CAO : la représentation par les frontières

2013‐09‐23
Représentation par les frontières
Plan du coursConception assistée par ordinateur
 Introduction
GPA445
 Topologie –Géométrie
__________________________________________
 La règle d'Euler
La représentation par les frontières  Solide régulier
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐  Structure de données pour les B‐Rep
L’objet sous sa forme numérique 
 Exercice: Règle d'Euler
Roland Maranzana
GPA445 Conception assistée par ordinateur  Copyright R. Maranzana p 1 GPA445 Conception assistée par ordinateur  Copyright R. Maranzana p 2
Introduction Introduction
 La représentation par les frontières est basée sur le principe   La représentation par les frontières est la représentation 
suivant:
interne évaluée utilisée par tous les systèmes de CAO pour la 
 Un objet physique est limité par un ensemble fini de faces
mécanique Une face est une partie limitée d'une surface
 La face et la surface sous jacente doivent posséder certaines propriétés   Un système de CAO manipule plusieurs représentations 
(orientable, fermée, continue, etc.)
différentes selon les besoins
Face F j
 La représentation par les frontières est la représentation Surface S 
i
"maître" qui permet de produire les autres représentations
 Une exception l'arbre de spécifications: C'est la 
représentation qui génère la représentation par les frontières 
(représentation implicite)
GPA445 Conception assistée par ordinateur  Copyright R. Maranzana p 3 GPA445 Conception assistée par ordinateur  Copyright R. Maranzana p 4
Introduction Topologie –Géométrie 
Méthode de construction du modèle:
 Une représentation par les frontières comprend deux types Fonctions du type
‐CSG d'information bien différenciées:‐Balayage
Représentation pour
Arbre de spécifications  Géométrieéchange de données
Représentation implicite
Représentation   Topologie
pour calculs
 Exemple simple d'information topologique:
Corps Cube_1
S1
F3 A1Représentation  Faces Face_1 Face_2 Face_3 Face_4
graphique
S2A2 F1A3
F2
A4A6 Arêtes Arête_1 Arête_2 Arête_3 Arête_4 Arête_5 Arête_6
Représentation par 
les frontières S4 A5 S3
F4
Sommets Sommet_1 Sommet_2 Sommet_3 Sommet_4
GPA445 Conception assistée par ordinateur  Copyright R. Maranzana p 5 GPA445 Conception assistée par ordinateur  Copyright R. Maranzana p 6
12013‐09‐23
Topologie –Géométrie  Topologie –Géométrie 
 Géométrie  Géométrie (suite)
 Point   Ne pas confondre la représentation géométrique interne d'une entité 
 Entité de dimension 0  avec ses méthodes de création
 Les coordonnées (x, y, z) de chaque point de la représentation  Exemple: Un point
 Courbe
 Représentation interne: (x, y, z) ses coordonnées dans E3
 Entité de dimension 1
 Méthodes de création:
Z L'équation de chaque courbe
 Coordonnées cartésiennes (x, y, z) z Droite       (y = ax + b dans E2, et au fait dans E3 ??)
 Coor Cylindrique P(R, θ, z) Cercle
P Coordonnées sphérique P(R, θ, φ) Courbe complexe 
 Extrémité d'une entité Surface R
 Coordonnées relatives à une autre entité
 Entité de dimension 2
φ y Centre d'un cercle
 L'équation de chaque surface
 Intersection de deux entités θ Y Plan  Sphère
 Coordonnées paramétriques sur une surface x Tore Cylindre
 Complexe  Etc. Cône X
GPA445 Conception assistée par ordinateur  Copyright R. Maranzana p 7 GPA445 Conception assistée par ordinateur  Copyright R. Maranzana p 8
Topologie –Géométrie  Topologie –Géométrie 
 Topologie  Indépendance géométrie –topologie 
 Branche des mathématiques traitant des relations de voisinage qui   Une matrice de transformation n'impacte que la géométrie, la 
s'établissent entre des figures géométriques, et qui ne sont pas altérées  topologie demeure inchangée
par la déformation des figures. (www.granddictionnaire.com)   Exemples: Rotation, translation d’un objet
Les coordonnées des points, les équations des courbes et des surfaces  L'application des principes de la topologie en CAO assure la cohérence 
changentdes données géométriques dans la représentation par les frontières  
Les relations entre les faces, arêtes, sommets restent inchangées
 La topologie élimine la redondance des entités dans la représentation 
par les frontières
 Les structures topologiques des principaux modeleurs géométriques sont 
très similaires:
 Acis            (Inventor/Autodesk, Acis/Dassault‐Systèmes)
 Parasolid (SolidWorks/Dassault‐Systèmes, SolidEdge, NX/Siemens‐PLM, etc.)
 CGM           (Catia V5/Dassault‐Systèmes)
 Granit         (Pro/Eng/PTC)
GPA445 Conception assistée par ordinateur  Copyright R. Maranzana p 9 GPA445 Conception assistée par ordinateur  Copyright R. Maranzana p 10
Topologie –Géométrie  Topologie –Géométrie 
 Complémentarité géométrie –topologie Dépendance géométrie –topologie
 Pièces A et C : même géométrie Modification des coordonnées d’un point
 Pièces Bet C : Même topologie
A
B
 Modification de l’équation d’un cercle
C
 Suffisance: Géométrie + Topologie
(propriété d’une représentation géométrique qui contient assez d’information pour 
distinguer un objet de tous les autres du domaine)
GPA445 Conception assistée par ordinateur