Application de la théorie d'erreur par formes de Dirichlet, Applications of the error theory using Dirichlet forms

Th`ese pr´esent´ee pour obtenir les titres de
DOCTEUR DE L’UNIVERSITE PARIS EST
PERFEZIONAMENTO DELLA SCUOLA NORMALE
SUPERIORE
Ecole Doctorale: ICMS
Sp´ecialit´e: Math´ematiques appliqu´ees
parSimone SCOTTI
Applications of the Error Theory using
Dirichlet Forms
Th`ese soutenue le 16 octobre 2008 devant le jury compos´e de:
Pr. Nicolas BOULEAU ENPC Directeur de th`ese
Pr. Maurizio PRATELLI Universit`a di Pisa Directeur de th`ese
Pr. Marco BIROLI Politecnico di Milano Rapporteur
Pr. Laurent DENIS Universit´e d’Evry Rapporteur
Pr. Robert DALANG EPFL Examinateur
Pr. Alexandre ERN ENPC Examinateur
Pr. Stefano MARMI SNS Examinateur
Pr. Francesco RUSSO Universit´e Paris 13 Examinateur
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Alla mia famiglia
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Abstract
ThisthesisisdevotedtothestudyoftheapplicationsoftheerrortheoryusingDirichletforms.
Our work is split into three parts. The first one deals with the models described by stochastic
differential equations. After a short technical chapter, an innovative model for order books is
proposed. We assume that the bid-ask spread is not an imperfection, but an intrinsic property
of exchange markets instead. The uncertainty is carried by the Brownian motion guiding the
asset. We find that spread evolutions can be evaluated using closed formulae and we estimate
the impact of the underlying uncertainty on the related contingent claims. Afterwards, we deal
with the PBS model, a new model to price European options. The seminal idea is to distinguish
the market volatility with respect to the parameter used by traders for hedging. We assume
the former constant, while the latter volatility being an erroneous subjective estimation of the
former. We prove that this model anticipates a bid-ask spread and a smiled implied volatility
curve. Major properties of this model are the existence of closed formulae for prices, the impact
of the underlying drift and an efficient calibration strategy.
The second part deals with the models described by partial differential equations. Linear and
non-linear PDEs are examined separately. In the first case, we show some interesting relations
between the error and wavelets theories. When non-linear PDEs are concerned, we study the
sensitivity of the solution using error theory. Except when exact solution exists, two possible
approaches are detailed: first, we analyze the sensitivity obtained by taking “derivatives” of the
discretegoverningequations. Then,westudythePDEssolvedbythesensitivityofthetheoretical
solutions. In both cases, we show that sharp and bias solve linear PDE depending on the solution
of the former PDE itself and we suggest algorithms to evaluate numerically the sensitivities.
Finally, the third part is devoted to stochastic partial differential equations. Our analysis is
split into two chapters. First, we study the transmission of an uncertainty, present on starting
conditions, on the solution of SPDE. Then, we analyze the impact of a perturbation of the
functional terms of SPDE and the coefficient of the related Green function. In both cases, we
show that the sharp and bias verify linear SPDE depending on the solution of the former SPDE
itself.
Keywords: errorcalculus,Dirichletform,carr´educhampoperator,bias,sensitivity,stochas-
ticdifferentialequation, financialmodel, liquiditymodel, bid-askspread, partialdifferentialequa-
tion, non-linear PDE, stochastic partial differential equation.
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Resum´e
Cette th`ese est consacr´ee `a l’´etude des applications de la th´eorie des erreurs par formes de
Dirichlet. Notre travail se divise en trois parties. La premi`ere analyse les mod`eles gouvern´es par
une ´equation diff´erentielle stochastique. Apr`es un court chapitre technique, un mod`ele innovant
pour les carnets d’ordres est propos´e. Nous consid´erons que le spread bid-ask n’est pas un d´efaut,
mais plutˆot une propri´et´e intrins`eque du march´e. L’incertitude est port´e par le mouvement
Brownien qui conduit l’actif. Nous montrons que l’´evolution des spread peut ˆetre ´evalu´e grˆace
`a des formules ferm´es et nous ´etudions l’impact de l’incertitude du sous-jacent sur les produits
d´eriv´es. En suite, nous introduisons le mod`ele PBS pour le pricing des options europ´eennes.
L’id´ee novatrice est de distinguer la volatilit´e du march´e par rapport au param`etre utilis´e par les
traders pour se couvrir. Nous assumons la premi`ere constante, alors que le deuxi`eme devient une
estimation subjective et erron´ee de la premi`ere. Nous prouvons que ce mod`ele pr´evoit un spread
bid-ask et un smile de volatilit´e. Les propri´et´es plus int´eressantes de ce mod`ele sont l’existence
de formules ferm´es pour le pricing, l’impact de la d´erive du sous-jacent et une efficace strat´egie
de calibration.
La seconde partie s’int´eresse aux mod`eles d´ecrit par une ´equation aux d´eriv´ees partielles. Les
caslin´eaireetnon-lin´eairesontanalys´ess´epar´ement. Danslepremiernousmontronsdesrelations
int´eressantes entre la th´eorie des erreurs et celui des ondelettes. Dans le cas non-lin´eaire nous
´etudions la sensibilit´e des solutions `a l’aide de la th´eorie des erreurs. Sauf dans le cas d’une
solution exacte, il y a deux approches possibles: On peut d’abord discr´etiser l’EDP et ´etudier
la sensibilit´e du probl`eme discr´etis´e, soit d´emontrer que les sensibilit´es th´eoriques v´erifient des
EDP. Les deux cas sont ´etudi´es, et nous prouvons que les sharp et le biais sont solutions d’EDP
lin´eaires d´ependantes de la solution de l’EDP originaire et nous proposons des algorithmes pour
´evaluer num´eriquement les sensibilit´es.
Enfin, la troisi`eme partie est d´edi´ee aux´equations stochastiques aux d´eriv´ees partielles. Notre
analyse se divise en deux chapitres. D’abord nous ´etudions la transmission de l’incertitude,
pr´esente dans la condition initiale, `a la solution de l’EDPS. En suite, nous analysons l’impact
d’une perturbation dans les termes fonctionnelles de l’EDPS et dans le coefficient de la fonction
de Green associ´ee. Dans le deux cas, nous prouvons que le sharp et le biais sont solutions de deux
EDPS lin´eaires d´ependantes de la solution de l’EDPS originaire.
Key words: calcul d’erreur, formes de Dirichlet, op´erateur carr´e du champ, biais, sensibilit´e,
´equations diff´erentielles stochastiques, mod`eles financi`eres, mod`eles de liquidit´e, spread bid-ask
´equations aux d´eriv´ees partielles, EDP non-lin´eaires, ´equations stochastiques aux d´eriv´ees par-
tielles
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Riassunto
Questa tesi ´e dedicata allo studio delle applicazioni della teoria degli errori tramite forme
di Dirichlet, il nostro lavoro si divide in tre parti. Nella prima vengono studiati i modelli
descritti da un’equazione differenziale stocastica: dopo un breve capitolo con risultati tecnici
viene descritto un modello innovativo per i libri d’ordini. La presenza dei differenziali denaro-
lettera viene considerata non come un’imperfezione, bensi una propriet`a intrinseca dei mercati.
L’incertezza viene descritta come un rumore sul moto Browniano sottostante all’azione; dimo-
striamo che l’evoluzione di questi differenziali pu´o essere valutata attraverso formule chiuse e
stimiamol’impattodell’incertezzadelsottostantesuiprodottiderivati. Inseguitoproponiamoun
nuovo modello, chiamato PBS, per il prezzaggio delle opzioni di tipo europeo: l’idea innovativa
consiste nel distinguere la volatilit`a di mercato dal parametro usato dai trader per la copertura.
Noi supponiamo la prima constante, mentre il secondo diventa una stima soggettiva ed erronea
della prima. Dimostriamo che questo modello prevede dei differenziali lettera-denaro e uno smile
di volatilit`a implicita. Le maggiori propriet`a di questo modello sono l’esistenza di formule chiuse
per il princing, l’impatto del drift del sottostante e un’efficace strategia per la calibrazione.
La seconda parte `e dedicata allo studio dei modelli descritti da delle equazioni alle derivate
perziali. I casi lineare e non-lineare sono trattati separatamente. Nel primo caso mostriamo inte-
ressanti relazioni tra la teoria degli errori e quella delle wavelets. Nel caso delle EDP non-lineari
studiamo la sensibilit`a della soluzione usando la teoria degli errori. Due possibili approcci esi-
stono, salvo quando la soluzione `e esplicita. Possiamo prima discretizzare il problema e studiare
la sensibilit`a delle equazioni discretizzate, oppure possiamo dimostrare che le sensibilit`a teoriche
verificano, a loro volta, delle EDP dipendenti dalla soluzione della EDP iniziale. Entrambi gli ap-
procci sono descritti e vengono proposti degli algoritmi per valutare le sensibilit`a numericamente.
Infine, la terza parte `e dedicata ai modelli descritti da un