuxième partie de la thèse est consacrée à l'intégrale forward et à la variation quadratique généralisée, définies par des limites en probabilité de famille d'intégrales. Dans le cas Höldérien, la convergence presque sûre est établie. Enfin, on montre la convergence au second ordre pour une série de processus particuliers.
-Variation quadratique
-Vitesse de convergence
-Convergence au second ordre
-Théorème de Fubini stochastique
The setting of this work is the integration by regularization of Russo and Vallois. The first part studies schemes of approximation of the local time of continuous semimartingales. If X is a reversible diffusion, the convergence of a first schema of approximation to the local time of X is proven, in probability uniformly on the compact sets. From this first schema, two other schemas of approximation for the local time are found. One converges in the semi-martingale case, the other in the Brownian case. Moreover, in the Brownian case, we estimate the rate of convergence in L^2(Omega) and a result of almost sure convergence is proven. The second part study the forward integral and the generalized quadratic variation, which have been defined by convergence of families of integrals, in probability uniformly on the compacts sets. In the case of Hölder processes, the almost sure convergence is proven. Finally, the second order convergence is studied in many cases.
Source: http://www.theses.fr/2007NAN10058/document
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Français
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http://www.culture.gouv.fr/culture/infos-pratiques/droits/protection.htm UFR S.T.M.I.A.
´Ecole Doctorale IAEM
Universit´e Henri Poincar´e - Nancy I
D.F.D. Math´ematiques
Th`ese
pr´esent´ee pour l’obtention du titre de
Docteur de l’Universit´e Henri Poincar´e, Nancy-I,
en Math´ematiques Appliqu´ees
´par Blandine BERARD BERGERY
Approximation du temps local et int´egration par r´egularisation
Soutenue publiquement le 16 octobre 2007
Membres du jury :
Rapporteurs : Dominique Lepingle Professeur a` l’Universit´e d’Orl´eans.
Philip Protter Professeur a` Cornell University
Examinateurs : Michel Emery Professeur a` l’Universit´e de Strasbourg.
Bernard Roynette Professeur a` l’IECN, UHP.
Pierre Vallois Professeur a` UHP.
´Institut Elie Cartan Nancy (Math´ematiques), Facult´e des Sciences et Techniques
B.P. 239, F-54506 Vandoeuvre-l`es-Nancy Cedex, France
1Table des mati`eres
1 Introduction 5
1.1 Int´egration par r´egularisation et temps local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Rappels sur les semi-martingales continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 G´en´eralisation aux processus continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Vers une formule d’approximation du temps local : J (t,y). . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 D´ecompositions successives de J (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 Une d´ecomposition ´el´ementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Deuxi`eme d´ecomposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.3 Derni`ere d´ecomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 R´esultats pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Temps local des semi-martingales 19
1 22.1 Convergence de J (t,x) via la convergence de I (t) et I (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1 R´esultats de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.2 Preuve de la Proposition 2.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.3 Preuve de la Proposition 2.1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 42.2 Convergence de I (t) et I (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.1 R´esultats de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.2 Preuve du Th´eor`eme 2.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.3 Preuve du th´eor`eme 2.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Approximation du temps local du mouvement brownien 29
3.1 De nombreuses approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Convergence de J (t) dans le cas brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.1 Une preuve directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
23.2.2 Convergence de I (t) seul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
23,i 4,i3.3 Convergence de I (t) et I (t), i = 1,2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.1 R´esultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4,23.3.2 Convergence de I (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3,23.3.3 Convergence de I (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
23.4 Vitesse de convergence de J (t) dans L et convergence presque suˆre . . . . . . . . . . . . 45
3.4.1 R´esultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
13.4.2 Vitesse de convergence de I (t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
23.4.3 Vitesse de convergence de I (t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4.4 Convergence presque suˆre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4 Convergence vers le temps local de certaines martingales gaussiennes 54
4.1 R´esultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
13 04.2 Convergence de A (t) vers L (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 t4
7 1 04.2.1 Convergence de D (t) vers L (X). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 t4
64.2.2 Convergence de D (t) vers 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1 24.3 Convergence de A (t)+A (t) vers 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1 24.3.1 D´ecomposition de A (t)+A (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
14.3.2 Convergence de D (t) vers 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
24.3.3 Convergence de D (t) vers 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3 44.3.4 Convergence de D (t) et D (t) vers 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
13,2 04.4 Convergence de I (t) vers L (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 t4
13,2 0e4.4.1 Convergence de I (t) vers L (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 t4
3,2
4.4.2 Convergence de I (t) vers 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5 R´esultats de convergence presque surˆ e 81
5.1 Convergence presque suˆre vers l’int´egrale stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.1.1 Preuve du Th´eor`eme 5.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
−5.1.2 La martingale I (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
−5.1.3 Convergence presque suˆre de (I (t)) vers I(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84n∈Nn
5.1.4 Convergence de ξ (t) vers 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
e5.1.5 Convergence de ξ (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.2 Convergence presque suˆre vers la variation quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6 Convergences au second ordre 94
6.1 Th´eor`eme principal de convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3´6.1.1 Enonc´e du Th´eor`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.1.2 Pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.1.3 M´ethode des moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.1.4 Convergence en loi finie-dimensionnelle et crit`ere de Kolmogorov . . . . . . . . . . 101
6.2 Convergence en loi vers la variation quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.2.1 Convergence dans le cas H = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.2.2 Convergence dans le cas H =f(B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.2.3 Pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.2.4 M´ethode des moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.3 Convergence en loi vers l’int´egrale stochastique si H est ´etag´e . . . . . . . . . . . . . . . . 114
26.4 Convergence dans L vers l’int´egrale stochastique si H est `a variation finie . . . . . . . . . 119
6.5 Convergence en loi vers l’int´egrale stochastique si H est l’int´egrale stochastique d’un pro-
cessus H¨olderien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
´6.5.1 Enonc´e du Th´eor`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.5.2 Pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.5.3 M´ethode des moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.6 Convergence en loi vers l’int´egrale stochastique si H =f(B) . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
(2)
6.7 Remarque sur Δ ,Δ et W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4Chapitre 1
Introduction
En se basant sur la th´eorie de l’int´egration par r´egularisation et la convergence uniforme en probabilit´e,
ond´efinitplusieurssch´emasd’approximationdutempslocal.Selonlescas,ilssontvalablespourd
