Resistance des Materiaux
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2014
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Université Caraïbe Faculté des Sciences du Génie Présenté par : Mackenzy HECTOR Option: Génie civil RESISTANCE DES MATERIAUX La résistance des matériaux (R.D.M), par définition, permet de déterminer les sollicitations qui sont les effets des actions pouvant agir dans les éléments de structures. La première étape consiste à représenter schématiquement le modèle mécanique de chaque élément et de son chargement. Ensuite, la démarche consiste à lister, analyser et quantifierl’ensemble des sollicitations agissantes. La résistance des matériaux est un outil indispensable à toute modélisation en calcul des structures. Même si d'autres méthodes (par exemple les éléments finis) sont en général utilisées, un calcul rapide de RDM permet de vérifier les ordres de grandeur et de juger de l'opportunité d'utiliser d'autres méthodes plus complexes. Il s’agit ici, non pas d’un exposé technique, mais simplement d’une rapide description des principaux matériaux de construction: la pierre (deconstruction), le bois et le fer. Nous verrons quels types d’efforts ils subissent et comment ils réagissent aux efforts simples de compression ou de traction et aux efforts composés de flexion ou de flambement. Enfin on analysera les réactions du béton à ces efforts. La compression Les matériaux de construction subissent en tout premier lieu les effets du poids qu’ils supportent..
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Université Caraïbe
Faculté des Sciences du Génie
Présenté par : Mackenzy HECTOR
Option: Génie civil
RESISTANCE DES MATERIAUX La résistance des matériaux (R.D.M), par définition, permet de déterminer les sollicitations qui sont les effets des actions pouvant agir dans les éléments de structures. La première étape consiste à représenter schématiquement le modèle mécanique de chaque élément et de son chargement. Ensuite, la démarche consiste à lister, analyser et quantifierl’ensemble des sollicitations agissantes.La résistance des matériaux est un outil indispensable à toute modélisation en calcul des structures. Même si d'autres méthodes (par exemple les éléments finis) sont en général utilisées, un calcul rapide de RDM permet de vérifier les ordres de grandeur et de juger de l'opportunité d'utiliser d'autres méthodes plus complexes. Il s’agit ici, non pas d’un exposé technique, mais simplement d’une rapide description des principaux matériaux de construction: la pierre (deconstruction), le bois et le fer. Nous verrons quels types d’efforts ils subissent et comment ils réagissent aux efforts simples de compression ou de traction et aux efforts composés de flexion ou de flambement. Enfin on analysera les réactions du béton à ces efforts. La compression Les matériaux de construction subissent en tout premier lieu les effets du poids qu’ils supportent... et en particulier de leur propre poids. Ils réagissent dans la mesure où le sol offre une force de réaction (les matériaux ne s’enfoncent pas...). Selon leur nature ils réagissentdifféremment à ces deux forces opposées et exercées verticalement. Le poids tend à écraser les matériaux, à les compresser.La qualité première des matériaux de construction est donc de résister à cette pression sans se déformer.La résistance au poids (P) provoquée par la réaction du sol aux contraintes exercées (R) provoque dans le corps de la colonne des efforts de compression. La colonne résiste à la pression tant que les éléments qui la composent restent compacts. Dès que le poids fait perdre à la matière sa cohésion, en écartant les fibresd’une colonne de bois par exemple, la résistancemaximum est dépassée. C’est aussi l’image de lapièce de métal prise entre le marteau etl’enclume qui s’épate un peu plus à chaque coup. La résistance de la colonne se mesure par sa capacité à supporter une charge sans se déformer. Selon le type des matériaux qui composent la colonne et à dimensions égales (hauteur et diamètre), la résistance varie : une colonne de pierre supportera une charge plus grandequ’une colonne de bois et moins grande qu’une colonne de fer.Chaque matériau possède donc un degré de résistance à la compression qui lui est propre. On peut les classer par ordre décroissant : le fer, la pierre, le bois. La traction La résistance à latraction,c’est la capacité d’une pièce à résister à l’arrachement. Comme lede fil couture que l’on tire à chaque bout jusqu’à la rupture. En fait, c’est l’effort strictementà celui de opposé compression.La traction pure n’intervient qu’assez rarement dans la construction : le câble de métal qui supporte le tablier d’unpont. Les matériaux qui résistent bien à la pression ne résistent pas nécessairement aussi bien à la traction. Pour reprendre nos trois matériaux de base on placerait par ordre décroissant de résistance le fer (penser aux câbles, au fil de fer, au filin...), en second le bois et en dernier la roche. La flexion Laflexionest en fait une composante des deux efforts précédents. La pièce qui résiste à un effort de flexionrésiste en fait à des efforts de compression d’une part et àdes efforts de traction d’autre part, comme le linteau enbois d’une porte par ex. : dans la partie haute de la poutre, les fibres de bois toutes parallèles, sontcomprimées. Si on cessait l’effort, ces fibresleurs extrémités pour se retrouver à repousseraient l’horizontale, en situation d’équilibre.En revanche, dans la partie basse, les fibres sont tendues, étirées. Elles résistent à des efforts de traction. Si oncessait l’effort, ces fibres tendraient à attirer leurs pointsle vers centre jusqu’à les remettre à plat.Seule, la fibre centrale, est en position d’équilibre et n’est soumise à aucun effort. Pour qu’unmatériau résiste bien à la flexion il lui faut donc une bonne résistance à la pression et à la traction. Le fer serait donc les matériaux le plus adapté : N° 1 pour ce qui est de la résistance à la traction et N°1 pour ce qui est de la résistance à la compression N° 1 pour la résistance à la flexion.L’usage du fer pour remplacer les ⇒ Mackenzy HECTOR: Faculté Génie Civil
matériaux de construction traditionnels devrait en toutelogique être privilégié. Mais c’est compter sans le coût... ou les autres désavantages comme sa capacité à se dilater, sa très bonne conductivité à la chaleur entre autres, etc. Nous sommes donc amenés à tenir compte d’autres facteurs que les strictes qualités derésistance pour choisir les matériaux. La pierre, peu coûteuse, donne d’excellents résultats à la compression. On peut donc l’utiliser dans toutes les parties d’ouvragestatiques : murs, fondations, et colonne dans certains cas... Le béton Qu’en est-il de sa résistance à la compression et à la traction ? Le ciment n’offre que peu de résistance aux efforts quelsqu’ils soient. Il est le liant du sable et du gravier. Le gravier (= pierre) offre quant à lui une très bonne résistance à la compression. Un bon béton est donc un excellent matériau de construction pour résister aux efforts de compression. Faciled’emploi, souple, rapide de mise enœuvre(comparé à la taille de pierres...), peu coûteux, etc. Il possède de très bons avantages qui en font un matériau d’usage courant sur leschantiers de construction aujourd’hui.En revanche, sa résistance à la traction est très faible. Bien inférieure encore à la résistance des roches puisque dans le casdu béton c’est le mortier qui céderait en premier aux effortsd’arrachement. Cela en fait donc un matériau impropre àrésister aux efforts de flexion puisqu’il s’agit de résister à la fois à la compression et à la traction. Pour en faire des poutres ou des colonnes (qui se doivent de résister à la compression comme à la traction) on allie du fer au béton. Le fer apporte ses très bonnes qualités de résistance à la traction. Cela permetd’allier les qualités de l’un (bétonavec les qualités de pression) l’autre (fer traction) en ⇒ ⇒ proportions telles que le coût final du produit reste satisfaisant (beaucoup de béton peu cher et peu de fer très cher). Le béton armé- la position des fers dans le béton On a vu dans le cas de la poutre (horizontale) que la partie supérieure résiste à la compression donc le béton seul est suffisant. En revanche la partie inférieure doit résister àla traction. C’est donc dans cette partie qu’ilplacer le ferraillage. Une seconde règle de résistance des matériaux faut explique que c’est la matière placée au sommet et à la base de la poutre qui donne ses qualités de résistance. Il faut « écarter » la matière. Par exemple les poutres en métal sont ajourées au centre la matière est repoussée sur les niveaux ⇒ supérieurs et inférieurs. Une simple règle à dessin va se courber facilement dans le sens a) et sera nettement plus rigide dans le sens b). La matière est placée dans le sens des efforts. Pour une masse de fer donnée, la répartition àl’extérieur est plus efficace. On peut comparer également une barre de fer rond de 2,4 cm de diamètre (1 pouce) avec un tuyau galvanisé de 90 mm intérieur (3’’) et dont lesparois feraient 2 mm d’épaisseur. La matière par unité de longueur est la même mais larésistance à la flexion n’est absolument pascomparable. La barre de 6 m est souple et se déforme sous l’effet de son propre poids enrevanche le tuyau est capable de supporter une personne suspendue. Dans le cas d’une colonne, le risque est leflambement. C’est l’effort qui pousse la colonnese à tordre, un peu comme une baleine de parapluie qui, coincée entre deux points qui exercent des forces opposées, se courbe commeun arc. Ce flambement est la conséquence d’uneforte pression sur une trop colonne de section trop faible ou de hauteur trop importante. Pour limiter ce risque on place des fers sur la partie externe de la colonne (et non pas au centre où ilsn’auraient que très peu d’utilité). A remarquerque les colonnes des temples grecs, en pierre detaille, n’étaient pas ferraillées. En revanche un rapport extrêmement régulier étaient assurés entre le diamètre et la hauteur. Ce rapport qui apportait une esthétique particulière à la colonne(l’élancement) assurait un dimensionnement idéal pour la résistance aux efforts. La R.D.Mest une théorie simplifiée qui nécessite de ne s’intéresser qu’à des solides particuliers, considérés ici comme déformables. Ainsi un certain nombre de restrictions sont nécessaire pour pouvoir utiliser la R.D.M. Ces restrictions portent sur la géométrie du solide étudié, le matériau dont il est constitué, et dans une moindre mesure les liaisons et les efforts extérieurs.Mackenzy HECTOR Faculté :Génie Civil
C’est à dire un solide pour lequel :il existe une ligne moyenne, continue, passant par les barycentres des sections du solide ; la longueur L est au moins 4 à 5 fois supérieure au diamètre D ; il n’y a pas de brusque variation de section (trous, épaulements) ;le solide admet un seul et même plan de symétrie pour les charges et la géométrie. Hypothèses fondamentales Les hypothèses de la résistance des matériaux, dans certains cours, sont les suivantes : Les matériaux sonthomogènesetisotropes; Il n’y a pas degauchissementdes sections droites : les sections droites planes et perpendiculaires à la ligne moyenne, restent planes et perpendiculaires à la ligne moyenne après déformation ; Toutes les forces extérieures exercées sur la poutre sont contenus dans un plan de symétrie ; On suppose que les déformations restent faibles par rapport aux dimensions de la poutre. Exercice 1. Tracé du moment fléchissant et de l’effort tranchant d’un trapèze pour a=3; b=4 ; a=3 et p=3 t/ml. RA 4.5 12 4.5 RB 1)Calcul du moment fléchissant et de l’effort tranchant.Réaction d’appuiΣFx =0 (toujours vérifié) Σfy =0 RA+RB4.5124.5 =0 RA+RB =21(α)Calcul de RA et de RB ∑M/B=0RA*104.5(7+3/3)12(3+4/2)4.5(⅔*3) = 0 RA*1036609 = 0 RA*10105 = 0 RA =105/10 RA =10.5 ∑M/A=04.5 (⅔*3) +12(3+4/2) +4.5(7+3/30)RB*10 = Mackenzy HECTOR: Faculté Génie Civil
9+60+3610*RB RB = 105/10 RB = 10.5 Vérification dans (α)RA+RB = 21 10.5+10.5 = 21 21 = 21 OK Expression du moment fléchissant
x RA px/2 M(x =RAxpx/2*⅓xM(x) =10.5xpx/2*⅓xTrouvons p en appliquant le théorème de Thales p/3 =x/3 p =x D’ouM(x) =10.5xx³/6 Valeurs limites Pour x=0 M(0) =10.5*0(0)³/6 M(0) =0 t.m Pour x=3 M(3) =10.5*3(3)³/6 M(3) =27 t.m
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= 0
0≤x≤3
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3≤x≤7
RA 4.5 3(x3) x M(x) =RAx4.5(x⅔*3)3(x3)((x3)/2) M(x) =10.5x4.5(x2)3(x²6x+9)/2 M(x) =10.5x4.5x+91.5x²+9x13.5 M(x) =1.5x²+15x4.5 Valeurs limites Pour x=3 M(3) = 1.5(3)²+15*34.5 M(3) = 27 t.m Pour x=7 M(7) =1.5(7)²+15*74.5 M(7) = 27 t.m 7≤x≤10
RA 4.5 12 x p′(x7) (3p′)((x7)/2 M(x) =RAx4.5(x⅔*3)12(x34/2)p′(x7)(x7)/2(3p′)((x7)/2)(x7)*⅔M(x) =10.5x4.5(x2)12(x5)p′/2(x²14x+49)(3p′)(x²14x+49)/3 M(x) =10.5x4.5x+912x+60+(x²14x+49)(p′/2(3p′)/3)M(x) =6x+69+(x²14x+49)(1p′/6)Trouvons p′ en appliquant le théorème de Thales
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p′/3(10x)/3 = p′(x7)/3 =3 p′ =10x M(x) =6x+69+(x²14x+49)(1(10x)/6) M(x) =6x+69+(x²14x+49)(11.67+0.17x) M(x) =6x+69+(x²14x+49)(2.67+0.17x) M(x) =6x+692.67x²+0.17x³+37.38x2.38x²130.83+8.33x M(x) =0.17x³5.05x²+39.71x61.83 Valeurs limites Pour x=7 M(7) =0.17(7)³5.05(7)²+39.71*761.83 M(7) =27 t.m Pour x=10 M(x) =0.17(10)³5.05(10)²+39.71*1061.83 M(10) =0 t.m Calcul de m maxM(x) =1.5x²+15x4.5 dM(x)/x =3x+15 Annulons la dérivée dM(x)/x =0 3x+15=0 x=5 M.max = M(5) M.max = 1.5(5)²+15*54.5 M.max = 33 t.m Tracé du moment fléchissant + + + + + 27t.m 27t.m 33t.m x=5 Mf Expression de l’Effort tranchant0≤x≤3Et(x) =RApx/2 Et(x) =10.5x²/2
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Valeurs limites Pour x=0 Et(0) =10.5(0)²/2 Et(0) =10.5 t Pour x=3 Et(3) =10.5(3)²/2 Et(0) =6 t 3≤x≤7Et(x) =RA4.53(x3) Et(x) =10.54.53x+9 Et(x) =3x+15 Valeurs limites Pour x=3 Et(3) = 3*3+15 Et(3) = 6 t Pour x=7 Et(7) = 3*7+15 Et(7) = 6 t 7≤x≤10Et(x) =RA4.512p′(x7)(3p′)((x7)/2) Et(x) =10.54.512+(x7)(p′(3p′)/2)Et(x) =10.54.512+(x7)(p′1.5+0.5p′)Et(x) =10.54.512+(x7)(1.50.5p′)Remplaçons p′ par sa valeurEt(x) =10.54.512+(x7)(1.50.5(10x)) Et(x) =10.54.512+(x7)(1.55+0.5x) Et(x) =10.54.512+(x7)(6.5+0.5x) Et(x) =10.54.5126.5x+0.5x²+45.53.5x Et(x) =0.5x²10x+39.5 Valeurs limites Pour x=7 Et(x) =0.5(7)²10*7+39.5 Et(x) =6t Pour x=10 Et(x) =0.5(10)²10*10+39.5 Et(x) =10.5 t Calcul de Et maxEt max= Et(5) Et(5) =3*5+15
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Et(5) =0 t Tracé de l’effort tranchant 10.5t 6t + + x=5 6t 10.5t Exercice 2. Tracé du moment fléchissant et de l’effort tranchant d’un triangle pour a=2.5; b=3.5 ; p=4 t/ml. RA 5 7 RB 2)Calcul du moment fléchissant et de l’effort tranchant.Réaction d’appuiΣFx(toujours vérifié) =0 Σfy =0 RA57+RB =0 RA12+RB =0 RA+RB =12(α)∑M/B=0RA*65(3.5+2.5/3)7(⅔*3.5) = 0 RA*621.6716.33 = 0
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RA*638 = 0 RA=38/6 RA=6.33 ∑M/A=05(⅔*2.5) +7(2.5+3.5/3)6RB =0 8.33+25.676*RB = 0 RB = 34/6 RB = 5.67 Vérification dans (α)RA+RB = 12 6.33+5.67 = 12 12 = 12 OK Expression du moment fléchissant
RA x px/2
M(x) =RAxpx/2*⅓xTrouvons p en appliquant le théorème de Thales p/4=x/2.5 p=4x/2.5 p=1.6x D’oùM(x) =6.33x1.6x²/2*x/3 M(x) =6.33x0.267x³ Valeurs limites Pour x=0 M(0) =6.33*00.267*(0)³ M(0) = 0 t.m Pour x=2.5 M (2.5) =6.33*2.50.267*(2.5)³ M (2.5) =11.7 t.m
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0≤x≤2.5
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2.5≤x≤6
RA 5 xp′(x2.5) (4p′)(x2.5)/2 M(x) =RAx5(x⅔*2.5)(4p′)(x2.5)/2(x2.5)*⅔p′(x2.5)((x2.5)/2) M(x) =6.33x5(x1.67)(4p′)(x²5x+6.25)/3p′/2(x²5x+6.25) M(x) =6.33x5(x1.67)+(x²5x+6.25)(p′/24/3+p′/3)M(x) =6.33x5(x1.67)+(x²5x+6.25)(4/3p′/6)Trouvons p en appliquant le théorème de Thales p′/4= (6x)/3.5 p′ =6.861.14x M(x) =6.33x5(x1.67)+(x²5x+6.25)(4/36.85/6+1.14x/6) M(x) =6.33x5(x1.67)+(x²5x+6.25)(2.47+0.19x) M(x) =6.33x5x+8.352.47x²+0.19x³+12.37x0.95x²15.46+1.187x M(x) =0.19x³3.42x²+14.88x7.13 Valeurs limites Pour x=2.5 M (2.5) =0.19*(2.5)³3.42*(2.5)²+14.88*2.57.13 M (2.5) = 11.7 t.m Pour x=6 M(6) =0.19*(6)³3.42*(6)²+14.88*67.13 M(6) =0 t.m Calcul de M maxM(x) =0.19x³3.42x²+14.88x7.13 M(x) =0.57x²6.84x+14.88 Annulons la dérivée dM(x)/x =0 0.57x²6.84x+14.88 =0 x=2.85 M.max = M(2.85) M.max = 0.19*(2.85)³3.42*(2.85)²+14.88*2.857.13 M.max = 11.89 t.m
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